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  • 2021-06-16 发布

陕西省西安交通大学附中上学期2020届高三第四次诊断数学(文)试题

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交大附中2019~2020学年第一学期 高三第四次诊断考试数学试题(文)‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)‎ ‎1.复数的虚部是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析:,虚部为-1.‎ 考点:复数的概念和运算.‎ ‎2.双曲线的离心率是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 已知双曲线方程,找出方程中,代入离心率的公式即可.‎ ‎【详解】因为双曲线,‎ 所以,,‎ 因为,‎ 所以离心率.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了双曲线方程的离心率,属于基础题.‎ ‎3.=( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析:.‎ 考点:全诱导公式应用及特殊角的三角函数值.‎ ‎4.下列说法不正确的是( )‎ A. 命题“若,则”的逆否命题为“若,则”‎ B. 为假命题,则均为假命题 C. 若“”是“”的充分不必要条件 D. 若命题:“,使得”,则“,均有”‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据逆否命题的定义、含逻辑连接词命题的真假性、充分条件与必要条件的判定、含量词的命题的否定依次判断各个选项即可.‎ ‎【详解】根据逆否命题的定义可知:“若,则”的逆否命题为:“若,则”,正确;‎ 为假命题,则只要,不全为真即可,错误;‎ 由可得:,充分条件成立;由可得:或,必要条件不成立;则“”是“”的充分不必要条件,正确;‎ 根据含量词命题的否定可知,,使得的否定为:,均有,正确.‎ 本题正确选项:‎ ‎【点睛】本题考查命题真假性的判定,涉及到逆否命题的定义、含逻辑连接词的命题、充分条件与必要条件、含量词命题的否定的知识.‎ ‎5.已知角的终边经过点且,则等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析:依题意有.‎ 考点:三角函数概念.‎ ‎6.全集,,,则图中阴影部分表示( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题中韦恩图知,阴影部分面积为,求出集合,的范围,然后根据运算律求解即可.‎ ‎【详解】由题知阴影部分面积为,‎ ‎,‎ ‎,‎ 所以,‎ 故.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合的运算,属于基础题.‎ ‎7.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析:首先根据所给的三视图,可以判断外层的轮廓是由一个正方体切割而成的,再者就是里边有一个空洞,是一个球体的八分之一,所以在求其体积时,就等于棱锥的体积减去部分球体的体积,从图中得到相应的线段的长度,代入公式求得结果.‎ 详解:根据题中所给的几何体的三视图,‎ 可以断定该几何体为一个四棱锥里边挖去了八分之一的球体,‎ 并且该四棱锥就是由一个正方体切割而成的,‎ 根据体积公式求得四棱锥的体积为,‎ 而挖去八分之一球体的体积为,‎ 所以该几何体的体积为,故选A.‎ 点睛:该题考查的是有关三视图还原几何体求其体积的问题,在求解的过程中,最关键的一步就是还原几何体,从图中可以发现其为一个棱锥挖去一个部分球体的几何体,一是需要明确棱锥的顶点的特征,二是挖去的是球体的几分之几,之后借助于公式,从图中读出边长求得结果.‎ ‎8.若程序框图如图所示,则该程序运行后输出k的值是( )‎ A. 5 B. ‎6 ‎C. 7 D. 8‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析:第一次循环运算:;第二次:;第三次:;第四次:;第五次:,这时符合条件输出,故选A.‎ 考点:算法初步.‎ ‎9.一个正方体的展开图如图所示,A、B、C、D为原正方体的顶点,则在原来的正方体中  ‎ A. B. 与相交 C. D. 与所成的角为 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 还原成正方体,可推导出在原来的正方体中与所成的角为.‎ ‎【详解】解:一个正方体的展开图如图所示,‎ 为原正方体的顶点,‎ 还原成正方体如下图,‎ ‎,是与所成角,‎ ‎,,‎ 在原来的正方体中与所成的角为.‎ 故选.‎ ‎【点睛】本题考查了学生的空间想象力及作图能力、异面直线所成角的求法,属于基础题.‎ ‎10.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式中“…”即代表无限次重复,但原式却是个定值,它可以通过方程求得,类似上述过程,则( )‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题中提示规律,找出的原式方程求解即可.‎ ‎【详解】由题知的值可以通过方程求出,‎ 因为,‎ 所以.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了运算法则的类比推理,属于基础题.‎ ‎11.等差数列的前项和为,,,则最大时为( )‎ A. 1 B. ‎5 ‎C. 6 D. 7‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列,,求出公差与首项,然后求出代入方程求解最大时的取值.‎ ‎【详解】因为等差数列,有,‎ 解得,因为,所以公差,‎ 所以,‎ 故,‎ 易知当时取最大值.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列取最值,属于基础题.‎ ‎12.已知函数,若方程有4个实根,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先把求根的问题转化为函数图像的交点问题,然后求解的取值范围即可.‎ ‎【详解】设,‎ 即方程有个实根,‎ 绘制出的图像如下图,‎ 即的图像与相交于个点,‎ 有,‎ 即,‎ 解得.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查了函数图像交点与函数根的关系,属于基础题.‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.已知等比数列,,则等于__________.‎ ‎【答案】189‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用等比数列的通项公式求公比的平方,再求即可.‎ ‎【详解】解:在等比数列中由,‎ 得 所以 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列的通项公式,是基础题.‎ ‎14.已知,若直线与直线垂直,则的最小值为_____‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 两直线斜率存在且互相垂直,由斜率乘积为-1求得等式,把目标式子化成,运用基本不等式求得最小值.‎ ‎【详解】设直线的斜率为,,‎ 直线的斜率为,,‎ 两条直线垂直,,整理得:,‎ ‎,‎ 等号成立当且仅当,的最小值为.‎ ‎【点睛】利用“‎1”‎的代换,转化成可用基本不等式求最值,考查转化与化归的思想.‎ ‎15.‎ 某班运动队由足球运动员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成(每人只参加一项),现从这些运动员中抽取一个容量为n的样本,若分别采用系统抽样法和分层抽样法,则都不用剔除个体;当样本容量为n+1时,若采用系统抽样法,则需要剔除1个个体,那么样本容量n为________.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ n为18+12+6=36的正约数,因为18:12:6=3:2:1,所以n为6的倍数,因此 ‎ 因为当样本容量为时,若采用系统抽样法,则需要剔除1个个体,所以n+1为35的正约数,因此 ‎16.已知正三角形的边长为,点是所在平面内的任一动点,若,则的取值范围为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以A点为原点,建立如图所示平面直角坐标系,不妨设 ,根据向量的坐标运算和向量的模可得 ,再根据三角函数的性质即可求出范围.‎ ‎【详解】解:以点为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,‎ 则 ,‎ ‎ ,不妨设,‎ ‎ ‎ ‎,‎ ‎ ‎ ‎,‎ ‎,‎ 的取值范围为:.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本意考查向量的坐标运算和向量的模的取值范围,是中档题.‎ 三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,共70分)‎ ‎17. 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD.‎ ‎(Ⅰ)证明:BD⊥PC;‎ ‎(Ⅱ)若AD=4,BC=2,直线PD与平面PAC所成的角为30°,求四棱锥P-ABCD的体积.‎ ‎【答案】(Ⅰ)见解析 (Ⅱ)12‎ ‎【解析】‎ ‎(Ⅰ)因为 又是平面PAC内的两条相较直线,所以BD平面PAC,‎ 而平面PAC,所以.‎ ‎(Ⅱ)设AC和BD相交于点O,连接PO,由(Ⅰ)知,BD平面PAC,‎ 所以是直线PD和平面PAC所成的角,从而.‎ 由BD平面PAC,平面PAC,知.在中,由,得PD=2OD.因为四边形ABCD为等腰梯形,,所以均为等腰直角三角形,从而梯形ABCD的高为于是梯形ABCD面积 在等腰三角形AOD中,‎ 所以 故四棱锥的体积为.‎ ‎【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明,考查空间角的应用,及几何体体积计算.第一问只要证明BD平面PAC即可,第二问由(Ⅰ)知,BD平面PAC,所以是直线PD和平面PAC所成的角,然后算出梯形的面积和棱锥的高,由算得体积 ‎18.‎ 三角形的三个内角A、B、C所对边的长分别为、、,设向量,若//.‎ ‎(1)求角B的大小;‎ ‎(2)求的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】(1)由//知,即得,据余弦定理知 ‎,得 ‎(2) ‎ 因为,所以,得 所以,得,即得取值范围为.‎ 点睛:本题关键是首先要得出向量平行的等式,再结合余弦定理即可得出B,对于三角函数范围问题则通常需要将原式化简为的形式再求解答案(需注意范围的变化),此题属于基础题.‎ ‎19.某种商品在50个不同地区的零售价格全部介于13元与18元之间,将各地价格按如下方式分成五组:第一组,第二组,……,第五组.如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.‎ ‎(1)求价格落在内的地区数;‎ ‎(2)借助频率分布直方图,估计该商品价格的中位数(精确到0.1);‎ ‎(3)现从,这两组的全部样本数据中,随机选取两个地区的零售价格,记为,,求事件“”的概率.‎ ‎【答案】(1)16;(2)15.7元;(3).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据总面积为求出价格落在内的地区数;‎ ‎(2)根据中位数两边的面积都是求出中位数;‎ ‎(3)根据古典概型求解即可,首先求出基本事件总数,再求出事件“”的事件数即可求出答案.‎ ‎【详解】(1)价格在内的频率为:‎ ‎,‎ 所以价格在内的地区数为;‎ ‎(2)设价格中位数为,‎ 由,‎ 解得(元);‎ ‎(3)由直方图知,‎ 价格在的地区数为,‎ 设为,,,‎ 价格在的地区数为,‎ 设为,,,,‎ 若时,‎ 有,,,3种情况,‎ 若时,‎ 有,,,,,,6种情况,‎ 若,分别在和内时,‎ 共有12种情况,‎ 所以基本事件总数为21种,‎ 事件“”所包含的基本事件个数有12种,‎ 故.‎ ‎【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的性质,中位数,古典概型的计算,属于一般题.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎(1)当时,求在的最值;‎ ‎(2)讨论函数的单调性;‎ ‎【答案】(1)最小值3,最大值;(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)首先求出函数的单调性,再根据函数的定义域,求区间内的最值即可;‎ ‎(2)首先对函数求导,再对分类讨论,分析导函数的正负,从而讨论出函数的单调性.‎ ‎【详解】(1)当时,‎ ‎,‎ 所以在上单调递减,在上单调递增.‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 所以当时,‎ 在的最小值3,最大值;‎ ‎(2)‎ ‎,‎ ‎①当时,‎ ‎,‎ 所以在单调递增,在单调递减,‎ ‎②当时,‎ 或,‎ 在上单调递减,在单调递增,‎ ‎③当时,‎ 若时,‎ 在上单调递增,在和上单调递减,‎ 若时,‎ 在上单调递减,‎ 若时,‎ 在上单调递增,在和上单调递减.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数分析求解函数的单调区间,属于中档题.‎ ‎21.已知直线过椭圆的右焦点,抛物线的焦点为椭圆的上顶点,且交椭圆于两点,点在直线上的射影依次为.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)若直线交轴于点,且,当变化时,证明:为定值;‎ ‎(3)当变化时,直线与是否相交于定点?若是,请求出定点的坐标,并给予证明;否则,说明理由.‎ ‎【答案】(1);(2)见解析;(3).‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)由题设条件求出椭圆的右焦点与上顶点坐标,即可得出、的值,再求出的值即可求得椭圆的方程;(2)设,联立直线与椭圆的方程,结合韦达定理得出与,再根据及,从而可表示出,化简即可得证;(3))当时,易得与相交于点,可猜想:变化时,与相交于点,再证明猜想成立即可.‎ 试题解析:(1)∵过椭圆的右焦点,‎ ‎∴右焦点,即,‎ 又∵的焦点为椭圆的上顶点,‎ ‎∴,即,‎ ‎∴椭圆的方程;‎ ‎(2)由得,,‎ 设,则,‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ 综上所述,当变化时,的值为定值;‎ ‎(3)当时,直线轴,则为矩形,易知与是相交于点,猜想与相交于点,证明如下:‎ ‎∵,‎ ‎∵,‎ ‎∴,即三点共线.‎ 同理可得三点共线,‎ 则猜想成立,即当变化时,与相交于定点.‎ 点睛:(1)解题时注意圆锥曲线定义的两种应用,一是利用定义求曲线方程,二是根据曲线的定义求曲线上的点满足的条件,并进一步解题;(2)求定值问题常见的方法:①从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;②直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.‎ 作答时请写清题号.‎ ‎22.在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆的极坐标方程为,.‎ ‎(1)求的参数方程;‎ ‎(2)设点在半圆上,半圆在处的切线与直线:垂直,求直线的倾斜角及点的直角坐标.‎ ‎【答案】(1)(为参数,);(2),.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)首先根据的极坐标方程求出的普通方程,然后即可求出的参数方程;‎ ‎(2)根据几何关系求出直线倾斜角,然后利用参数方程求出点的直角坐标.‎ ‎【详解】(1)由半圆的极坐标方程为,,‎ 即,‎ 可得的普通方程为,‎ 可得的参数方程为(为参数,);‎ ‎(2)由(1)知是以为圆心,1为半径上半圆,‎ 设点,‎ ‎∵直线的斜率与直线的斜率相等,‎ ‎∴,,‎ 故的直角坐标为,‎ 即.‎ ‎【点睛】本题主要考查了圆的极坐标方程,圆的参数方程,参数方程的几何意义,属于一般题.‎ ‎23.已知函数f(x)=|2x﹣a|,g(x)=x+1.‎ ‎(1)若a=1,求不等式f(x)≤1的解集;‎ ‎(2)对任意的x∈R,f(x)+|g(x)|≥a2+‎2a(a>0)恒成立,求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】(1){x|0≤x≤1}.(2)﹣≤a≤2‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)根据绝对值定义得﹣1≤2x﹣1≤1,即得解集;(2)根据恒成立条件得|2x﹣a|+|x+1|的最小值大于或等于a2+‎2a.利用绝对值定义分类讨论|2x﹣a|+|x+1|的最小值为 ,最后解不等式≥a2+‎2a得实数a的取值范围.‎ 试题解析:解:(1)若a=1,不等式f(x)≤1,即|2x﹣1|≤1,即﹣1≤2x﹣1≤1,求得 ‎ 0≤x≤1,‎ 故不等式的解集为{x|0≤x≤1}.‎ ‎(2)对任意的x∈R,f(x)+|g(x)|≥a2+‎2a(a>0)恒成立,即|2x﹣a|+|x+1|≥a2+‎2a,‎ 故|2x﹣a|+|x+1|的最小值大于或等于a2+‎2a.‎ ‎∵|2x﹣a|+|x+1|=,‎ 故当x=时,|2x﹣a|+|x+1|取得最小值为+1,‎ ‎∴+1≥a2+‎2a,求得﹣≤a≤2.‎