高中数学选修2-2教学课件第一章 3 35页

§3 反证法 明目标 知重点 填 要点 记疑点 探 要点 究所然 内容 索引 01 02 03 当堂测 查疑缺 04 1. 了解反证法是间接证明的一种基本方法 . 2. 理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题 . 明目标、知重点 填要点 · 记疑点 1. 反证法 在证明数学命题时，先 假定 成立 ，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而 说明 ， 由此断定命题的结论成立，这种证明方法叫作反证法 . 命题结论的反面 命题结论的反面不可能成立 否定结论 2. 反证法的证题步骤 (1) 作出 的 假设； (2) 进行推理 ， ； (3) 否定假设 ， . 导出矛盾 肯定结论 至多有一个 3. 反证法中常用的 “ 结论词 ” 与 “ 反设词 ” 如下： 结论词 至少有一个 至少有 n 个 至多 有 个 反设词 ( 不存在 ) 至少有两个 至多有 个 至少有 ( n ＋ 1) 个 结论词 只有一个 对所有 x 成立 对 x 不成立 n 一个也没有 ( n － 1) 任意 反设词 没有或至 少有两个 存在 x 不成立 存在某个 x 成立 结论词 都是 p 或 q p q 反设词 不一定是 綈 p 綈 q 綈 p 或 綈 q 某个 一定是 且 不都是 且 探要点 · 究 所然 情境导学 王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍 . 一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎： “ 你怎么知道李子是苦的呢？ ” 王戎说： “ 假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的 . ” 这就是著名的 “ 道旁苦李 ” 的故事 . 王戎的论述，运用的方法即是本节课所要学的方法 —— 反证法 . 探究点一　反证法的概念 思考 1 　结合情境导学描述反证法的一般模式 . 答　 (1) 假设原命题不成立 ( 提出原命题的否定，即 “ 李子苦 ” ) ， ( 2) 以此为条件，经过正确的推理，最后得出一个结论 ( “ 早被路人摘光了 ” ) ， ( 3) 判定该结论与事实 ( “ 树上结满李子 ” ) 矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法称为反证法 . 思考 2 　反证法证明的关键是经过推理论证，得出矛盾 . 反证法引出的矛盾有几种情况？ 答　 (1) 与原题中的条件矛盾； (2) 与定义、公理、定理、公式等矛盾； (3) 与假设矛盾 . 思考 3 　反证法主要适用于什么情形？ 答　 ① 要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰； ② 如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形 . 探究点二　用反证法证明几何问题 例 1 　 已知直线 a ， b 和平面 α ， 如果 a α ， b  α ，且 a ∥ b ，求证： a ∥ α . 证明　 因为 a ∥ b ， 所以经过直线 a ， b 确定一个平面 β . 因为 a α ，而 a  β ，所以 α 与 β 是两个不同的平面 . 下面用反证法证明直线 a 与平面 α 没有公共点 . 假设直线 a 与平面 α 有公共点 P ，如图所示， 则 P ∈ α ∩ β ＝ b ，即点 P 是直线 a 与 b 的公共点， 这与 a ∥ b 矛盾 . 所以 a ∥ α . 反思与感悟　 数学中的一些基础命题都是数学中我们经常用到的明显事实，它们的判定方法极少，宜用反证法证明 . 正难则反是运用反证法的常见思路，即一个命题的结论如果难以直接证明时，可考虑用反证法 . 跟踪训练 1 　如图，已知 a ∥ b ， a ∩ 平面 α ＝ A . 求证：直线 b 与平面 α 必相交 . 证明　 假设 b 与平面 α 不相交，即 b α 或 b ∥ α . ① 若 b α ，因为 b ∥ a ， a α ，所以 a ∥ α ， 这与 a ∩ α ＝ A 相矛盾； ② 如图所示，如果 b ∥ α ， 则 a ， b 确定平面 β . 显然 α 与 β 相交， 设 α ∩ β ＝ c ，因为 b ∥ α ， 所以 b ∥ c . 又 a ∥ b ， 从而 a ∥ c ，且 a α ， c  α ， 则 a ∥ α ，这与 a ∩ α ＝ A 相矛盾 . 由 ①② 知，假设不成立， 故直线 b 与平面 α 必相交 . 探究点三　用反证法证明否定性命题 例 2 　 求证 ： 不是 有理数 . 证明　 假设 是 有理数 . 于是，存在互质的正整数 m ， n ， 所以 m 为偶数 . 于是可设 m ＝ 2 k ( k 是正整数 ) ，从而有 4 k 2 ＝ 2 n 2 ，即 n 2 ＝ 2 k 2 ， 所以 n 也为偶数 . 这与 m ， n 互质矛盾 . 由上述矛盾可知假设错误， 从而 不是 有理数 . 反思与感悟　 当结论中含有 “ 不 ” 、 “ 不是、 “ 不可能 ” 、 “ 不存在 ” 等否定形式的命题时，由于此类问题的反面比较具体，适于应用反证法 . 跟踪训练 2 　已知三个正数 a ， b ， c 成等比数列，但不成等差数列，求证 ： 不成 等差数列 . 探究点四　含至多、至少、唯一型命题的证明 例 3 　 若函数 f ( x ) 在区间 [ a ， b ] 上是增函数，那么方程 f ( x ) ＝ 0 在区间 [ a ， b ] 上至多有一个实根 . 证明　 假设方程 f ( x ) ＝ 0 在区间 [ a ， b ] 上至少有两个实根， 设 α 、 β 为其中的两个实根 . 因为 α ≠ β ，不妨设 α < β ， 又因为函数 f ( x ) 在 [ a ， b ] 上是增函数， 所以 f ( α )< f ( β ). 这与假设 f ( α ) ＝ 0 ＝ f ( β ) 矛盾， 所以方程 f ( x ) ＝ 0 在区间 [ a ， b ] 上至多有一个实根 . 反思与感悟　 当一个命题的结论有 “ 最多 ” 、 “ 最少 ” 、 “ 至多 ” 、 “ 至少 ” 、 “ 唯一 ” 等字样时，常用反证法来证明，用反证法证明时，注意准确写出命题的假设 . 证明　 假设 a ， b ， c 都不大于 0 ，即 a ≤ 0 ， b ≤ 0 ， c ≤ 0 ， 所以 a ＋ b ＋ c ≤ 0 ， ＝ ( x － 1) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＋ ( z － 1) 2 ＋ π － 3 ， 所以 a ＋ b ＋ c >0 ，这与 a ＋ b ＋ c ≤ 0 矛盾， 故 a 、 b 、 c 中至少有一个大于 0. 当堂测 · 查 疑缺 1. 证明 “ 在 △ ABC 中至多有一个直角或钝角 ” ，第一步应假设 ( 　　 ) A. 三角形中至少有一个直角或钝角 B. 三角形中至少有两个直角或钝角 C. 三角形中没有直角或钝角 D. 三角形中三个角都是直角或钝角 B 1 2 3 4 5 2. 用反证法证明 “ 三角形中至少有一个内角不小于 60° ” ，应先假设这个三角形中 ( 　　 ) A. 有一个内角小于 60° B. 每一个内角都小于 60° C. 有一个内角大于 60° D. 每一个内角都大于 60° B 1 2 3 4 5 3. “ a < b ” 的反面应是 ( 　　 ) A. a ≠ b B. a > b C. a ＝ b D. a ＝ b 或 a > b D 1 2 3 4 5 4. 用反证法证明 “ 在同一平面内，若 a ⊥ c ， b ⊥ c ，则 a ∥ b ” 时，应假设 ( 　　 ) A. a 不垂直于 c B. a ， b 都不垂直于 c C. a ⊥ b D. a 与 b 相交 D 1 2 3 4 5 5. 已知 a ≠ 0 ，证明：关于 x 的方程 ax ＝ b 有且只有一个根 . 证明　 由于 a ≠ 0 ，因此方程至少有一个根 x ＝ . 如果方程不止一个根，不妨设 x 1 ， x 2 是它的两个不同的根，即 ax 1 ＝ b ， ① ax 2 ＝ b . ② ① － ② ，得 a ( x 1 － x 2 ) ＝ 0. 1 2 3 4 5 1 2 3 4 因为 x 1 ≠ x 2 ， 所以 x 1 － x 2 ≠ 0 ， 所以 应有 a ＝ 0 ，这与已知矛盾，故假设错误 . 所以，当 a ≠ 0 时，方程 ax ＝ b 有且只有一个根 . 5 呈 重点、现 规律 1. 反证法证明的基本步骤 (1) 假设命题结论的反面是正确的； ( 反设 ) (2) 从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾； ( 推缪 ) (3) 由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论是正确的 .( 结论 ) 2. 反证法证题与 “ 逆否命题法 ” 的异同 反证法的理论基础是逆否命题的等价性，但其证明思路不完全是证明一个命题的逆否命题 . 反证法在否定结论后，只要找到矛盾即可，可以与题设矛盾，也可以与假设矛盾，还可以与定义、定理、公式、事实矛盾 . 因此，反证法与证明逆否命题是不同的 . 更多精彩内容请 登录 http ://www.91taoke.com 谢谢观看