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- 2021-06-16 发布
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绝密★启用前
湖南省五市十校2019年下学期高三年级第二次联考试题
理科数学
本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后。再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合M＝{x|}，N＝{x|0－x·f'(x)，则实数b的取值范围是
A.(－∞，) B.(－∞，) C.(－∞，) D.(－∞，3)
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分。
13.知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若，则 。
14.观察分析下表中的数据：
猜想一般凸多面体中，F，V，E所满足的等式为 。
15.已知函数，，若，，使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是 。
16.以双曲线C：的右焦点F(c，0)为圆心，a为半径的圆与C的一条渐近线交于A，B两点，若AB＝c，则双曲线C的离心率为 。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分。
17.(12分)
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，b＝2，cosC＝。
(1)△ABC求的周长；
(2)求cos(A－C)的值。
18.(12分)
已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且，n∈N*。
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设，求数列{bn}的前n项和为Tn。
19.(12分)
如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AD＝DC＝CB＝1，∠ABC＝60°，四边形ACFE为矩形，
平面ACFE⊥平面ABCD，CF＝1。
(1)证明：BC⊥平面ACFE；
(2)设点M在线段EF上运动，平面MAB与平面FCB所成锐二面角为θ，求cosθ的取值范围。
20.(12分)
如图，分别过椭圆E：的左、右焦点F1，F2的动直线l1，l2：相交于点P，与椭圆E分别交于A、B和C、D四点，直线OA、OB、OC、OD的斜率k1，k2，k3，k4满足k1＋k2＝k3＋k4。已知当l1与x轴重合时，|AB|＝2，|CD|＝。
(1)求椭圆E的方程；
(2)是否存在定点M，N，使得|PM|＋|PN|为定值？若存在，求出点M、N的坐标及定值；若不存在，请说明理由。
21.(12分)
已知函数f(x)＝lnx－ax－3(a≠0)。
(1)讨论函数f(x)的零点个数；
(2)若a∈[1，2]，函数g(x)＝x3＋[m－2f'(x)]在区间(a，3)有最值，求实数m的取值范围。
(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)
在平面直角坐标系中，已知曲线C：(α为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l：ρ(2cosθ－sinθ)＝6。
(1)写出直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；
(2)在曲线C上取一点P，使点P到直线l的距离最大，求最大距离及此时P点的坐标。
23.[选修4－5：不等式选讲](10分)
已知函数f(x)＝|x|＋2|x－a|，a>0。
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≤4的解集；
(2)若f(x)≥4恒成立，求实数a的取值范围。
高三理科数学参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
B
C
B
C
A
C
A
D
B
C
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 14.F+V－E=2 15. 16.
三、 解答题（本大题共6小题，共70分）
17、解：（1）∵ ∴
故的周长为5. ……………………………………………………………………………… 6分
（2） ∵且为的内角 ∴
由正弦定理得 ∴
∴…………………………………………………………………………12分
18、解：(1）依题知 ……………………………………………………………………………………………………①
∴ ， 又 ∴
……………………………………………………………………………………………②
由①-②得
∴,则
∴是等差数列，∴…………………………………………………………………………6分
(2) ∵ ，
∴，
∴，
两式相减得，
∴.…………………………………………………………………………12分
19．解：（1）证明：在梯形中，因为，所以，所以，
所以，所以．3分
因为平面平面，平面平面，
因为平面，所以平面5分
（2）由（1）可建立分别以直线为轴，轴，轴的如图所示的空间直角坐标系，
令，则，
∴，
设为平面的一个法向量，
由得，取，则，．．7分
∵是平面的一个法向量．．8分
∴．．10分
∵，∴当时，有最小值，当时，有最大值．
∴12分
20..解：(1)当l1与x轴重合时，k1＋k2＝k3＋k4＝0，即k3＝－k4，
∴l2垂直于x轴，得|AB|＝2a＝2，|CD|＝＝，
得a＝，b＝，∴椭圆E的方程为＋＝1. 4分
(2)焦点F1，F2坐标分别为(－1，0)，(1，0)，
当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为(－1，0)或(1，0)， 5分
当直线l1，l2斜率存在时，设斜率分别为m1，m2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(2＋3m)x2＋6mx＋3m－6＝0，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝，
k1＋k2＝＋＝m1＝m1＝m1＝－， 7分
同理k3＋k4＝－， 8分
∵k1＋k2＝k3＋k4，∴＝，即(m1m2＋2)(m2－m1)＝0，
由题意知m1≠m2，∴m1m2＋2＝0 9分
设P(x，y)，则·＋2＝0，即＋x2＝1(x≠±1)， 10分
又当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为(－1，0)或(1，0)也满足此方程，
∴点P(x，y)在椭圆＋x2＝1上，
存在点M(0，－1)和点N(0，1)，使得|PM|＋|PN|为定值，定值为2. 12分
21、解（1）………………………………………………………………………1分
………………3分
……………………………………………………………………5分
…………………………………………………6分
（2）
………………………………………………8分
………………………………………………10分
又
………………………………………………12分
22、解：（1）的直角坐标方程为[]
曲线的普通方程为………………………………………………………………………………………………5分
(2)设
……………………………………………………………………………………………10分
23、解：(1) ①
②
③
……………………………………………………………………………5分
(2) ①当
②当
③当
所以的最小值为，∴……………………………………………………………………………10分
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