陕西省咸阳市2020届高三第一次高考模拟检测数学（文）试题 18页

咸阳市 2020 年高考模拟检测（一） 数学文科试题 注意事项： 1.本试卷共 4 页，满分 150 分，时间 120 分钟； 2.答卷前，考生须准确填写自己的姓名.准考证号，并认真核准条形码上的姓名、 准考证号； 3.第 I 卷选择题必须使用 2B 铅笔填涂，第 II 卷非选择题必须使用 0.5 毫米黑色墨 水签字笔书写，涂写要工整、清晰； 4.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回. 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 求出集合 ，然后利用交集的定义可求出集合 . 【详解】 ，因此， . 故选：A. 【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题. 2.设 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 在等式 的两边同时除以 ，利用复数的除法法则可求出复数 . { | 2 2}A x x= ∈ − < 【分析】 设 A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＜ ,或 x＞0}，判断集合 A，B 的包含关系，根据“谁小谁充分，谁 大谁必要”的原则，即可得到答案． 【详解】设 A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＜ ,或 x＞0}， ∵A B， 故“x＞0”是“ ”成立的充分不必要条件． 故选 A． 【点睛】本题考查的知识点是必要条件，充分条件与充要条件判断，其中熟练掌握集合法判 断充要条件的原则“谁小谁充分，谁大谁必要”，是解答本题的关键． 6.椭圆 的一个焦点坐标为 ，则实数 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 将椭圆的方程化为标准方程，结合该椭圆的焦点坐标得出关于实数 的方程，解出即可. 【详解】椭圆的标准方程为 ，由于该椭圆的一个焦点坐标为 ，则 ， 解得 . 故选：D. 【点睛】本题考查利用椭圆的焦点坐标求参数，解题时要将椭圆方程化为标准方程，同时要 注意确定椭圆的焦点位置，考查运算求解能力，属于基础题. 7.函数 的单调递增区间是（ ） A. B. 1− 1− ≠ ⊂ 2 0x x+ > 2 22 1x my− = ( )0, 2− m = 2 3 2 5 2 3 − 2 5 − m 2 2 11 1 2 x y m + = − ( )0, 2− 1 1 22m − − = 2 5m = − cos 4y x ππ = −   1 32 ,24 4k k − +   ( )k ∈Z 3 72 ,24 4k k + +   ( )k ∈Z C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 解不等式 ，可得出函数 的单调递增区间. 【详解】令 ，解得 ， 因此，函数 的单调递增区间是 . 故选：C 【点睛】本题考查余弦型三角函数单调区间的求解，解题时要熟练利用余弦函数的单调性， 考查计算能力，属于中等题. 8.已知 ，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 将代数式 与 相乘，展开后利用基本不等式可求出 的最小值. 【详解】 ， 且 ， 则 ， 当且仅当 时，等号成立，因此， 的最小值为 . 故选：C. 【点睛】本题考查利用基本不等式求和的最小值，涉及 的妙用，考查计算能力，属于中等题. 9.设 、 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，给出下列四个命题： 3 12 ,24 4k k − +   ( )k ∈Z 1 52 ,24 4k k + +   ( )k ∈Z ( )2 24k x k k Z ππ π π π− ≤ − ≤ ∈ cos 4y x ππ = −   ( )2 24k x k k Z ππ π π π− ≤ − ≤ ∈ ( )3 12 24 4k x k k Z− ≤ ≤ + ∈ cos 4y x ππ = −   ( )3 12 ,24 4k k k Z − + ∈   1 2 1x y + = ( 0, 0)x y> > 2x y+ 10 9 8 7 1 2 x y + 2x y+ 2x y+ 0x > 0y > 1 2 1x y + = ( ) 1 2 4 42 2 4 4 2 8x y x yx y x y x y y x y x  + = + + = + + ≥ + ⋅ =   2y x= 2x y+ 8 1 m n α β ①若 ， ，则 ； ②若 ， ，则 ； ③若 ， ，则 ； ④若 ， ，则 . 其中真命题的序号为（ ） A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④ 【答案】A 【解析】 【分析】 逐一分析命题①②③④的正误，可得出合适的选项. 【详解】对于命题①，若 ，过直线 作平面 ，使得 ，则 ， ， ， ， ，命题①正确； 对于命题②，对于命题②，若 ， ，则 ，命题②正确； 对于命题③，若 ， ，则 与 相交、平行或异面，命题③错误； 对于命题④，若 ， ，则 或 ，命题④错误. 故选：A. 【点睛】本题考查有关线面、面面位置关系的判断，考查推理能力，属于中等题. 10.有编号为 , , 的三个盒子和编号分别为 , , 的三个小球，每个盒子放入一个小球，则 小球的编号与盒子编号全不相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 列举出所有的基本事件，并确定出事件“小球的编号与盒子编号全不相同”所包含的基本事 件，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】以 表示编号为 、 、 的盒子分别放编号为 、 、 的小球，则所有的基 本事件有： 、 、 、 、 、 ，共 种， m α⊥ //n α m n⊥ //α β m α⊥ m β⊥ //m α //n α //m n m α⊥ α β⊥ //m β //n α n β aα β∩ = //a n m α⊥ a α⊂ m a∴ ⊥ m n∴ ⊥ //α β m α⊥ m β⊥ //m α //n α m n m α⊥ α β⊥ m β⊂ //m β 1 2 3 1 2 3 8 27 5 6 2 3 1 3 ( )1,2,3 1 2 3 1 2 3 ( )1,2,3 ( )1,3,2 ( )2,1,3 ( )2,3,1 ( )3,1,2 ( )3,2,1 6 其中，事件“小球的编号与盒子编号全不相同”所包含的基本事件有： 、 ， 共 个， 因此，小球的编号与盒子编号全不相同的概率为 . 故选：D. 【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，解题的关键就是列举出所有的 基本事件，遵循不重不漏的原则，考查计算能力，属于中等题. 11.设函数 ，则（ ） A. 有极大值 B. 有极小值 C. 有极大值 D. 有极小值 【答案】B 【解析】 【分析】 利用导数求出函数 的极值点，分析导数符号的变化，即可得出结论. 【详解】 ，定义域为 ， ，令 ，可得 . 当 时， ；当 时， . 所以，函数 在 处取得极小值 ， 故选：B. 【点睛】本题考查利用导数求函数的极值，在求出极值点后，还应分析出导数符号的变化， 考查计算能力，属于中等题. 12.已知双曲线 的两个焦点分别为 , ，以 为直径的圆交 双曲线 于 , , , 四点，且四边形 为正方形，则双曲线 的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 ( )2,3,1 ( )3,1,2 2 2 1 6 3 = ( ) xf x x e= ⋅ ( )f x 1 e ( )f x 1 e − ( )f x e ( )f x e− ( )y f x= ( ) xf x x e= ⋅ R ( ) ( )1 xf x x e′∴ = + ( ) 0f x′ = 1x = − 1x < − ( ) 0f x′ < 1x > − ( ) 0f x′ > ( ) xf x x e= ⋅ 1x = − ( ) 11f e − = − 2 2 2 2: 1x yC a b − = ( 0, 0)a b> > 1F 2F 1 2F F C P Q M N PQMN C 2 2− 2 2− 2 2+ 2 2+ 设 、 、 、 分 别 为 第 一 、 二 、 三 、 四 象 限 内 的 点 ， 根 据 对 称 性 可 得 出 ，将点 的坐标代入双曲线 的方程，即可求出双曲线 的离心率. 【详解】设双曲线 的焦距为 ，设 、 、 、 分别为第一、二、三、四象 限内的点， 由双曲线的对称性可知，点 、 关于 轴对称， 、 关于原点对称， 、 关于 轴 对称，由于四边形 为正方形，则直线 的倾斜角为 ，可得 ， 将点 的坐标代入双曲线 的方程得 ，即 ， 设该双曲线的离心率为 ，则 ，整理得 ， 解得 ，因此，双曲线 的离心率为 . 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线上关键点的坐标，考查 计算能力，属于中等题. 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.曲线 在点 处的切线的方程为__________． 【答案】 【解析】 分析】 对 求导，带入 得到斜率，通过点斜式得到切线方程，再整理成一般式得到答案. 详解】 带入 得切线的斜率 ， 切线方程为 ，整理得 【 【 P Q M N 2 2,2 2P c c       P C C C ( )2 0c c > P Q M N P Q y P M P N x PQMN PM 4 π 2 2,2 2P c c       P C 2 2 2 2 12 2 c c a b − = ( ) 2 2 2 2 2 12 2 c c a c a − = − ( )1e e > ( ) 2 2 2 12 2 1 e e e − = − 4 24 2 0e e− + = 2 2 2e = + C 2 2+ lny x x= ⋅ (1,0) 1 0x y− − = ( )f x 1x = lny x x= ⋅ 1ln ln +1y x x xx ∴ = + ⋅ =′ 1x = 1k = ∴ ( )0 1 1y x− = × − 1 0x y− − = 【点睛】本题考查导数的几何意义，通过求导求出切线的斜率，再由斜率和切点写出切线方 程.难度不大，属于简单题. 14.若变量 、 满足约束条件： ，则 的最大值是______. 【答案】 【解析】 【分析】 作出不等式组所表示的可行域，平移直线 ，观察该直线在 轴上的截距最大时对 应的最优解，代入目标函数计算即可. 【详解】作出不等式组 所表示的可行域如下图所示： 联立 ，得 ，可得点 ， 平移直线 ，当该直线经过可行域的顶点 时，直线 在 轴上的截距最 大，此时 取得最大值，即 . 故答案为： . 【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值，一般通过平移直线找出 最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题. x y 2 2 0 2 2 0 2 0 x y x y x y − + ≥  − − ≤  + + ≥ 3 2z x y= + 10 3 2z x y= + x 2 2 0 2 2 0 2 0 x y x y x y − + ≥  − − ≤  + + ≥ 2 2 0 2 2 0 x y x y − + =  − − = 2x y= = ( )2,2A 3 2z x y= + A 3 2z x y= + x 3 2z x y= + max 3 2 2 2 10z = × + × = 10 15.已知 ，则 _________， =__________． 【答案】 ；1． 【解析】 试 题 分 析 ： 由 题 意 得 ， , 所 以 . 考点：1.二倍角公式；2.三角恒等变换. 16.秦九韶是我国古代的数学家，他的《数书九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就. 秦九韶算法是一种将一元 次多项式的求值问题转化为 个一次式的算法，其大大简化了计算 过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法， 在西方被称作霍纳算法. . 改写成以下形式： 若 ，则 _________. 【答案】 【解析】 【分析】 利 用 霍 纳 算 法 依 次 计 算 ， ， 在 处的取值，由此可得出 ，从而得出结果. 【详解】由霍纳算法可知，当 时， ， 22cos sin 2 sin( ) ( 0)x x A x b Aω ϕ+ = + + > A = b 2 n n 1 2 1 2 1 0( ) n n n n n nf x a x a x a x a x a− − − −= + + + + + 1 2 1 2 1 0( ) n n n n n nf x a x a x a x a x a− − − −= + + + + + ( )1 2 3 1 2 1 0 n n n n n na x a x a x a x a− − − − −= + + + + + ( )( )2 3 1 3 2 1 0 n n n na x a x a x a x a x a− − −= + + + + + + … ( )( )( )1 2 1 0n n na x a x a x a x a− −= + + + + +  ( ) ( ) ( ) ( )3 22 3 1 3 1 3 1f x x x x= + + + + + − ( )2 3f − = 0 ( ) ( )1 2 3 1 3v x= + + + ( )2 1 1 3v v x= + + 3 2 1v v x= − 2 3x = − ( ) 32 3f v− = 2 3x = − ( )( ) ( )1 2 3 2 3 1 3 2 3v = + − + + = + ， 因此， . 故答案为： . 【点睛】本题考查算法思想的应用，解题的关键就是利用题中的算法逐一计算，考查计算能 力，属于中等题. 三、.解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为 必考题，每个试题考生都必须作答.第 22.23 题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：共 60 分. 17.在 中，内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已知 ， ，且 . （Ⅰ）求角 的大小； （Ⅱ）如果 ， ，求 的面积. 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） . 【解析】 【分析】 （Ⅰ）由 得出 ，利用平面向量数量积的坐标运算、二倍角公式以及同角商数 关系可求得 ，结合 的范围可得出角 的值； （Ⅱ）利用余弦定理求出 的值，然后利用三角形的面积公式即可求出 的面积. 【详解】（Ⅰ） ， . 化简得： ，又 ， ； （Ⅱ）由余弦定理 得， ， 整理得 ，解之得： ， . ( ) ( ) ( )( ) ( )2 12 3 1 3 2 3 2 3 1 3 2 3v v= − + + = − + + + = + ( ) ( ) ( )( )22 3 2 3 1 2 3 2 3 1 0f v− = − − = − + − = 0 ABC∆ A B C a b c 2sin , 32 Bm  =     cos ,cos2 Bn B =     m n⊥  B 1a = 3b = ABC∆ 2 3 π 3 4 m n⊥  0m n⋅ =  tan 3B = − B B c ABC∆ m n⊥   2sin cos 3 cos sin 3 cos 02 2 B Bm n B B B∴ ⋅ = + = + =  tan 3B = − 0 B π< < 2 3B π∴ = 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − ( )2 2 2 13 1 2 2c c = + − −   2 2 0c c+ − = 1c = 1 1 3 3sin 1 12 2 2 4ABCS ac B∆∴ = = × × × = 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形、三角形面积的计算，涉及平面向量垂直的坐标表 示，考查计算能力，属于基础题. 18.如图，长方体 中， 是棱 的中点， ， . （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）求三棱锥 的体积. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） . 【解析】 【分析】 （Ⅰ）由长方体的性质可得出 平面 ，从而可得出 ； （Ⅱ）由长方体的性质可得出 平面 ，可得出三棱锥 的高为 ， 由此可计算出三棱锥 的体积. 【详解】（Ⅰ）证明： 是长方体， 平面 . 又 平面 ， ； （Ⅱ） ， 是棱 的中点， ， ， 在长方体 中，则 平面 ， . 【点睛】本题考查利用线面垂直的性质证明线线垂直，同时也考查了三棱锥体积的计算，考 查推理能力与计算能力，属于基础题. 19.某单位利用“学习强国”平台，开展网上学习，实行积分制.为了了解积分情况，随机调查 了 名员工，得到这些员工学习得分频数分布表： 得分 1 1 1 1ABCD A B C D− E 1 1D C 2AB = 1 1BC BB= = 1 1B C DE⊥ 1 1E DB C− 1 6 1 1B C ⊥ 1 1CDD C 1 1B C DE⊥ 1DD ⊥ 1111 DCBA 1 1D B C E− 1DD 1 1E DB C− 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1B C∴ ⊥ 1 1DCC D DE ⊂ 1 1DCC D 1 1B C DE∴ ⊥ 2AB = E 1 1D C 1 1EC∴ = 1 1 1 1 1 1 1 2 2B C ES EC B C∆∴ = ⋅ = 1 1 1 1ABCD A B C D− 1DD ⊥ 1111 DCBA 1 1 1 1 1 1 1 1 1 113 2 6 1 3E DB C D B C BE C EV V S DD− − ∆∴ ×⋅ ×= = == 50 [ )0,10 [ )10,20 [ )20,30 [ )30,40 [ )40,50 人数 （Ⅰ）求这些员工学习得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （Ⅱ）用分层抽样的方法从得分在 和 的员工中选取 人.从选取的 人中，再 任选取 人，求得分在 和 中各有 人的概率. 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） . 【解析】 【分析】 （Ⅰ）将每组的中点值乘以频数，相加之后再除以总人数即可得出所求平均数； （Ⅱ）由分层抽样可知， 人中位于 中的有 人，分别记为 、 ，在 中的 有 人，分别记为 、 、 ，列举出所有的基本事件，并确定事件“得分在 和 中各有 人”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式计算即可. 【详解】（Ⅰ）记这 名员工学习得分的平均数为 ， 则 ； （Ⅱ）用分层抽样可知从 中选 人，记这 人分别为 、 ， 从 中选 人，记这 人分别为 、 、 . 从 、 、 、 、 中再任取 人的情况有： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，共 种. 其中得分在 和 中各有 人的情况有： 、 、 、 、 、 ，共 种. 记事件 为“得分在 和 中各有 人”，则 . 【点睛】本题考查样本平均数的计算，同时也考考查了利用古典概型的概率公式计算事件的 概率，解题的关键就是列举出所有的基本事件，考查计算能力，属于中等题. 20.已知函数 . 5 10 15 13 7 [ )10,20 [ )20,30 5 5 2 [ )10,20 [ )20,30 1 26.4 3 5 5 [ )10,20 2 1a 2a [ )20,30 3 1b 2b 3b [ )10,20 [ )20,30 1 50 x ( )1 5 5 15 10 25 15 35 13 45 7 26.450x = × × + × + × + × + × = [ )10,20 2 2 1a 2a [ )20,30 3 3 1b 2b 3b 1a 2a 1b 2b 3b 2 1 2a a 1 1a b 1 2a b 1 3a b 2 1a b 2 2a b 2 3a b 1 2b b 1 3b b 2 3b b 10 [ )10,20 [ )20,30 1 1 1a b 1 2a b 1 3a b 2 1a b 2 2a b 2 3a b 6 A [ )10,20 [ )20,30 1 ( ) 6 3 10 5P A = = ( ) ( )lnf x x ax a R= − ∈ （Ⅰ）讨论 的单调性； （Ⅱ）若 有两个零点，求实数 取值范围. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） . 【解析】 【分析】 （Ⅰ）求出函数 的定义域和导数 ，然后分 和 两种情况讨 论，分析 在 上导数符号的变化，即可得出函数 的单调区间； （Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，函数 有两个零点，则 且有 ，即可求 出实数 的取值范围. 【详解】（Ⅰ）函数 的定义域为 ， . ①当 时，由 ，知函数 在 内单调递增； ②当 时，由 ，即 得 ； 由 ，即 得 . 所以，函数 在 内单调递增，在 内单调递减. 因此，当 时， 在 内单调递增； 当 时， 在 内单调递增；在 内单调递减； （Ⅱ）当 时，则函数 在 上为增函数，函数 最多一个零点， 不合乎题意，舍去； 当 时，由（Ⅰ）知，函数 在 内单调递增，在 内单调递减. 且当 时， ，当 时， ， 的 ( )f x ( )f x a 10, e      ( )y f x= ( ) 1f x ax ′ = − 0a ≤ 0a > ( )f x′ ( )0, ∞+ ( )y f x= ( )y f x= 0a > 1 0f a   >   a ( ) lnf x x ax= − ( )0, ∞+ ( ) 1f x ax ′ = − 0a ≤ ( ) 0f x′ > ( )y f x= ( )0, ∞+ 0a > ( ) 0f x′ > 1 0ax − > 10 x a < < ( ) 0f x′ < 1 0ax − < 1x a > ( )y f x= 10, a      1 ,a  +∞   0a ≤ ( )y f x= ( )0, ∞+ 0a > ( )y f x= 10, a      1 ,a  +∞   0a ≤ ( )y f x= ( )0, ∞+ ( )y f x= 0a > ( )y f x= 10, a      1 ,a  +∞   0x → ( )f x → −∞ x → +∞ ( )f x → −∞ 则 ，即 ，解得 . 因此，实数 的取值范围是 . 【点睛】本题考查带参函数单调区间的求解，同时也考查了利用函数的零点个数求参数的取 值范围，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 21.如图，已知抛物线 的焦点是 ，准线是 . （1）写出焦点 的坐标和准线 的方程； （2）已知点 ，若过点 直线交抛物线 于不同的两点 、 （均与 不重合）， 直线 、 分别交 于点 、 ，求证： . 【答案】（1） ，准线 的方程为 ；（2）见解析. 【解析】 【分析】 （1）由抛物线的定义即可解题； （2）由（1）知：设直线 的方程为： ，与抛物线方程联立，由根与系 数的关系得： ．直线 方程为： ， ，当 时， ， ，同理得： ，得到 ，所以 ，所以 ． 【详解】解：（1）抛物线 的焦点为 ，准线 的方程为： ； 的 1 1ln 1 ln 1 0f aa a   = − = − − >   ln 1a < − 10 a e < < a 10, e      2: 8C y x= F l F l ( )8,8P F C A B P PA PB l M N MF NF⊥ ( )2,0F l 2x = − AB 2 ( )x my m R− = ∈ 1 2 16y y = − PB 2 2 8 8 8 8 y x y x − −=− − 2 2 2 2 2 8 8 8( 8) 8 888 y y xy xy y − += − + = +− 2x = − 2 2 8 16 8 yy y −= + ∴ 2 2 8 16( 2, )8 yN y −− + 1 1 8 16( 2, )8 yM y −− + 0FN FM =   FN FM⊥  MF NF⊥ 2: 8C y x= ( )2,0F l 2x = − （2）设直线 的方程为： ，令 ， ， 联立直线 的方程与抛物线 的方程 ，消去 得 ，由根与系 数的关系得： . 直线 方程为： ， ， 当 时， ， ，同理得： . ， , ， ， . 【点睛】本题主要考查了抛物线的性质，以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题． (二)选考题：共 10 分，考生从 22.23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分.作答时用 2B 铅笔在答题卡.上将所选题目对应的题号涂黑. 22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程 ( 为参数)，直线 的参数方程 AB ( )2x my m R= + ∈ ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y AB C 2 2 8 x my y x = +  = x 2 8 16 0y my− − = 1 2 16y y = − PB 2 2 8 8 8 8 y x y x − −=− − ( )2 2 2 2 2 8 8 88 8 888 y y xy xy y − += − + = +− 2x = − 2 2 8 16 8 yy y −= + 2 2 8 162, 8 yN y  −∴ − +  1 1 8 162, 8 yM y  −− +  2 2 8 164, 8 yFN y  −∴ = − +   1 1 8 164, 8 yFM y  −= − +   ( )( ) ( )( ) ( )( )2 1 2 12 1 2 1 2 1 16 8 8 8 16 8 168 16 8 1616 8 8 8 8 y y y yy yFN FM y y y y + + + − −− −∴ ⋅ = + × =+ + + +   ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 2 2 1 2 1 80 16 80 16 16 08 8 8 8 y y y y y y + − += = =+ + + + FN FM∴ ⊥  MF NF∴ ⊥ xOy C 2 3 2 x cos y sin β β  = = β l ( 为参数). （1）求曲线 在直角坐标系中的普通方程； （2）以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线 截直线 所得线段 的中点极坐标为 时，求直线 的倾斜角. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）消去参数 后化简整理即可得到曲线 的普通方程； （2）将直线 的参数方程代入曲线 的普通方程中，可得到关于 的一元二次方程，由韦达定 理并结合参数 的几何意义可得 ，从而求得 ， 最后写出直线的倾斜角即可. 【详解】（1）由曲线 的参数方程 ( 为参数)， 可得： ， 由 ，得： ， 曲线 的参数方程化为普通方程为： ； （2）中点的极坐标 化成直角坐标为 ， 将直线 的参数方程代入曲线 的普通方程中，得： ， 化简整理得： ， ， 3 cos 1 sin x t y t α α  = + = + t C O x C l 2, 6 π     l 2 2 112 4 x y+ = 5 6 π β C l C t t 1 2 2 2 6 2 3 03 sin cost t cos sin α α α α ++ = − =+ 3 3tanα = − C 2 3 2 x cos y sin β β  = = β cos 2 3 sin 2 x y β β  =  = 2 2 1sin cosβ β+ = 2 2 112 4 x y+ = ∴ C 2 2 112 4 x y+ = 2, 6 π     ( )3,1 l C ( ) ( )2 23 1 112 4 tcos tsinα α+ ++ = ( ) ( )2 2 23 6 2 3 6 0cos sin t sin cos tα α α α+ + + − = ∴ 1 2 2 2 6 2 3 03 sin cost t cos sin α α α α ++ = − =+ 即 ， ， 即 ， 又 ， 直线 的倾斜角为 . 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查直线参数方程中 的几何意义的应用， 考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 23.已知函数 . （Ⅰ）当 时，求不等式 的解集； （Ⅱ）若 时， ，求 的取值范围. 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） . 【解析】 【分析】 （Ⅰ）将 代入函数 的解析式，分 和 解不等式 ，即可得 出不等式 的解集； （Ⅱ）由 可得出 ，由 可得出 ，结合 ，即可得出实数 的取值范围. 【详解】（Ⅰ）当 时， ，由 得 . ①当 时，原不等式可化为： ，解之得： ； ②当 时，原不等式可化为： ，解之得： 且 ， . 因此，不等式 的解集为 ； （Ⅱ）当 时， ， 6 2 3 0sin cosα α− − = ∴ 3 cos 3 sinα α = − 3 3tanα = − (0, )α π∈ ∴ l 5 6 π t ( ) ( ) ( )2 2f x x a x x x a= − − + − − 2a = ( ) 0f x < ( )0,2x∈ ( ) 0f x ≥ a { }2x x < ( ],0−∞ 2a = ( )y f x= 2x ≥ 2x < ( ) 0f x < ( ) 0f x < ( )0,2x∈ ( ) ( ) ( )2f x x x a x a= −  − − −   ( ) 0f x ≥ a x≤ 0 2x< < a 2a = ( ) ( )2 2 2f x x x= − − ( ) 0f x < ( )2 2 0x x− − < 2x ≥ ( )22 0x − < x∈∅ 2x < ( )22 0x− − < x∈R 2x ≠ 2x∴ < ( ) 0f x < { }2x x < ( )0,2x∈ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2f x x a x x x a x x a x a= − − + − − = −  − − −   由 得 ， ， ， ， ，因此，实数 的取值范围是 . 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了利用不等式恒成立求参数，解题的关 键就是要结合自变量的取值范围去绝对值，考查运算求解能力，属于中等题. ( ) 0f x ≥ ( ) ( )2 0x x a x a−  − − −  ≥  x a x a∴ − ≤ − 0x a∴ − ≥ ( )0 2a x x∴ ≤ < < 0a∴ ≤ a ( ],0−∞