广西南宁市马山县金伦中学4 N高中联合体2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题 10页

‎2019-2020学年上学期期中考试试题 ‎ 高二数学 注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，务必将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1、设，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2、在平面直角坐标系中，设角α的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，‎ ‎ 若角α终边过点P（2，－1)，则sin(－α）的值为( )‎ A.　 B. 　 　 C.　　　　 D. ‎ ‎3、在中，，，，则为（ ）‎ A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 ‎4、张丘建算经卷上有“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同已知第一天织布6尺，30天共织布540尺，则该女子织布每天增加 A. 尺 B. C. 尺 D. 尺 ‎5.正方体ABCD—A1B1C1D1中，异面直线BD1与AC所成的角等于(　　)‎ A. 60° B. 45° C. 30° D. 90°‎ ‎6. 某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量（单位：度）与气温（单位：℃）之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，由表中数据得线性回归方程：，则由此估计：当气温为2℃时，用电量约为（ ）‎ ‎（单位：℃）‎ ‎17‎ ‎14‎ ‎10‎ ‎（单位：度）‎ ‎24‎ ‎34‎ ‎38‎ ‎64‎ A．56度 B．62度 C．64度 D．68度 ‎7、的内角的对边分别为 ‎，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎8、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎9.函数在的图像大致为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．设等差数列的前项和为，若，，则当取得最小值时（ ）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎11.设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎12.数列满足，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分. 把答案填答题卷相应题中横线上 ‎13.已知向量＝（4，2），向量＝（，3），且//,则＝ _______‎ ‎14.已知，则________．‎ ‎15.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2+1，那么它的通项公式为an＝　 　．‎ ‎16．如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.‎ 从点A测得点M的仰角∠MAN=60°,点C的仰角∠CAB=45°‎ 及∠MAC=75°,从点C测得∠MCA=60°.已知山高BC=50 m,‎ 则山高MN= 　　　　 . ‎ 三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. ‎ ‎17.（本小题满分10分）5G网络是第五代移动通信网络，其峰值理论传输速度可达每8秒1GB，比4G网络的传输速度快数百倍.举例来说，一部1G的电影可在8秒之内下载完成。随着5G技术的诞生，用智能终端分享3D电影、游戏以及超高画质（UHD）节目的时代正向我们走来.某手机网络研发公司成立一个专业技术研发团队解决各种技术问题，其中有数学专业毕业，物理专业毕业，其它专业毕业的各类研发人员共计1200人.现在公司为提高研发水平，采用分层抽样抽取400人按分数对工作成绩进行考核，并整理得如上频率分布直方图（每组的频率视为概率）.‎ ‎（1）从总体的1200名学生中随机抽取1人，估计其分数小于50的概率；‎ ‎（2）研发公司决定对达到某分数以上的研发人员进行奖励，要求奖励研发人员的人数达到30％，请你估计这个分数的值；‎ ‎（3）已知样本中有三分之二的数学专业毕业的研发人员分数不低于70分，样本中不低于70分的数学专业毕业的研发人员人数与物理及其它专业毕业的研发人员的人数和相等，估计总体中数学专业毕业的研发人员的人数.‎ ‎18.(本小题满分12分)设等差数列中，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若等比数列满足，求数列的前项和.‎ ‎19．(本小题满分12分)在中，角的对边分别为，且满足.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，的面积为，求的周长.‎ ‎20.(本小题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F分别为线段AD，PC的中点.‎ ‎(1)求证：AP∥平面BEF；‎ ‎(2)求证：BE⊥平面PAC.‎ ‎21. (本小题满分12分)如图,CM,CN为某公园景观湖畔的两条木栈道,∠MCN=120°.现拟在两条木栈道的A,B两处设置观景台,记BC=a,AC=b,AB=c(单位:百米).‎ ‎(1)若a,b,c成等差数列,且公差为4,求b的值;‎ ‎(2)已知AB=12,记∠ABC=θ,试用θ表示观景路线A-C-B的长,并求观景路线A-C-B长的最大值.‎ ‎22．(本小题满分12分)已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.‎ ‎(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段为4，求l的方程；‎ ‎(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．‎ ‎ ‎ ‎2019-2020学年上学期期中考试试题 参考答案及评分标准 ‎（高二数学）‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）‎ 题 号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答 案 D A C C D A D A B A C A 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．6 14． 15． 16． 75m 详细解答 ‎1.【答案】D【详解】，，‎ 则故选 ‎2. 【答案】A【详解】‎ ‎3.【答案】C【详解】 最大内角为 且 ‎ 为钝角三角形，本题正确选项：‎ ‎4.【答案】C【详解】由于某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．‎ 所以织布的数据构成等差数列，设公差为d，第一天织的数据为，第30天织的数据为，‎ 则：，解得：，则：，解得：，故选：C．‎ ‎5.【答案】D【解析】通过证明平面，可证得直线与直线垂直，即所成的角为.‎ ‎6.【答案】A【详解】由已知有，，‎ 则线性回归方程：过点（10,40），代入运算得，‎ 即线性回归方程为：，当时， ，故选A.‎ ‎7.【答案】D【详解】‎ A. ,由所以不存在这样的三角形.‎ B. ,由且所以只有一个角B C. 中，同理也只有一个三角形.‎ D. 中此时，所以出现两个角符合题意，即存在两个三角形.所以选择D ‎8.【答案】A【解析】 由给定的三视图可知，该几何体表示一个底面为一个直角三角形，且两直角边分别为和，所以底面面积为 高为的三棱锥，所以三棱锥的体积为，故选A．‎ ‎9.【答案】B【详解】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B．‎ ‎10.【答案】A【详解】设等差数列的公差为，因为，所以，解得.因此，故当时，取最小值为，故本题正确答案为A.‎ ‎11.【答案】C【详解】是R偶函数，．‎ ‎，又在(0，+∞)单调递减，∴，，故选C．‎ ‎12.【答案】A【详解】当时，当且时，‎ ‎ 经验证，时，满足 ‎ 数列是以为首项，为公比的等比数列 ‎ 又 本题正确选项：‎ ‎13.【答案】6【详解】由于，所以，解得.‎ ‎14.【答案】【详解】由于 ‎15.【答案】【详解】‎ ‎16.解析：在Rt△ABC中,∠CAB=45°,BC=50 m,所以AC=50 m.在△AMC中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,从而∠AMC=45°,由正弦定理得,,因此AM=50 m.在Rt△MNA中,AM=50 m,∠MAN=60°,由=sin 60°,得MN=50=75(m).答案：75m ‎17. 解:‎ ‎（1）由题意可知，样本中随机抽取一人，分数小于50的概率是1－（0.01+0.02×2+0. 04）×10=0.1‎ 所以估计总体中分数小于50的概率0.1……3分 ‎（2）根据频率分布直方图，第六组的频率为0.04×10=0.4，第七组频率为0.02×10=0.2‎ 此分数为80-（0.3-0.2）÷0.04=77.5……6分 ‎（3）因为样本中不低于70分的研发人员人数为400×（0.4+0.2）=240人 ‎ 所以样本中不低于70分的数学专业毕业的研发人员为120人 ‎ 又因为样本中有三分之二的数学专业毕业的研发人员分数不低于70分---8分 所以样本中的是数学专业毕业的研发人员的人数120÷=180人 故估计总体中数学专业毕业的研发人员的人数为1200×=540人-------10分 ‎18、【答案】（1）（2）‎ ‎（1）在等差数列中，，故设的公差为，则，即，所以，所以.---------6分 ‎（2）设数列的公比为，则，‎ 所以.------12分 ‎19.【答案】（1）;（2）．‎ ‎【解析】（1）∵，∴，------1分 由正弦定理可得：，∴.‎ 又角为内角，∴，∴．又，∴．-----6分 ‎（2）由，得，又，∴，‎ 所以的周长为．------12分 ‎20.证明　(1)设AC∩BE＝O，连接OF，EC.,由于E为AD的中点，AB＝BC＝AD，AD∥BC，‎ ‎∴AE∥BC，AE＝AB＝BC，因此四边形ABCE为菱形，∴O为AC的中点.‎ 又F为PC的中点，因此在△PAC中，可得AP∥OF.‎ 又OF平面BEF，AP⊄平面BEF.∴AP∥平面BEF.---6分 ‎(2)由题意知ED∥BC，ED＝BC.∴四边形BCDE为平行四边形，‎ 因此BE∥CD.又AP⊥平面PCD，∴AP⊥CD，因此AP⊥BE.∵四边形ABCE为菱形，∴BE⊥AC.‎ 又AP∩AC＝A，AP，AC平面PAC，∴BE⊥平面PAC.----12分 ‎21.解：(1)因为a,b,c成等差数列,且公差为4,‎ 所以a=b-4,c=b+4,因为∠MCN=120°,‎ 所以由余弦定理得,(b+4)2=(b-4)2+b2-2b(b-4)cos 120°,解得b=10.---5分 ‎(2)由题意, 得,‎ 所以AC= 8sin θ,BC=8 sin(60°-θ),‎ 所以观景路线A-C-B的长为AC+BC=8 sin θ+8 sin(60°-θ)=8 sin(60°+θ)(0°<θ<60°).‎ 所以当θ=30°时,观景路线A-C-B长的最大值为8 百米-----12分 ‎22.[解析]　(1)如图所示，|AB|＝4，将圆C方程化为标准方程为(x＋2)2＋(y－6)2＝16，‎ 所以圆C的圆心坐标为(－2,6)，半径r＝4，设D是线段AB的中点，则CD⊥AB，‎ 所以|AD|＝2，|AC|＝4.C点坐标为(－2,6)．在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.‎ 若直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.‎ 由点C到直线AB的距离公式：＝2，得k＝.故直线l的方程为3x－4y＋20＝0.‎ 直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0.‎ 所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.-----6分 （2） 圆,则,设圆中过点的弦的中点,则 则化简得-----12分