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  • 2021-06-16 发布

高一数学同步辅导教材(第6讲)

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A B C D O M 高一数学同步辅导教材(第 6 讲) 一、本讲教学进度 1.7-1.8(P32-36) 二、本讲内容 1.反证法 2.充分条件和必要条件 三、重点、难点选讲 1.反证法 ⑴数学证明的方法可以分为直接证法和间接证法两种.由已知条件和有关公理、定理、公式出发,通 过逻辑推理证得结论的方法叫直接证法,用除此以外的办法证明结论的方法叫间接证法. ⑵反证法是间接证法的一种.若要证的命题是“ qp  ”,反证法是假设 q 为真,即 q 不成立, 并根据有关公理、定理、公式进行逻辑推理,得出矛盾.因为公理、定理、公式正确,推理过程也正确, 产生矛盾的原因只能是“假设 q 为真”,由此假设不成立,即“ q 为真”.这里的“矛盾”可以是与条 件 p 矛盾,即推得“ p ”,可以是和公理、定理或熟知的结论矛盾,也可以是和“假设 为真”矛盾. 例 1 用反证法证明:若 A 、 B 、C 是△ ABC 的三个内角,则其中至少有一个角不大于 60 . 证 假设 、 、 都大于 ,即 60A , 60B , 60C ,则有 180 CBA 与三角形三个内和等于 180 矛盾. 因此假设不成立,即 、 、 中至少有一个角不大于 . 评析 ⑴本题中的 :q 、 、 中至少有一个小于或等于 ,因此 为 、 、 中没有一 个小于或等于 ,即 ,且 ,且 . ⑵一般来说,涉及“至少”、“最多”的问题,常用反证法进行证明. 例 2 用反证法证明:若 Rcba 、、 ,且 12,12,12 2222  aczcbybax ,则 zyx 、、 中至少有一个不于0 . 证 假设 都小于 ,即 0,0,0  zyx ,则有 0 zyx . 另一方面,由已知有 121212 222  accbbazyx 121212 222  ccbbaa       0111 222  cba . 与由假设推得的结论 0 zyx 矛盾, ∴ zyx 、、 中至少有一个不小于0 . 例 3 求证:同圆中,两条非直径且相交的弦,不可能在交点互相平分. 证 设 CDAB、 是圆O 中两条相交于 M 点的弦,且 CDAB、 均不是圆O 的直径. 假设 点同时是弦 AB 和CD 的中点,如图所示. 因 AB 不是直径,由圆的性质知, ABOM . 同理可证, CDOM . ∵过点 M 且与OM 垂直的直线只有一条, ∴ AB 必与CD 重合,这与已知 CDAB、 是圆O 的两条 相交弦矛盾. ∴ CDAB、 不可能在交点 M 处互相平分. 评析 一般来说,凡是涉及不可能问题的证明,通常都用 反证法进行证明. 2.充分条件和必要条件 ⑴充分条件和必要条件是十分重要的数学概念,必须准确理解“充分”、“必要”的涵义. ⑵ p 与 q 之间的因果关系有四种情况: ① qp  ,且 pq  ,称 是 的充分不必要条件; ② ,且 pq  ,称 是 的必要不充分条件; ③ qp  ,且 pq  ,称 是 的充分必要条件; ④ qp  ,且 pq  ,称 是 的既不充分又不必要条件. ⑶ 是 的充分条件即 ,可以从字面上理解为“若 真则充分保证 也为真”, 是 的 必要条件即 ,可以从字面上理解为“若要 真,必须要 真”. ⑷当 时,既可以称 是 的充分条件,也可说成“ 的充分条件是 ”. 当 时,既可以称 是 的必要条件,也可说成“ 的必要条件是 ”. 例 4 指出下列各题中 p 是 q 的什么条件(指“充分不必要条件”,“必要不充分条件”,“充要条件”, 或“既不充分又不必要条件”): (1) p :抛物线 )0(2  acbxaxy 经过点 A(1,0), q : )0(0  acba ; (2) : x 为偶数,且 y 为偶数, : yx  为偶数; (3) : 21 x , : 0322  xx ; (4) : 0a , q : ),(022 Rbaba  ; (5) : 2x , 或 3x , : 17  xx . 解:(1)若 真,即 0,110 2  cbacba ,故 . 若 真,即 )0(0  acba ,则 0112  cba ,抛物线 cbxaxy  2 经过点 A(1,0),故 . ∴ 是 q 的充要条件. (2)若 真,即 x 为偶,且 y 为偶数,则 yx  为偶数,故 . 若 真, 即 为偶数,则 x 、 y 可能都是奇数,因此 . ∴ 是 的充分不必要条件. (3)若 真,即 21 x ,则 31  x , 为 1x 或 3x ,故 , . ∴ 是 的既非充分又非必要条件. (4)显然 ,(当 0a , 0b 时, 022  ba ),又若 真,即 ),(022 Rbaba  ,则 0a ,且 0b ,故 p 真, . ∴ 是 的必要不充分条件. (5)解方程 2,32,06,127,17 22  xxxxxxxxxx 或 是增根, q : 3x . 若 p 真,即“ ,2x 或 ”不一定有 ,∴ qp  . 若 q 真, 即 ,则“ 或 ”必真,∴ pq  . ∴ 是 q 的必要不充分条件. 评析:判断 是 的什么条件,应从 和 能否成立两个方面进行考虑. 例 5 指出下列各题中, 是 的什么条件(指“充分不必要条件”,“必要不充分条件”,“充要条 件”或“既不充分又不必要条件”): (1) : 2x ,且 3y , q : 5 yx ; (2) a 、 Rb , :   , :  sinsin  . 解:(1)考虑“ ”的等价命题“┐ q ┐ p ”. ┐ q : 5 yx , ┐ : 2x ,或 3y . 显然有┐ ┐ ,知 . 同样,由┐ ┐ ,知 . ∴ 是 的既不充分又不必要条件. (2)┐ :  sinsin  , ┐ :   . ∵┐ ┐ , ∴ . ∵┐ ┐ , ∴ . ∴ 是 的必要不充分条件. 评析: (1)在不易确定 与 的关系时,也可以分别用“ ”的等价命题“ ”和“ ”的等价命题“ ”来判断. (2)在判断 时,也可以用举反例的方法,如第(2)题可以用   2 ,但  sin)2sin(sin  ,知 . 例 6 已知 是 的充分不必要条件,s 是 的必要不充分条件,t 是 s 的充要条件, 是 r 的必要 不充分条件. (1) 是 的什么条件? (2) 是 的什么条件? (3) 是 的什么条件? 解 由已知,可以将 、 、 、 、 之间的关系表示为: rtsqp  . 由此可知, 是 的充分不必要条件, 是 的既不充分也不必要条件, 是 的必要不充分条件. 评析: 只要用符号“ ”、“  ”或“  ”分别表示已知条件中各个命题之间的关系,就可以判 断其中两个命题之间的关系. 例 7 求证:若 a 、b 、 Rc ,则 0ac 是关于 x 的一元二次方程 02  cbxax 有两个异号 实根的充要条件. 证 充分性:若 ,则 0a ,且 0 ac , ∵ 02 b , ∴△ 042  acb ,故方程有两个相异实根,设两根为 1x 、 2x . ∵ 021  a cxx , ∴两根 、 异号 . 必要性:若关于 x 的方程 有两个异号实根,设两根为 , ,则 , ∴ . ∴ 0ac 是关于 x 的一元二次方程 02  cbxax 有两个异号实根的充要条件. 例 8 求证:关于 的不等式 012  axax 对一切实数 成立的充分条件是 40  a ,这个条 件是必要条件吗?请证明之. 解 设 p :关于 的不等式 对一切实数 成立, q : 40  a . 要证 的充分条件是 ,即证 是 的充分条件,即证 pq  . 当 真,即 时, 41)2 1(1 22 axaaxax  , ∵ , ∴ 041  a . ∵ 0)2 1( 2 xa . ∴ . ∴ 是 的充分条件,即 的充分条件是 . 当 0a 时, 对一切实数 x 都成立,而 )4,0(0 , ∴ qp  , 不是 的必要条件,即 的必要条件不是 . 评析 在证明“ 的充分条件是 ”时,一般把问题改成证明“ 是 的充分条件”,即证明 .在证明“ 的必要条件是 ”时,一般把问题改成证明“ 是 的必要条件”, 即证明 . 练 习 一、选择题: 1.用反证法证明“方程 02  cbxax ”最多有两个实根,应假设 ( ) A.方程至少有一个实根 B.方程至少有 2 个实根 C.方程至少有 3 个实根 D.方程有一个实根 2.“ BA  ”是“ BA  ”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 3.若 a 、b R ,则“ 0ab ”的一个必要非充分条件是 ( ) A. 0a ,且 0b B. 0a ,且 0b C. 0a b D. 0b a 4.用反证法证明“ 2 不是有理数”,应假设 ( ) A. q p2 B. ( p 、 q 为整数) C. ( 、 为互质整数) D. ( 、 为正整数) 5.已知 、 ,则“ ba 11  ”是“ ba  ”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要 D.既不充分又不必要条件 6.下列几个说法:①“ 1x ”是“ 2x ”的必要条件;②“ 0xy ”是“ 0x ”的充分条件;③ “ 022  yx ”是“ ”的充分条件;④“ 12 x ”是“ 1x ”的充分条件,其中正确的命题 是 ( ) A.②、③、④ B.③、④ C.①、③ D.②、④ 二、填空题 7.用反证法证明命题“若关于 x 的整系数一元二次方程 02  cbxax 有有理根,那么 a 、b 、 c 中至少有一个是偶数,”应假设 . 8.若 a 、b 、 Rc ,则“ ba  ”是“ 22 bcac  ”的 条件. 9.若 、 、 ,则“ 0ab ”是“ 022 ba ”的 条件. 10. 042  acb 是关于 x 的方程 02  cbxax 有两个实数根的 条件. 三、解答题 11.用反证法证明: 3 是无理数. 12.已知 A 是 D 的充分条件,D 是 B 的必要条件又是 C 的充分条件,B 是 C 的必要条件.问: (1)A 是 C 的什么条件?A 是 B 的什么条件? (2)A、B、C、D、中有几对互为充要条件? 13.求关于 的二次方程 032  pxx 有两个大于 1 的根的充要条件. 14.若 x 、 Ry  ,求证: 09822 22  yxyx 的充要条件是 1x ,且 2y . 答案与提示 [答案] 一、1.C 2.A 3.D 4.C 5.D 6.B 二、7. 、 、 都是奇数 8.必要不充分 9.充分不必要 10.充分不必要 三、12.( 1)A 是 C 的充分条件,A 是 B 的充分条件; (2)有 3 对,B、C 互为充要条件,B、D 互为充要条件,C、D 互为充要条件. 13.充要条件是 324  p . [提示] 二、8.若 0c , 22 bcacba  10.若 0,04,0 22  cbxaxacba 只有一个实数根 b cx  . 三、11.假设 3 不是无理数,即 3 是有理数,则 q p3 ( p 、 q 为互质的正整数), pq 3 , 223 pq  ,由此 2p 是 3 的倍数. ∵3 是质数,∴ p 是 3 的倍数. 设 )(3  Nmmp , 代入 223 pq  ,得 22 93 mq  , 22 3mq  .由此知 2q 是 3 的倍数, q 是 3 的倍数,设 )(3  Nnnq ,与 p 、 q 互质矛盾. ∴ 必是无理数. 12.由已知,A、B、C、D 之间有关系: CDA  B 13.设方程的两个实根为 1x 、 2x ,则 1x >1 且 2x >1 的充要条件是 1x -1>0 且 2x -1>0,所求充要条件为 △ = 0122 p , ( 11 x )( 12 x )>0, 由 3, 2121  xxpxx , ( 11 x )+( 12 x )>0. 解得 324  p . 14.即证“ ,1x 且 2y ”是“ 09822 22  yxyx ”的充要条件. 充分性:若 且 ,则 09)2(812)2(219822 2222  yxyx 必要性:若 09822 22  yxyx ,即 0)2(2)1( 22  yx , ∵ x 、 y R , 0)1( 2 x , 0)2(2 2 y , ∴ 01x ,且 02 y ,即 1x ,且 2y . ∴ 09822 22  yxyx 的充要条件是 ,且 .

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