【数学】山东省泰安市2020届高三6月全真模拟（三模）试题 15页

山东省泰安市2020届高三6月全真模拟（三模）试题 考生注意：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知集合 A. B. C. D.‎ ‎2.设复数满足，则z的虚部为 A. B. C. D.‎ ‎3.已知函数，则函数的定义域为 A. B.‎ C. D.‎ ‎4.已知抛物线的准线恰好与圆相切，则 A.3 B.4 C.5 D.6‎ ‎5.设p：实数满足，q：实数满足，则p是q的 A.充分不必要条件 ‎ B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎6.我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体（如图所示），下底面是边长为2的正方形，上棱，EF//平面ABCD，EF与平面ABCD的距离为2，该刍甍的体积为 A.6 B. C. D.12‎ ‎7.函数的图象大致为 ‎8.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为是C上位于第一象限内的一点，且直线轴的正半轴交于A点，的内切圆在边上的切点为N，若，则双曲线C的离心率为 A. B. C.2 D.‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.‎ ‎9.已知向量，则 A. B. C. D.‎ ‎10.某院校教师情况如下表所示 关于2016年、2017年、2018年这3年该院校的教师情况，下面说法正确的是 A.2017年男教师最多 B.该校教师最多的是2018年 C.2017年中年男教师比2016年多80人 D.2016年到2018年，该校青年年龄段的男教师人数增长率为220%‎ ‎11.若，则 A. B.‎ C. D.‎ ‎12.已知函数，则下列结论正确的是 A.是周期函数 B.的图象是轴对称图形 C.的图象关于点对称 D.‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知直线是曲线的一条切线，则▲.‎ ‎14.已知▲.‎ ‎15.甲、乙、丙、丁、戊五人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，若每个同学可以自由选择，则不同的选择种数是▲；若甲和乙不参加同一科，甲和丙必须参加同一科，且这三科都有人参加，则不同的选择种数是▲.（用数字作答）（本题第一空2分，第二空3分）‎ ‎16.已知球O是正三棱锥的外接球，，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是▲.‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（10分）‎ 在①，②，③这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.‎ 设等差数列的前项和为，数列为等比数列，_________，.‎ 求数列的前项和.‎ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.‎ ‎18.（12分）‎ 的内角A,B,C所对的边分别为，已知 ‎.‎ ‎（1）求角C.‎ ‎（2）设D为边AB的中点，的面积为2，求的最小值.‎ ‎19.（12分）‎ 在四棱锥为等边三角形，四边形ABCD为矩形，E为PB的中点，.‎ ‎（1）证明：平面平面PAB.‎ ‎（2）设二面角的大小为，求的取值范围.‎ ‎20．(12分)‎ 某水果批发商经销某种水果(以下简称A水果)，购入价为300元/袋，并以360元／袋的价格售出，若前8小时内所购进的A水果没有售完，则批发商将没售完的A水果以220元／袋的价格低价处理完毕(根据经验，2小时内完全能够把A水果低价处理完，且当天不再购进)．该水果批发商根据往年的销量，统计了100天A水果在每天的前8小时内的销售量，制成如下频数分布条形图．‎ 现以记录的100天的A水果在每天的前8小时内的销售量的频率作为A水果在一天的前8小时内的销售量的概率，记X表示A水果一天前8小时内的销售量，n表示水果批发商一天批发A水果的袋数．‎ ‎(1)求X的分布列；‎ ‎(2)以日利润的期望值为决策依据，在中选其一，应选用哪个?‎ ‎21．(12分)‎ 已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原原点，点O到直线AB的距离为，的面积为1．‎ ‎(1)求榷圆的标准方程；‎ ‎(2)直线与椭圆交于C，D两点，若直线直线AB，设直线AC，BD的斜率分别为证明：为定值．‎ ‎22．(12分)‎ 已知函数有两个零点．‎ ‎(1)求a的取值范围；‎ ‎(2)设是的两个零点，证明：．‎ 参考答案 ‎1.B【解析】本题考查集合交集运算，考查运算求解能力.‎ 因为.‎ ‎2.C【解析】本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力.‎ ‎，则的虚部为.‎ ‎3.D【解析】本题考查函数的定义域，考查运算求解能力.‎ 令，解得有意义，则即 ‎.‎ ‎4.C【解析】本题考查抛物线的标准方程及直线与圆的位置关系，考查数形结合的思想.‎ 抛物线的准线方程为则.‎ ‎5.A【解析】本题考查充分必要条件，不等式的解法，考查运算求解能力，逻辑推理能力.‎ 设 ‎，因为，所以，所以的充分不必要条件.‎ ‎6.B【解析】本题考查空间几何体的体积，考查空间想象能力和运算求解能力.‎ 如图，作FN//AE，FM//ED，则多面体被分割为棱柱与棱锥部分，则该刍甍的体积为 ‎.‎ ‎7.A【解析】本题考查函数图象的应用，考查逻辑推理能力.‎ 由，所以是奇函数，排除B,D；由 ‎，可知，结合图象可知选A.‎ ‎8.D【解析】本题考查双曲线的定义以及内切圆的应用，考查数形结合的思想以及转化与化归的思想.‎ 设的内切圆在边的切点分别为E,G，则 ‎.又，则，由对称性可知，化简可得，则，所以双曲线C的离心率为.‎ ‎9.BD【解析】本题考查平面向量的坐标运算，考查运算求解能力.‎ ‎.设，则，则所以所以.‎ ‎10.BCD【解析】本题考查统计知识，考查数据处理能力.‎ 由题意知，2018年的男教师最多，A错误；将表中各年度人数横向求和可知，2018年共有1720人，为人数最多的一年，B正确；2017年中年男教师比2016年多（人），故C项正确；2016~2018青年男教师增加了220人，增长率为，故D正确.‎ ‎11.ACD【解析】本题考查二项式定理的应用，考查运算求解的能力.‎ 由题意，当 当时，，‎ 当时，，‎ 所以，‎ ‎，‎ 当 所以.‎ ‎12.AB【解析】‎ 由于，所以是周期函数，故A正确；‎ 由，从而为偶函数，其图象关于对称，故B正确；‎ 由于从而当为奇数时，的图象不一定关于点对称，故C不正确；‎ 当，则此时，故D不正确.‎ ‎13.4【解析】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力.‎ 设，切点为，因为，所以 ‎.‎ ‎14.【解析】本题考查三角恒等变换，考查运算求解的能力.‎ 由 ‎，所以.‎ ‎15.243；30【解析】本题考查排列组合的应用，考查逻辑推理能力.‎ 若每个同学可以自由选择，由乘法原理可得，不同的选择种数是；‎ 因为甲和乙不参加同一科，甲和丙必须参加同一科，所以有2、2、1和3、1、1两种分配方案.‎ 当分配方案为2、2、1时，共有种；‎ 当分配方案为3、1、1时，共有种；‎ 所以不同的选择和数是.‎ ‎16.【解析】本题考查空间几何体的外接球，考查空间想象能力.‎ 设三棱锥的外接球半径为R，正三角形ABC的外接圆圆心为，则，解得，因为过E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的半径最小，所以当截面与OE垂直时，截面圆的面积有最小值.在.在中，，所以，所以截面面积.‎ ‎17.解：选①‎ 当，……………………………………………………………………1分 当，………………………………………………………2分 又满足，所以.……………………………………………………4分 设的公比为q，又因为，…………………5分 得，所以.……………………………………………………………6分 由数列的前n项和为，…………………………………………7分 可知，………………………………………………8分 数列的前项和为，…………………9分 故.……………………………………………10分 选②‎ 设公差为，由……………………2分 解得所以.…………………………………………………4分 设的公比为q，又因为，……………………5分 得，所以.……………………………………………………………6分 由数列的前项和为，…………………………………………7分 可知，………………………………………………8分 数列的前项和为，…………………9分 故.……………………………………………10分 选③‎ 由，………………………2分 ‎，……………………………………………………3分 所以.…………………………………………………………………4分 设的公比为q，又因为，……………………5分 得.……………………………………………………………6分 由数列的前项和为，…………………………………………7分 可知，………………………………………………8分 数列的前n项和为，…………………9分 故.……………………………………………10分 ‎18.解：（1）由已知可得故，…2分 得，………………………………………………………………………3分 所以.……………………………………………5分 ‎（2）由.…………………………7分 由，……………………9分 则，当且仅当时取等号，所以的最小值为.…………………………………………12分 ‎19.（1）证明：连接AE，因为为等边三角形，所以，……………1分 又平面ADE，…………………………………2分 所以.……………………………………………………………………………3分 因为四边形ABCD为矩形，所以，‎ 所以平面PAB.………………………………………………………………………4分 因为平面ABCD，所以平面平面PAB.…………………………………5分 ‎（2）解：以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，‎ 则,‎ 由空间向量的坐标运算可得 ‎.‎ ‎……………………………………………6分 设平面BPC的法向量为，‎ 则代入可得 令，所以.……………………………7分 设平面PAC的法向量为 则代入可得 令，所以.……………………………8分 二面角的大小为，由图可知，二面角为锐二面角，‎ 所以 ‎，……………………………………………………………………10分 所以.…………………………………………………………………………12分 ‎20.解：（1）由题意知A水果在每天的前8小时内的销售量为14，15，16，17的频率分别是0.2，0.3，0.4和0.1，………………………………………………………………2分 所以X的分布列为 ‎………………………………………………………………………………………………4分 ‎（2）当时，设Y为水果批发商的日利润，则Y的可能取值为760，900，…5分 ‎，，……7分 当时，设Z为水果批发商的日利润，则Z的可能取值为680，820，960，…8分 ‎，‎ ‎.………………………………………10分 综上可知，当时的日利润期望值大于时的日利润期望值，故选.…12分 ‎21.解：（1）直线AB的方程为，即，……………………1分 则.………………………………………………………………………2分 因为三角形OAB的面积为1，所以，……………………………3分 解得，…………………………………………………………………………4分 所以椭圆的标准方程为.………………………………………………………5分 ‎（2）直线AB的斜率为，设直线的方程为，……6分 代入，……………………………………………7分 则，………………………………………………………………8分 所以，…………………………………………………9分 所以 ‎，……11分 所以为定值.……………………………………………………………………12分 ‎22.解：（1）由题意，可得，转化为函数与直线上有两个不同交点.…………………………………………………………………………1分 ‎，故当时，；当，时，.‎ 故在上单调递增，在上单调递减，‎ 所以.…………………………………………………………………3分 又，故当时，；当时，.‎ 可得.………………………………………………………………………………5分 ‎（2），‎ 由（1）知是的两个根，‎ 故.……………………………7分 要证，只需证，即证，‎ 即证，……………………………………………………………8分 即证，即证.…………………………………………9分 不妨设，‎ 令，………11分 则上单调递增，则，故式成立，即要证不等式得证.‎ ‎………………………………………………………………………………………………12分