2020届二轮复习数列的概念及简单表示法课件（31张）（全国通用） 31页

第 1 节　数列的概念及简单表示法 最新考纲　 1. 了解数列的概念和几种简单的表示方法 ( 列表、 图像 、通项公式 ) ； 2. 了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数 . 知 识 梳 理 1. 数列的定义 按照 ____________ 排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫 作 这个数列的项 . 一定 次 序 2. 数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数 ____________ 无穷数列 项数 ____________ 项与项间的 大小关系 递增数列 a n ＋ 1 ______ a n 其中 n ∈ N + 递减数列 a n ＋ 1 ______ a n 常数列 a n ＋ 1 ＝ a n 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 有限 无限 ＞ ＜ 3. 数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是 ________ 、 图像 法和 ________ . 4. 数列的通项公式 (1) 通项公式：如果数列 { a n } 的第 n 项 a n 与 ____ 之间的关系可以用一个式子 a n ＝ f ( n ) 来表示，那么这个公式叫 作 这个数列的通项公式 . (2) 递推公式：如果已知数列 { a n } 的第 1 项 ( 或前几项 ) ，且从第二项 ( 或某一项 ) 开始的任一项 a n 与它的前一项 a n － 1 ( 或前几项 ) 间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫 作 这个数列的递推公式 . 列表法 解析法 n [ 微点提醒 ] 2. 数列是按一定 “ 次序 ” 排列的一列数，一个数列不仅与构成它的 “ 数 ” 有关，而且还与这些 “ 数 ” 的排列顺序有关 . 3. 易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号 . 基 础 自 测 1. 判断下列结论正误 ( 在括号内打 “√” 或 “×” ) (1) 相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列 .( 　　 ) (2)1 ， 1 ， 1 ， 1 ， … ，不能构成一个数列 .( 　　 ) (3) 任何一个数列不是递增数列，就是递减数列 .( 　　 ) (4) 如果数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，则对任意 n ∈ N + ，都有 a n ＋ 1 ＝ S n ＋ 1 － S n .( 　　 ) 解析　 (1) 数列： 1 ， 2 ， 3 和数列： 3 ， 2 ， 1 是不同的数列 . (2) 数列中的数是可以重复的，可以构成数列 . (3) 数列可以是常数列或摆动数列 . 答案 　 (1) × 　 (2) × 　 (3) × 　 (4) √ 答案　 D 3. ( 必修 5P8A1 改编 ) 根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式 a n ＝ ________. 解析　 由 a 1 ＝ 1 ＝ 5 × 1 － 4 ， a 2 ＝ 6 ＝ 5 × 2 － 4 ， a 3 ＝ 11 ＝ 5 × 3 － 4 ， … ，归纳 a n ＝ 5 n － 4. 答案　 5 n － 4 4. (2019· 衡水中学摸底 ) 已知数列 { a n } 中， a 1 ＝ 1 ， a n ＋ 1 ＝ 2 a n ＋ 1( n ∈ N * ) ， S n 为其前 n 项和，则 S 5 的值为 ( 　　 ) A.57 B.61 C.62 D.63 解析　 由条件可得 a 2 ＝ 2 a 1 ＋ 1 ＝ 3 ， a 3 ＝ 2 a 2 ＋ 1 ＝ 7 ， a 4 ＝ 2 a 3 ＋ 1 ＝ 15 ， a 5 ＝ 2 a 4 ＋ 1 ＝ 31 ，所以 S 5 ＝ a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＋ a 4 ＋ a 5 ＝ 1 ＋ 3 ＋ 7 ＋ 15 ＋ 31 ＝ 57. 答案　 A 5. (2019· 安康 月考 ) 数列 0 ， 1 ， 0 ，－ 1 ， 0 ， 1 ， 0 ，－ 1 ， … 的一个通项公式 a n 等于 ( 　　 ) 解析　 令 n ＝ 1 ， 2 ， 3 ， … ，逐一验证四个选项，易得 D 正确 . 答案　 D 考点一　由数列的前几项求数列的通项 【例 1 】 (1) 已知数列的前 4 项为 2 ， 0 ， 2 ， 0 ，则依此归纳该数列的通项不可能是 ( 　　 ) 规律方法 　 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略 (1) 常用方法：观察 ( 观察规律 ) 、比较 ( 比较已知数列 ) 、归纳、转化 ( 转化为特殊数列 ) 、联想 ( 联想常见的数列 ) 等方法 . (2) 具体策略： ① 分式中分子、分母的特征； ② 相邻项的变化特征； ③ 拆项后的特征； ④ 各项的符号特征和绝对值特征； ⑤ 化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系； ⑥ 对于符号交替出现的情况，可用 ( － 1) k 或 ( － 1) k ＋ 1 ， k ∈ N + 处理 . 【训练 1 】 写出下列各数列的一个通项公式： 考点二　由 a n 与 S n 的关系求通项　 易错警示 【例 2 】 (1) (2019· 南昌 质检 ) 已知 S n 为数列 { a n } 的前 n 项和，且 log 2 ( S n ＋ 1) ＝ n ＋ 1 ，则数列 { a n } 的通项公式为 ________________. (2) (2018· 全国 Ⅰ 卷 ) 记 S n 为数列 { a n } 的前 n 项和 . 若 S n ＝ 2 a n ＋ 1 ，则 S 6 ＝ ________. 解析　 (1) 由 log 2 ( S n ＋ 1) ＝ n ＋ 1 ，得 S n ＋ 1 ＝ 2 n ＋ 1 ， 当 n ＝ 1 时， a 1 ＝ S 1 ＝ 3 ； 当 n ≥ 2 时， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ 2 n ， (2) 由 S n ＝ 2 a n ＋ 1 ，得 a 1 ＝ 2 a 1 ＋ 1 ，所以 a 1 ＝－ 1. 当 n ≥ 2 时， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ 2 a n ＋ 1 － (2 a n － 1 ＋ 1) ，得 a n ＝ 2 a n － 1 . ∴ 数列 { a n } 是首项为－ 1 ，公比为 2 的等比数列 . 【训练 2 】 (1) 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝ 2 n 2 － 3 n ，则数列 { a n } 的通项公式 a n ＝ ________. (2) 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝ 3 n ＋ 1 ，则数列的通项公式 a n ＝ ________. 解析 　 (1) a 1 ＝ S 1 ＝ 2 － 3 ＝－ 1 ，当 n ≥ 2 时， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ (2 n 2 － 3 n ) － [2( n － 1) 2 － 3( n － 1)] ＝ 4 n － 5 ，由于 a 1 也适合上式， ∴ a n ＝ 4 n － 5. 考点三　由数列的递推关系求通项 易错警示 A.2 ＋ ln n B.2 ＋ ( n － 1)ln n C.2 ＋ n ln n D.1 ＋ n ＋ ln n (2) 若 a 1 ＝ 1 ， na n － 1 ＝ ( n ＋ 1) a n ( n ≥ 2) ，则数列 { a n } 的通项公式 a n ＝ ________. (3) 若 a 1 ＝ 1 ， a n ＋ 1 ＝ 2 a n ＋ 3 ，则通项公式 a n ＝ ________. 所以 a 2 － a 1 ＝ ln 2 － ln 1 ， a 3 － a 2 ＝ ln 3 － ln 2 ， a 4 － a 3 ＝ ln 4 － ln 3 ， a n － a n － 1 ＝ ln n － ln( n － 1)( n ≥ 2). 把以上各式分别相加得 a n － a 1 ＝ ln n － ln 1 ， 则 a n ＝ 2 ＋ ln n ，且 a 1 ＝ 2 也适合， 因此 a n ＝ 2 ＋ ln n ( n ∈ N + ). 【训练 3 】 (1) (2019· 山东、湖北部分重点中学联考 ) 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若 a 1 ＝ 2 ， a n ＋ 1 ＝ a n ＋ 2 n － 1 ＋ 1 ，则 a n ＝ ________. (2) 若 a 1 ＝ 1 ， a n ＋ 1 ＝ 2 n a n ，则通项公式 a n ＝ ________. 解析　 (1) a 1 ＝ 2 ， a n ＋ 1 ＝ a n ＋ 2 n － 1 ＋ 1 ⇒ a n ＋ 1 － a n ＝ 2 n － 1 ＋ 1 ⇒ a n ＝ ( a n － a n － 1 ) ＋ ( a n － 1 － a n － 2 ) ＋ … ＋ ( a 3 － a 2 ) ＋ ( a 2 － a 1 ) ＋ a 1 ， 考点四　数列的性质 规律方法 　 1. 在数学命题中，以数列为载体，常考查周期性、单调性 . 2.(1) 研究数列的周期性，常由条件求出数列的前几项，确定周期性，进而利用周期性求值 .(2) 数列的单调性只需判定 a n 与 a n ＋ 1 的大小，常用比差或比商法进行判断 . 【训练 4 】 (1) 已知数列 { a n } 满足 a 1 ＝ 1 ， a n ＋ 1 ＝ a － 2 a n ＋ 1( n ∈ N + ) ，则 a 2 020 ＝ ________. (2) 若 a n ＝ n 2 ＋ kn ＋ 4 且对于 n ∈ N + ，都有 a n ＋ 1 > a n 成立，则实数 k 的取值范围是 ________. ∴ a 2 ＝ ( a 1 － 1) 2 ＝ 0 ， a 3 ＝ ( a 2 － 1) 2 ＝ 1 ， a 4 ＝ ( a 3 － 1) 2 ＝ 0 ， … ，可知数列 { a n } 是以 2 为周期的数列， ∴ a 2 020 ＝ a 2 ＝ 0. (2) 由 a n ＋ 1 > a n 知该数列是一个递增数列， 又通项公式 a n ＝ n 2 ＋ kn ＋ 4 ，所以 ( n ＋ 1) 2 ＋ k ( n ＋ 1) ＋ 4> n 2 ＋ kn ＋ 4 ，即 k > － 1 － 2 n . 又 n ∈ N + ，所以 k > － 3. 答案　 (1)0 　 (2)( － 3 ，＋ ∞ ) [ 思维升华 ] 1 . 数列是特殊的函数，要利用函数的观点认识数列 . 2. 已知递推关系求通项公式的三种常见方法： (1) 算出前几项，再归纳、猜想 . (2) 形如 “ a n ＋ 1 ＝ pa n ＋ q ” 这种形式通常转化为 a n ＋ 1 ＋ λ ＝ p ( a n ＋ λ ) ，由待定系数法求出 λ ，再化为等比数列 .