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- 2021-06-16 发布
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新疆实验中学高一上学期期末考试试卷
1.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据分式分母不为零,偶次方根的被开方数为非负数列不等式组,解不等式组求得函数的定义域.
【详解】依题意,解得.
故选:D.
【点睛】本小题主要考查具体函数定义域的求法,属于基础题.
2.函数的零点所在的大致区间是 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
函数为单调增函数,且图象是连续的,
又,
∴零点所在的大致区间是
故选C
3.函数的最大值为( )
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】
根据,将函数化为关于的二次函数,即可求解.
【详解】,
,当时,函数取得最大值为.
故选:D.
【点睛】本题考查关于的二次函数的最值,属于基础题.
4.,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据诱导公式,即可求解.
【详解】.
故选:C.
【点睛】本题考查诱导公式求值,熟记公式是解题关键,属于基础题.
5.设向量,则等于( )
A. B. 5 C. D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量的线性关系,将的坐标求出,按模长坐标公式,即可求解.
【详解】,
.
故选:B.
【点睛】本题考查向量的坐标表示,涉及到向量加法、模长坐标运算,属于基础题.
6.已知角的终边经过点,则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义,求出,即可得到的值.
【详解】因为,,所以.
故选:A.
【点睛】本题主要考查已知角终边上一点,利用三角函数定义求三角函数值,属于基础题.
7.函数是定义在上的奇函数,且为偶函数,当时,,若函数恰有一个零点,则实数的取值集合是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据条件判断函数周期为,求出函数在一个周期内的解析式,将函数的零点转化为与直线只有一个交点,结合函数图像,即可求解.
【详解】函数是定义在上奇函数,且为偶函数,
,
,
即,
的周期为.
时,,
,
,
,
周期为4,,
当,
当,
做出函数图像,如下图所示:
令,
当,,
,两边平方得,
,
此时直线与在函数图像相切,与函数有两个交点,
同理,直线与在函数图像相切,与函数有两个交点,
则要使函数在内与直线只有一个交点,
则满足,周期4,
范围也表示为,
所以所有的取值范围是.
故选:D.
【点睛】本题考查函数零点的应用,根据函数的性质求出函数的周期性和对称性,利用数形结合思想是解决问题的关键,综合性较强,属于难题.
8.已知,则为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知将自变量转化到,即可求解.
【详解】,。
故选:A
【点睛】本题考查分段函数,要注意理解函数解析式,属于基础题.
9.已知函数,若存在,使得,则取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据条件作出函数图象求解出的范围,利用和换元法将变形为二次函数的形式,从而求解出其取值范围.
【详解】的图象如下图所示:
由图可知:当时且,则令,所以,
所以,又因为,所以,
所以,令,
所以,
所以,所以.
故选C.
【点睛】本题考查根据函数与方程的根求解取值范围,着重考查了数形结合思想的运用,难度一般.
处理分段函数有关的方程根的问题,可通过图象找到自变量之间的关系,然后利用图象对应的自变量的范围完成取值范围的求解.
10.已知是方程的两个不等实根,函数的定义域为,,若对任意,恒有成立,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. . D.
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析:是方程的两个不等实根,结合图象可知,当时,,所以恒成立,故,在恒成立,故函数在定义域内是增函数,所以
.①,又因为是方程的两个不等实根,则,代入①化简得:,由对任意的,成立,得:,结合,得,故实数a的取值范围是;
考点:1.函数的单调性;2.求函数最大值;3.分离参数解决恒成立问题;
11.给定函数:①;②;③;④,其中在区间上单调递减的函数序号是( )
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④
【答案】B
【解析】
【分析】
①,为幂函数,且的指数,在上为增函数;②,,为对数型函数,且底数,在上为减函数;③,在上为减函数,④为指数型函数,底数在上为增函数,可得解.
【详解】①,为幂函数,且的指数,在上为增函数,故①不可选;
②,,为对数型函数,且底数,在上为减函数,故②可选;
③,在上为减函数,在上为增函数,故③可选;
④为指数型函数,底数在上为增函数,故④不可选;
综上所述,可选的序号为②③,
故选B.
【点睛】本题考查基本初等函数的单调性,熟悉基本初等函数的解析式、图像和性质是解决此类问题的关键,属于基础题.
12.对于在区间上有意义的两个函数和,如果对于任意均有成立,则称函数和在区间上是接近的.若与在区间上是接近的,则实数的取值范围是( )
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
成立,即恒成立,设,只需,求出最值,得到关于不等式,即可求出结论.
【详解】设,
根据对数函数和反比例的单调性,可得在上是减函数,
,
要使与在区间上是接近的,
在区间上恒成立,
只需,解得
故选:A.
【点睛】本题以新定义为背景,考查函数的最值,理解题意等价转化是解题的关键,属于中档题.
13.已知函数的图象经过点,则_______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意求出,得出;再求出的反函数即可求解.
【详解】因为函数的图象经过点,所以,即,
,,即
【点睛】本题考查反函数,属于基础题.
14.已知幂函数的图象过点,则 ________.
【答案】27
【解析】
【分析】
用待定系数法求出幂函数y=f(x)的解析式,再计算f(9)的值.
【详解】设幂函数y=f(x)=xa,a∈R,且图象过点(2,2),
∴2a=2,解得a=,∴f(x)=;
∴f(9)==27.
故答案为27.
【点睛】本题考查了求函数的解析式与计算函数值的应用问题,是基础题目.
15.设奇函数在上是单调减函数,且,若函数对所有的都成立,则的取值范围是_____________.
【答案】t≥1或t≤0
【解析】
【分析】
根据题意,由函数的奇偶性与单调性分析可得在区间[﹣1,1]上,f(x)max=f(-1),据此分析:若f(x)≤t2﹣t+1对所有的x∈[﹣1,1]都成立,必有1≤t2﹣t+1恒成立,即t2﹣t≥0恒成立,解t2﹣t≥0即可得答案.
【详解】根据题意,函数f(x)在[﹣1,1]上是减函数,则在区间[﹣1,1]上,f(x)max=f(-1),
又由f(x)为奇函数,则f(-1)=﹣f(1)=1,
若f(x)≤t2﹣t+1对所有的x∈[﹣1,1]都成立,
必有1≤t2﹣t+1恒成立,即t2﹣t≥0恒成立,
解可得:t≥1或t≤0,
则t的取值范围为:t≥1或t≤0,
故答案为t≥1或t≤0.
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,涉及函数的最值以及恒成立问题,属于综合题.
16.函数的零点是____________.
【答案】
【解析】
【分析】
令f(x)=0,即x2+3x-4=0,解出即可.
【详解】令f(x)=0,即x2+3x-4=0,解得:x=-4,x=1.
【点睛】本题考查了函数的零点问题,是基础题,关键是准确掌握零点的定义.
17.设分别是第二象限角,则点落在第___________象限.
【答案】四
【解析】
【分析】
由是第二象限角,判断,的符号,进而可得结果.
【详解】∵是第二象限角,∴,,
∴点在第四象限.
故答案为四.
【点睛】本题考查三角函数的符号,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,属于基础题.
18.若是关于的方程(是常数)的两根,其中,则=________.
【答案】1
【解析】
【分析】
由已知可得,平方求出的值,进一步判断取值范围,判断范围,平方后再开方,即可求解
【详解】是关于的方程,
,平方得,
,
.
故答案为:1
【点睛】本题考查同角间的三角函数关系,考查特殊角的三角函数值,属于基础题.
19.求下列各式的值:
(1);
(2).
【答案】(1)6(2)
【解析】
【分析】
(1)利用对数运算性质即可得出;(2)利用指数运算性质即可得出.
【详解】解:(1)原式=.
(2)原式==.
【点睛】本题考查了指数与对数运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
20.设集合,集合.
(1)求;
(2)求及.
【答案】(1),(2)或
【解析】
【分析】
(1)化简集合,按交集定义,结合数轴,即可得出结论;
(2)按并集、补集的定义,结合数轴,即可求解.
【详解】(1)由题意知,
(2)或
【点睛】本题考查集合的交、并、补运算,属于基础题.
21.已知函数为奇函数,且当时,.
(1)求当时,函数的表达式;
(2)解不等式.
【答案】(1)(2)或
【解析】
【分析】
(1)求出的解析式即可,设将自变量转化到,求出对应自变量的函数值,根据奇函数的对称性,即可求出解析式;
(2)利用对数函数的单调性,即可求出结论.
【详解】(1)解:函数为奇函数,
当时,,
所以,当时,,
,
所以,
(2)解:由题意:当时有,解得;
当时有,
即,解得;
综上,原不等式的解集为或
【点睛】本题考查函数性质与应用,考查对数不等式,考查计算能力,属于基础题.
22.已知:
(1)若,求的坐标;
(2)若与的夹角为120°,求.
【答案】(1)或.(2)
【解析】
试题分析:(1)利用向量共线定理、数量积运算性质即可得出.
(2)利用数量积运算性质即可的.
试题解析:
(1)∵,∴,与共线的单位向量为.
∵,∴或.
(2)∵,∴,
∴,∴.
点睛:平面向量中涉及有关模长的问题时,常用到的通法是将模长进行平方,利用向量数量积的知识进行解答,很快就能得出答案;另外,向量是一个工具型的知识,具备代数和几何特征,在做这类问题时可以使用数形结合的思想,会加快解题速度.
23.已知在中,分别为角A,B,C的对应边,点D为BC边的中点,的面积为.
(1)求的值;
(2)若,求.
【答案】(1); (2).
【解析】
【分析】
(1)先由的面积为且D为BC的中点,得到的面积;再由三角形的面积公式和正弦定理即可求出结果;
(2)根据(1)的结果和,可求出和;再由余弦定理,即可求出结果.
【详解】(1)由的面积为且D为BC的中点可知:的面积为,
由三角形的面积公式可知:,
由正弦定理可得:,
所以,
(2) ,又因为为中点,所以,即,
在中由正弦定理可得,所以
由(1)可知所以,
在直角中,所以.
,
在中用余弦定理,可得.
【点睛】本题主要考查解三角形,熟记正弦定理和余弦定理以及面积公式,即可求解,属于常考题型.