文科数学大二轮复习冲刺创新专题题型2解答题规范踩点多得分第4讲立体几何第3课时立体几何中的翻折问题和探索性问题练习 9页

第3课时　立体几何中的翻折问题和探索性问题 ‎[考情分析]　翻折问题和探索性问题是近年来高考立体几何中的常见题型．翻折是联结平面几何与立体几何的纽带，实现平面向空间的转化；探索性问题常以动点形式出现，是带着解析几何的味道出现在立体几何中的神秘杀手，让很多学生不知所措！对于这两类题目，破题的秘诀是“以静制动，静观其变！”‎ 热点题型分析 热点1　翻折问题 ‎1．处理好翻折问题的关键是抓住两图的特征关系，画好翻折前后的平面图形与立体图形，并弄清翻折前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化，这些未变化的已知条件都是我们分析问题和解决问题的依据．‎ ‎2．以翻折棱为基准，在同一个半平面内的几何元素之间的关系是不变的，分别位于两个半平面内的几何元素之间的关系一般是变化的．垂直于翻折棱的直线翻折后，仍然垂直于翻折棱．‎ ‎(2019·河北五校联考)如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝AB＝2，E为AC的中点，将△ACD沿AC折起，使折起后的平面ACD与平面ABC垂直，如图2.在图2所示的几何体D－ABC中：‎ ‎(1)求证：BC⊥平面ACD；‎ ‎(2)点F在棱CD上，且满足AD∥平面BEF，求几何体F－BCE的体积．‎ 解　(1)证明：∵AC＝＝2，∠BAC＝∠ACD＝45°，AB＝4，∴在△ABC中，BC2＝AC2＋AB2－2AC×AB×cos45°＝8，‎ ‎∴AB2＝AC2＋BC2＝16，∴AC⊥BC，‎ ‎∵平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥平面ACD.‎ ‎(2)∵AD∥平面BEF，AD⊂平面ACD，平面ACD∩平面BEF＝EF，∴AD∥EF，∵E为AC的中点，∴EF为△ACD的中位线，‎ - 9 -‎ 由(1)知，VF－BCE＝VB－CEF＝×S△CEF×BC，‎ S△CEF＝S△ACD＝××2×2＝，‎ ‎∴VF－BCE＝××2＝.‎ ‎1．解决与翻折有关的问题的关键是搞清翻折前后的变和不变．一般情况下，线段的长度是不变的，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口．‎ ‎2．在解决问题时，要综合考虑翻折前后的图形，既要分析翻折后的图形，也要分析翻折前的图形．‎ 如图1，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F分别在线段BC，AD上，EF∥AB，将矩形ABEF沿EF折起，记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF，如图2.‎ ‎(1)求证：NC∥平面MFD；‎ ‎(2)若EC＝3，求证：ND⊥FC；‎ ‎(3)求四面体NEFD体积的最大值．‎ 解　(1)证明：∵四边形MNEF和四边形EFDC都是矩形，‎ ‎∴MN∥EF，EF∥CD，MN＝EF＝CD，∴MNCD.‎ ‎∴四边形MNCD是平行四边形，∴NC∥MD.‎ ‎∵NC⊄平面MFD，MD⊂平面MFD，‎ ‎∴NC∥平面MFD.‎ ‎(2)证明：连接ED，‎ - 9 -‎ ‎∵平面MNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，平面MNEF∩平面ECDF＝EF，NE⊂平面MNEF，‎ ‎∴NE⊥平面ECDF.‎ ‎∵FC⊂平面ECDF，‎ ‎∴FC⊥NE.‎ ‎∵EC＝CD，∴四边形ECDF为正方形，‎ ‎∴FC⊥ED.‎ 又∵ED∩NE＝E，ED，NE⊂平面NED，‎ ‎∴FC⊥平面NED.‎ ‎∵ND⊂平面NED，‎ ‎∴ND⊥FC.‎ ‎(3)设NE＝x，则FD＝EC＝4－x，其中00)，则BD＝，‎ 因为△ABD∽△DCB，所以＝，即＝，‎ 解得x＝，故AB＝，BD＝，BC＝3.‎ 由于AB⊥平面ADC，AC⊂平面ADC，‎ 所以AB⊥AC，又E为BC的中点，所以由平面几何知识得AE＝＝，‎ 因为BD⊥DC，E为BC的中点，‎ 所以DE＝＝，所以 S△ADE＝×1× ＝.‎ 因为DC⊥平面ABD，‎ 所以VA－BCD＝VC－ABD＝CD·S△ABD＝.‎ 设点B到平面ADE的距离为d.则由d·S△ADE＝VB－ADE＝VA－BDE＝VA－BCD＝，得d＝，‎ 即点B到平面ADE的距离为.‎ - 9 -‎