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- 2021-06-16 发布
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A
B
C D
O
M
高一数学同步辅导教材(第 6 讲)
一、本讲教学进度
1.7-1.8(P32-36)
二、本讲内容
1.反证法
2.充分条件和必要条件
三、重点、难点选讲
1.反证法
⑴数学证明的方法可以分为直接证法和间接证法两种.由已知条件和有关公理、定理、公式出发,通
过逻辑推理证得结论的方法叫直接证法,用除此以外的办法证明结论的方法叫间接证法.
⑵反证法是间接证法的一种.若要证的命题是“ qp ”,反证法是假设 q 为真,即 q 不成立,
并根据有关公理、定理、公式进行逻辑推理,得出矛盾.因为公理、定理、公式正确,推理过程也正确,
产生矛盾的原因只能是“假设 q 为真”,由此假设不成立,即“ q 为真”.这里的“矛盾”可以是与条
件 p 矛盾,即推得“ p ”,可以是和公理、定理或熟知的结论矛盾,也可以是和“假设 为真”矛盾.
例 1 用反证法证明:若 A 、 B 、C 是△ ABC 的三个内角,则其中至少有一个角不大于 60 .
证 假设 、 、 都大于 ,即 60A , 60B , 60C ,则有
180 CBA
与三角形三个内和等于 180 矛盾.
因此假设不成立,即 、 、 中至少有一个角不大于 .
评析 ⑴本题中的 :q 、 、 中至少有一个小于或等于 ,因此 为 、 、 中没有一
个小于或等于 ,即 ,且 ,且 .
⑵一般来说,涉及“至少”、“最多”的问题,常用反证法进行证明.
例 2 用反证法证明:若 Rcba 、、 ,且 12,12,12 2222 aczcbybax ,则
zyx 、、 中至少有一个不于0 .
证 假设 都小于 ,即 0,0,0 zyx ,则有 0 zyx .
另一方面,由已知有
121212 222 accbbazyx
121212 222 ccbbaa
0111 222 cba .
与由假设推得的结论 0 zyx 矛盾,
∴ zyx 、、 中至少有一个不小于0 .
例 3 求证:同圆中,两条非直径且相交的弦,不可能在交点互相平分.
证 设 CDAB、 是圆O 中两条相交于 M 点的弦,且 CDAB、 均不是圆O 的直径.
假设 点同时是弦 AB 和CD 的中点,如图所示.
因 AB 不是直径,由圆的性质知, ABOM .
同理可证, CDOM .
∵过点 M 且与OM 垂直的直线只有一条,
∴ AB 必与CD 重合,这与已知 CDAB、 是圆O 的两条
相交弦矛盾.
∴ CDAB、 不可能在交点 M 处互相平分.
评析 一般来说,凡是涉及不可能问题的证明,通常都用
反证法进行证明.
2.充分条件和必要条件
⑴充分条件和必要条件是十分重要的数学概念,必须准确理解“充分”、“必要”的涵义.
⑵ p 与 q 之间的因果关系有四种情况:
① qp ,且 pq ,称 是 的充分不必要条件;
② ,且 pq ,称 是 的必要不充分条件;
③ qp ,且 pq ,称 是 的充分必要条件;
④ qp ,且 pq ,称 是 的既不充分又不必要条件.
⑶ 是 的充分条件即 ,可以从字面上理解为“若 真则充分保证 也为真”, 是 的
必要条件即 ,可以从字面上理解为“若要 真,必须要 真”.
⑷当 时,既可以称 是 的充分条件,也可说成“ 的充分条件是 ”.
当 时,既可以称 是 的必要条件,也可说成“ 的必要条件是 ”.
例 4 指出下列各题中 p 是 q 的什么条件(指“充分不必要条件”,“必要不充分条件”,“充要条件”,
或“既不充分又不必要条件”):
(1) p :抛物线 )0(2 acbxaxy 经过点 A(1,0),
q : )0(0 acba ;
(2) : x 为偶数,且 y 为偶数,
: yx 为偶数;
(3) : 21 x ,
: 0322 xx ;
(4) : 0a ,
q : ),(022 Rbaba ;
(5) : 2x , 或 3x ,
: 17 xx .
解:(1)若 真,即 0,110 2 cbacba ,故 .
若 真,即 )0(0 acba ,则 0112 cba ,抛物线
cbxaxy 2 经过点 A(1,0),故 .
∴ 是 q 的充要条件.
(2)若 真,即 x 为偶,且 y 为偶数,则 yx 为偶数,故 .
若 真, 即 为偶数,则 x 、 y 可能都是奇数,因此 .
∴ 是 的充分不必要条件.
(3)若 真,即 21 x ,则 31 x , 为 1x 或 3x ,故 ,
.
∴ 是 的既非充分又非必要条件.
(4)显然 ,(当 0a , 0b 时, 022 ba ),又若 真,即
),(022 Rbaba ,则 0a ,且 0b ,故 p 真, .
∴ 是 的必要不充分条件.
(5)解方程
2,32,06,127,17 22 xxxxxxxxxx 或
是增根, q : 3x .
若 p 真,即“ ,2x 或 ”不一定有 ,∴ qp .
若 q 真, 即 ,则“ 或 ”必真,∴ pq .
∴ 是 q 的必要不充分条件.
评析:判断 是 的什么条件,应从 和 能否成立两个方面进行考虑.
例 5 指出下列各题中, 是 的什么条件(指“充分不必要条件”,“必要不充分条件”,“充要条
件”或“既不充分又不必要条件”):
(1) : 2x ,且 3y , q : 5 yx ;
(2) a 、 Rb , : , : sinsin .
解:(1)考虑“ ”的等价命题“┐ q ┐ p ”.
┐ q : 5 yx , ┐ : 2x ,或 3y .
显然有┐ ┐ ,知 .
同样,由┐ ┐ ,知 .
∴ 是 的既不充分又不必要条件.
(2)┐ : sinsin , ┐ : .
∵┐ ┐ , ∴ .
∵┐ ┐ , ∴ .
∴ 是 的必要不充分条件.
评析: (1)在不易确定 与 的关系时,也可以分别用“ ”的等价命题“
”和“ ”的等价命题“ ”来判断.
(2)在判断 时,也可以用举反例的方法,如第(2)题可以用 2 ,但
sin)2sin(sin ,知 .
例 6 已知 是 的充分不必要条件,s 是 的必要不充分条件,t 是 s 的充要条件, 是 r 的必要
不充分条件.
(1) 是 的什么条件?
(2) 是 的什么条件?
(3) 是 的什么条件?
解 由已知,可以将 、 、 、 、 之间的关系表示为:
rtsqp .
由此可知, 是 的充分不必要条件, 是 的既不充分也不必要条件, 是 的必要不充分条件.
评析: 只要用符号“ ”、“ ”或“ ”分别表示已知条件中各个命题之间的关系,就可以判
断其中两个命题之间的关系.
例 7 求证:若 a 、b 、 Rc ,则 0ac 是关于 x 的一元二次方程 02 cbxax 有两个异号
实根的充要条件.
证 充分性:若 ,则 0a ,且 0 ac ,
∵ 02 b , ∴△ 042 acb ,故方程有两个相异实根,设两根为 1x 、 2x .
∵ 021 a
cxx , ∴两根 、 异号 .
必要性:若关于 x 的方程 有两个异号实根,设两根为 , ,则 ,
∴ .
∴ 0ac 是关于 x 的一元二次方程 02 cbxax 有两个异号实根的充要条件.
例 8 求证:关于 的不等式 012 axax 对一切实数 成立的充分条件是 40 a ,这个条
件是必要条件吗?请证明之.
解 设 p :关于 的不等式 对一切实数 成立, q : 40 a .
要证 的充分条件是 ,即证 是 的充分条件,即证 pq .
当 真,即 时,
41)2
1(1 22 axaaxax ,
∵ , ∴ 041 a .
∵ 0)2
1( 2 xa . ∴ .
∴ 是 的充分条件,即 的充分条件是 .
当 0a 时, 对一切实数 x 都成立,而 )4,0(0 ,
∴ qp , 不是 的必要条件,即 的必要条件不是 .
评析 在证明“ 的充分条件是 ”时,一般把问题改成证明“ 是 的充分条件”,即证明
.在证明“ 的必要条件是 ”时,一般把问题改成证明“ 是 的必要条件”,
即证明 .
练 习
一、选择题:
1.用反证法证明“方程 02 cbxax ”最多有两个实根,应假设 ( )
A.方程至少有一个实根
B.方程至少有 2 个实根
C.方程至少有 3 个实根
D.方程有一个实根
2.“ BA ”是“ BA ”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件
3.若 a 、b R ,则“ 0ab ”的一个必要非充分条件是 ( )
A. 0a ,且 0b B. 0a ,且 0b
C. 0a
b D. 0b
a
4.用反证法证明“ 2 不是有理数”,应假设 ( )
A.
q
p2 B. ( p 、 q 为整数)
C. ( 、 为互质整数) D. ( 、 为正整数)
5.已知 、 ,则“
ba
11 ”是“ ba ”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要 D.既不充分又不必要条件
6.下列几个说法:①“ 1x ”是“ 2x ”的必要条件;②“ 0xy ”是“ 0x ”的充分条件;③
“ 022 yx ”是“ ”的充分条件;④“ 12 x ”是“ 1x ”的充分条件,其中正确的命题
是 ( )
A.②、③、④ B.③、④
C.①、③ D.②、④
二、填空题
7.用反证法证明命题“若关于 x 的整系数一元二次方程 02 cbxax 有有理根,那么 a 、b 、
c 中至少有一个是偶数,”应假设 .
8.若 a 、b 、 Rc ,则“ ba ”是“ 22 bcac ”的 条件.
9.若 、 、 ,则“ 0ab ”是“ 022 ba ”的 条件.
10. 042 acb 是关于 x 的方程 02 cbxax 有两个实数根的 条件.
三、解答题
11.用反证法证明: 3 是无理数.
12.已知 A 是 D 的充分条件,D 是 B 的必要条件又是 C 的充分条件,B 是 C 的必要条件.问:
(1)A 是 C 的什么条件?A 是 B 的什么条件?
(2)A、B、C、D、中有几对互为充要条件?
13.求关于 的二次方程 032 pxx 有两个大于 1 的根的充要条件.
14.若 x 、 Ry ,求证: 09822 22 yxyx 的充要条件是 1x ,且 2y .
答案与提示
[答案]
一、1.C 2.A 3.D 4.C 5.D 6.B
二、7. 、 、 都是奇数 8.必要不充分
9.充分不必要 10.充分不必要
三、12.( 1)A 是 C 的充分条件,A 是 B 的充分条件;
(2)有 3 对,B、C 互为充要条件,B、D 互为充要条件,C、D 互为充要条件.
13.充要条件是 324 p .
[提示]
二、8.若 0c , 22 bcacba
10.若 0,04,0 22 cbxaxacba 只有一个实数根
b
cx .
三、11.假设 3 不是无理数,即 3 是有理数,则
q
p3 ( p 、 q 为互质的正整数),
pq 3 , 223 pq ,由此 2p 是 3 的倍数.
∵3 是质数,∴ p 是 3 的倍数.
设 )(3 Nmmp ,
代入 223 pq ,得 22 93 mq , 22 3mq .由此知 2q 是 3 的倍数, q 是 3 的倍数,设
)(3 Nnnq ,与 p 、 q 互质矛盾.
∴ 必是无理数.
12.由已知,A、B、C、D 之间有关系: CDA
B
13.设方程的两个实根为 1x 、 2x ,则 1x >1 且 2x >1 的充要条件是 1x -1>0 且 2x -1>0,所求充要条件为 △
= 0122 p ,
( 11 x )( 12 x )>0, 由 3, 2121 xxpxx ,
( 11 x )+( 12 x )>0.
解得 324 p .
14.即证“ ,1x 且 2y ”是“ 09822 22 yxyx ”的充要条件.
充分性:若 且 ,则 09)2(812)2(219822 2222 yxyx
必要性:若 09822 22 yxyx ,即 0)2(2)1( 22 yx ,
∵ x 、 y R , 0)1( 2 x , 0)2(2 2 y ,
∴ 01x ,且 02 y ,即 1x ,且 2y .
∴ 09822 22 yxyx 的充要条件是 ,且 .