2021版高考数学一轮复习核心素养测评五十四圆锥曲线的最值问题新人教B版 0 8页

核心素养测评五十四 圆锥曲线的最值问题 ‎(25分钟　50分)‎ 一、选择题(每小题5分,共20分)‎ ‎1.已知F1,F2分别为椭圆C的两个焦点,P为椭圆上任意一点.若的最大值为3,则椭圆C的离心率为 (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选B.P点到椭圆C的焦点的最大距离为a+c,最小距离为a-c,又的最大值为3,所以=3,所以e=.‎ ‎2.直线l是抛物线x2=2y在点(-2,2)处的切线,点P是圆x2-4x+y2=0上的动点,则点P到直线l的距离的最小值等于　 (　　)‎ A.0 B. C.-2 D.‎ ‎【解析】选C.抛物线x2=2y,即y=,y′=x,‎ 在点(-2,2)处的切线斜率为-2,则切线l的方程为y-2=-2(x+2),即2x+y+2=0,所以圆心(2,0)到l的距离是=,圆的半径为2,‎ 则点P到直线的距离的最小值是-2.‎ ‎3.如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P点第二次变轨进入仍然以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用2a1和2a2‎ 8‎ 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子: ‎ ‎①a1+c1=a2+c2; ②a1-c1=a2-c2;‎ ‎③c1a2>a1c2; ④<.‎ 其中正确式子的序号是 (　　)‎ A.①③　 B.②③　 C.①④　 D.②④‎ ‎【解析】选B.对于①,因为椭圆中的a+c是椭圆上的点到焦点的最大距离,所以a1+c1>a2+c2,所以①错误;对于②,因为椭圆中的a-c是椭圆上的点到焦点的最小距离,所以a1-c1=a2-c2,所以②正确;对于③,④,因为由图可以看出椭圆Ⅰ比Ⅱ的离心率大,所以④是错误的,③正确.‎ ‎4.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A,B是C上两动点,‎ 且∠AFB=α(α为常数),线段AB中点为M,过点M作l的垂线,垂足为N,若的最小值为1,则α= (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选C.如图,过点A,B分别作准线的垂线AQ,BP,垂足分别是Q,P.‎ 设|AF|=a,|BF|=b,‎ 由抛物线定义得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|.‎ 在梯形ABPQ中,‎ ‎2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.‎ 在△AFB中,由余弦定理得|AB|2=a2+b2-2abcos α.‎ 8‎ 所以=‎ ‎==4‎ ‎=4≥4=2-2cos α,‎ 当且仅当=,即a=b时等号成立.‎ 因为的最小值为1,所以2-2cos α=1,解得cos α=,所以α=.‎ 二、填空题(每小题5分,共10分)‎ ‎5.如图,已知抛物线C1的顶点在坐标原点,焦点在x轴上,且过点(3,6),圆C2:x2+y2-6x+8=0,过圆心C2的直线l与抛物线和圆分别交于P,Q,M,N,则|PN|+3|QM|的最小值为________. ‎ ‎【解析】由题意,抛物线过点(3,6),得抛物线方程y2=12x,设焦点为F(3,0),圆的标准方程为(x-3)2+y2=1,所以圆心为(3,0),与抛物线焦点重合.半径r=1.由于直线过焦点,所以有+==,‎ 又|PN|+3|QM|=(|PF|+1)+(3|QF|+3)=|PF|+3|QF|+4‎ ‎=3(|PF|+3|QF|)+4‎ 8‎ ‎=3+4≥16+6.当且仅当|PF|=|QF|时取等号.‎ 答案:16+6‎ ‎6.已知直线l:x+y=3与x轴,y轴分别交于点A,B,点P在椭圆+y2=1上运动,则△PAB面积的最大值为________. ‎ ‎【解析】因为l:x+y=3与x轴,y轴分别交于点A,B,所以A(3,0),B(0,3),‎ 因此|AB|=3,‎ 又点P在椭圆+y2=1上运动,‎ 所以可设P(cos θ,sin θ),所以点P到直线l的距离为 d==≤=(其中tan φ=),‎ 所以S△PAB=|AB|d≤.‎ 答案:‎ 三、解答题(每小题10分,共20分)‎ ‎7.已知椭圆Γ的中心在原点,焦点在x轴上,焦距为2,且长轴长是短轴长的倍. ‎ ‎(1)求椭圆Γ的标准方程.‎ ‎(2)设P(2,0),过椭圆Γ左焦点F的直线l交Γ于A、B两点,若对满足条件的任意直线l,不等式·≤λ(λ∈R)恒成立,求λ的最小值.‎ 8‎ ‎【解析】(1)依题意,a=b,c=1,a2-b2=c2,解得a2=2,b2=1,所以椭圆Γ的标准方程为+y2=1.‎ ‎(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则·=(x1-2,y1)·(x2-2,y2)‎ ‎=(x1-2)(x2-2)+y1y2.‎ 当直线l垂直于x轴时,x1=x2=-1,y1=-y2且=,此时=(-3,y1),=(-3,y2)=(-3,-y1),所以·=(-3)2-=;‎ 当直线l不垂直于x轴时,‎ 由题意设直线l:y=k(x+1),‎ 由整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0,所以x1+x2=-,x1x2=,‎ 所以·=x1x2-2(x1+x2)+4+k2(x1+1)(x2+1)‎ ‎=(1+k2)x1x2+(k2-2)(x1+x2)+4+k2‎ ‎=(1+k2)-(k2-2)·+4+k2‎ ‎==-<.‎ 要使不等式·≤λ(λ∈R)恒成立,只需λ≥(·)max=,即λ的最小值为 8‎ ‎.‎ ‎8.已知O为坐标原点,F为椭圆C:+=1的上焦点,C上一点A在x轴上方,且|OA|=. ‎ ‎(1)求直线AF的方程.‎ ‎(2)B为直线AF与C异于A的交点,C的弦MN,AB的中点分别为P,Q,若O,P,Q在同一条直线上,求△OMN面积的最大值.‎ ‎【解析】(1)设A(x0,y0)(y0>0),‎ 因为|OA|=,所以=①,‎ 又因为点A在椭圆上,所以+=1②,‎ 由①②解得:或 所以A的坐标为或,‎ 又因为F的坐标为(0,),所以直线AF的方程为y=-x+或y=x+.‎ ‎(2)当A在第一象限时,直线AF:y=-x+,‎ 设M(x1,y1),N(x2,y2),则 8‎ 两式相减得 ‎+=0,‎ 因为MN不过原点,‎ 所以=-,‎ 即kMNkOP=-,同理:kABkOQ=-,‎ 又因为O,P,Q在同一条直线上,所以kOP=kOQ,所以kMN=kAB=-,‎ 设直线MN:y=-x+m,‎ 由得5x2-2mx+2m2-18=0,由Δ>0,得-