2020-2021高中必修三数学上期中模拟试卷(带答案)(4) 20页

2020-2021 高中必修三数学上期中模拟试卷 ( 带答案 )(4) 一、选择题 1．执行右面的程序框图，若输入的 , ,a b k 分别为 1,2,3，则输出的 M ( ) A． 20 3 B． 7 2 C． 16 5 D． 15 8 2．已知某样本的容量为 50，平均数为 70，方差为 75．现发现在收集这些数据时，其中的 两个数据记录有误，一个错将 80 记录为 60，另一个错将 70 记录为 90．在对错误的数据进 行更正后，重新求得样本的平均数为 x ，方差为 2s ，则 A． 270, 75x s B． 270, 75x s C． 270, 75x s D． 270, 75x s 3．设 ,m n 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则方程 2 0x mx n 有实根的概率为 （ ） A． 19 36 B． 11 36 C． 7 12 D． 1 2 4．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡都送给丁 的概率为（ ） A． 1 2 B． 1 3 C． 1 4 D． 1 5 5．统计某校 n 名学生的某次数学同步练习成绩，根据成绩分数依次分成六组： 90,100 , 100,110 , 110,120 , 120,130 , 130,140 , 140,150 ，得到频率分布直方图 如图所示，若不低于 140 分的人数为 110. ① 0.031m ；② 800n ；③100 分以下的人数 为 60；④分数在区间 120,140 的人数占大半．则说法正确的是（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 6．执行如图所示的程序框图，则输出的 n 值是（ ） A． 5 B． 7 C． 9 D． 11 7．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和如图 2 所示，为了了解该地区中小学 生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取 2% 的学生进行调查，则样本容量和抽取的高 中生近视人数分别为（ ） A．100， 20 B． 200 ， 20 C． 100，10 D． 200 ， 10 8．远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母 亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据 图示可知，孩子已经出生的天数是 ( ) A．336 B．510 C．1326 D．3603 9．已知不等式 5 0 1 x x 的解集为 P ，若 0x P ，则 “ 0 1x ”的概率为（ ）． A． 1 4 B． 1 3 C． 1 2 D． 2 3 10．已知甲盒中仅有 1 个球且为红球，乙盒中有 m 个红球和 n 个篮球 3, 3m n ，从乙 盒中随机抽取 1,2i i 个球放入甲盒中 . （a）放入 i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为 1,2i i ； （b）放入 i 个球后，从甲盒中取 1 个球是红球的概率记为 1,2ip i . 则 A． 1 2 1 2,p p E E B． 1 2 1 2,p p E E C． 1 2 1 2,p p E E D． 1 2 1 2,p p E E 11． 某五所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀，并在某些方面 有特长的学生发出提前录取通知单 . 若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读， 则仅有两名学生录取到同一所大学 ( 其余三人在其他学校各选一所不同大学 )的概率是 ( ) A． 1 5 B． 24 125 C． 48 125 D． 96 125 12． 某高校大一新生中 , 来自东部地区的学生有 2400 人、中部地区学生有 1600 人、西部地 区学生有 1000 人. 从中选取 100 人作样本调研饮食习惯 , 为保证调研结果相对准确 , 下列判 断正确的有（ ） ①用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生 48 人、中部地区学生 32 人、西部地区学生 20 人； ②用简单随机抽样的方法从新生中选出 100 人； ③西部地区学生小刘被选中的概率为 1 50 ； ④中部地区学生小张被选中的概率为 1 5000 A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 二、填空题 13． 已知一组数据： 87, ,90,89,93x 的平均数为 90，则该组数据的方差为 ______． 14． 某高中校高一、高二、高三三个年级人数分别为 300，300，400 通过分层抽样从中抽 取 40 人进行问卷调查，高三抽取的人数是 ______． 15．如图所示，在边长为 1 的正方形 OABC中任取一点 M ．则点 M 恰好取自阴影部分的概 率是 ． 16． 程序框图如图所示，若输出的 y＝0，那么输入的 x 为________． 17． 执行如图所示的程序框图，如果输出 3s ，则正整数 M 为 __________． 18． 为了调查某班学生做数学题的基本能力，随机抽查部分学生某次做一份满分为 100 分 的数学试题，他们所得分数的分组区间为 45,55 ， 55,65 ， 65,75 ， 75,85 ， 85,95 ，由此得到频率分布直方图如下图，则这些学生的平均分为 __________. 19． 正四面体的 4 个面上分别写着 1、2、3、4，将 3 个这样均匀的正四面体同时投掷于桌 面上，与桌面接触的 3 个面上的 3 个数的乘积能被 4 整除的概率是 _____________． 20． 已知 ,x y 之间的一组数据不小心丢失一个，但已知回归直线过点 1.5,4 ，则丢失的数 据是 __________． x 0 1 2 3 y 1 3 5 三、解答题 21． 某中学从高三男生中随机抽取 100 名学生，将他们的身高数据进行整理，得到下侧的 频率分布表 . 组号 分组 频率 第 1 组 [160，165） 0.05 第 2 组 [165,170) 0.35 第 3 组 [170,175) 0.3 第 4 组 [175,180) 0.2 第 5 组 [180,185] 0.1 合计 1.00 （Ⅰ）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第 3，4，5 组中用分层抽样的方法 抽取 6 名学生进行体能测试，问第 3，4，5 组每组各应抽取多少名学生进行测试； （Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，学校决定在 6 名学生中随机抽取 2 名学生进行引体向上测试， 求第 3 组中至少有一名学生被抽中的概率； （Ⅲ）试估计该中学高三年级男生身高的中位数位于第几组中，并说明理由 . 22． 某地实施乡村振兴战略，对农副产品进行深加工以提高产品附加值，已知某农产品成 本为每件 3 元，加工后的试营销期间，对该产品的价格与销售量统计得到如下数据： 单价 x（元） 6 6.2 6.4 6.6 6.8 7 销量 y（万件） 80 74 73 70 65 58 数据显示单价 x 与对应的销量 y 满足线性相关关系． （1）求销量 y（件）关于单价 x（元）的线性回归方程 ?? ?y bx a ； （2）根据销量 y 关于单价 x 的线性回归方程，要使加工后收益 P 最大，应将单价定为多少 元？（产品收益 =销售收入 -成本）． 参考公式： ?b = 1 2 1 ( ) ( ) n i ii n ii x x y y x x = 1 2 2 1 n i ii n ii x y nxy x nx ， ??a y bx 23． 每年七月份，我国 J 地区有 25 天左右的降雨时间，如图是 J 地区 S镇 2000-2018 年降 雨量（单位： mm）的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题： （1）假设每年的降雨天气相互独立，求 S 镇未来三年里至少有两年的降雨量超过 350mm的 概率； （2）在 S镇承包了 20 亩土地种植水果的老李过去种植的甲品种水果，平均每年的总利润 为 31.1 万元．而乙品种水果的亩产量 m（kg/ 亩）与降雨量之间的关系如下面统计表所 示，又知乙品种水果的单位利润为 32- 0.01 ×m（元 /kg ），请帮助老李排解忧愁，他来年 应该种植哪个品种的水果可以使利润 ξ（万元）的期望更大？（需说明理由）； 降雨量 [100 ，200） [200 ，300） [300 ，400） [400 ，500） 亩产量 500 700 600 400 24． 设 ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， tana b A，且 B 为钝角 . （1）证明： 2 B A ； （2）求 sin sinA C 的取值范围 . 25． 菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，但采集上市时蔬菜 仍存有少量的残留农药，食用时需要用清水清洗干净，下表是用清水 x( 单位：千克 ) 清洗 该蔬菜 1 千克后，蔬菜上残留的农药 y( 单位：微克 ) 的数据作了初步处理，得到下面的散 点图及一些统计量的值． y（微克） x （千克） x v y uv wv 28 1 i i x x 8 2 1 i i w w 8 1 i i i x x y y 8 1 i i i w w y y 3 38 11 10 374 － 121 －751 其中 2x （I ）根据散点图判断， ?y bx a 与 2?y dx c ，哪一个适宜作为蔬菜农药残量 ?y 与用 水量 x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）； ( Ⅱ) 若用解析式 2?y dx c 作为蔬菜农药残量 ?y 与用水量 x 的回归方程，求出 ?y 与 x 的回 归方程． (c ，d 精确到 0.1) ( Ⅲ) 对于某种残留在蔬菜上的农药，当它的残留量低于 20 微克时对人体无害，为了放心食 用该蔬菜，请估计需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜？ ( 精确到 0.1 ，参考数据 5 2.236 ) 附：参考公式：回归方程 ?? ?y a bx 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 1 2 1 ? ??, n i i i n i i x x y y b a y bx x x 26． 2019 年，河北等 8 省公布了高考改革综合方案将采取“ 3+1+2”模式，即语文、数 学、英语必考，然后考生先在物理、历史中选择 1 门，再在思想政治、地理、化学、生物 中选择 2 门 . 为了更好进行生涯规划，甲同学对高一一年来的七次考试成绩进行统计分析， 其中物理、历史成绩的茎叶图如图所示 . (1) 若甲同学随机选择 3 门功课，求他选到物理、地理两门功课的概率； (2) 试根据茎叶图分析甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科？并说明理由； (3) 甲同学发现，其物理考试成绩 y ( 分) 与班级平均分 x ( 分) 具有线性相关关系，统计数据 如下表所示，试求当班级平均分为 50 分时，其物理考试成绩 . 参考数据 : 7 2 1 34840i i x ， 7 2 1 50767i i y ， 7 1 41964i i i x y ， 7 1 ( )( ) 314i i i x x y y . 参考公式： y bx a$ $ $ ， 1 1 22 2 1 1 ( )( ) ( ) n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y n x y b x x x n x $ ， $a y b x$ (计算 $a b$，时精确到 0.01). 【参考答案】 *** 试卷处理标记，请不要删除 一、选择题 1．D 解析： D 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：根据题意由 1 3成立，则循环，即 1 3 31 , 2, , 2 2 2 2 M a b n ;又由 2 3 成立，则循环，即 2 8 3 82 , , , 3 3 3 2 3 M a b n ;又由 3 3 成立，则循环，即 3 3 15 8 15, , , 4 2 8 8 3 8 M a b n ;又由 4 3 不成立，则出循环，输出 15 8 M ． 考点：算法的循环结构 2．A 解析： A 【解析】 【分析】 分别根据数据的平均数和方差的计算公式，求得 2,x s 的值，即可得到答案． 【详解】 由题意，根据平均数的计算公式，可得 70 50 80 60 70 90 70 50 x ， 设收集的 48 个准确数据分别记为 1 2 48, , ,x x xL ， 则 2 2 2 2 2 1 2 48 175 70 70 70 60 70 90 70 50 x x xL 2 2 2 1 2 48 1 70 70 70 500 50 x x xL ， 2 2 2 2 22 1 2 48 1 70 70 70 80 70 70 70 50 s x x xL 2 2 2 1 2 48 1 70 70 70 100 75 50 x x xL ， 故 2 75s ．选 A ． 【点睛】 本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记数据的平均数和 方差的公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，数基础题． 3．A 解析： A 【解析】 由题意知本题是一个等可能事件的概率， 试验发生包含的事件数是 6×6=36 种结果， 方程 x2+mx+n=0 有实根要满足 m2-4 n? 0， 当 m=2，n=1 m=3， n=1，2 m=4， n=1，2，3，4 m=5， n=1，2，3，4， 5，6， m=6， n=1，2，3，4， 5，6 综上可知共有 1+2+4+6+6=19 种结果 ∴方程 x2+mx+n=0 有实根的概率是 19 36 ； 本题选择 A 选项 . 4．C 解析： C 【解析】 【分析】 甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人共有 4 种情况，甲、乙将贺年卡 都送给丁有 1 种情况，利用古典概型求解即可． 【详解】 （甲送给丙、乙送给丁）、（甲送给丁，乙送给丙）、（甲、乙都送给丙）、（甲、乙都 送给丁）共四种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种， 所以甲、乙将贺年卡送给同一人丁的情况一种，概率是： 1 4 ， 故选 C． 【点睛】 本题主要考查了古典概型的定义及计算，排列，计数原理，属于中档题． 5．B 解析： B 【解析】 【分析】 根据频率分布直方图的性质和频率分布直方图中样本估计总体，准确运算，即可求解 . 【详解】 由题意，根据频率分布直方图的性质得 10( 0.020 0.016 0.016 0.011 0.006) 1m ， 解得 0.031m . 故①正确； 因为不低于 140 分的频率为 0.011 10 0.11，所以 110 1000 0.11 n ，故②错误； 由 100 分以下的频率为 0.006 10=0.06 ，所以 100 分以下的人数为 1000 0.06=60 ， 故③正确； 分数在区间 [120,140)的人数占 0.031 10 0.016 10 0.47，占小半 . 故④错误 . 所以说法正确的是①③. 故选 B. 【点睛】 本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答熟记频率分布直方图的性质，以及在频 率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所有小长方形的面积的和等于 1，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题 . 6．C 解析： C 【解析】 【分析】 根据程序框图列出算法循环的每一步，结合判断条件得出输出的 n 的值 . 【详解】 执行如图所示的程序框图如下： 40 9 S 不成立， 1 1S 1 3 3 ， 1 2 3n ； 1 4 3 9 S 不成立， 1 1 2 3 3 5 5 S ， 3 2 5n ； 2 4 5 9 S 不成立， 2 1 3 5 5 7 7 S ， 5 2 7n ； 3 4 7 9 S 不成立， 3 1 4 7 7 9 9 S ， 7 2 9n . 4 4 9 9 S 成立，跳出循环体，输出 n 的值为 9 ，故选 C. 【点睛】 本题考查利用程序框图计算输出结果，对于这类问题，通常利用框图列出算法的每一步， 考查计算能力，属于中等题 . 7．B 解析： B 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：由题意知，样本容量为 3500 4500 2000 2% 200，其中高中生人数为 2000 2% 40， 高中生的近视人数为 40 50% 20，故选 B. 【考点定位】 本题考查分层抽样与统计图，属于中等题 . 8．B 解析： B 【解析】 试题分析：由题意满七进一，可得该图示为七进制数 , 化为十进制数为 3 21 7 3 7 2 7 6 510 ,故选 B. 考点： 1、阅读能力及建模能力； 2、进位制的应用 . 9．B 解析： B 【解析】 【分析】 【详解】 分析：解分式不等式得集合 P，再根据几何概型概率公式（测度为长度）求结果 . 详解： ( 5)( 1) 05 0 1 01 x xx xx ， ∴ | 1 5P x x ， | | 1 1 1x x ， ∴ 1 ( 1) 1 5 ( 1) 3 P ． 选 B ． 点睛： (1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解． (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找， 有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域． 10．A 解析： A 【解析】 1 1 2 2 2 m n m np m n m n m n ， 2 1 12 1 1 1 3 1 3 m m n nmnp m n m n m n m n m n m n 2 23 3 2 3 1 m m mn n n m n m n ， 2 22 2 1 2 3 2 1 2 3 3 22 3 3 2 2 3 1 6 1 m n m n m m mn n nm n m m mn n np p m n m n m n m n m n 5 1 0 6 1 mn n n m n m n ，故 1 2p p ， 1 1 2 20 1 2 2 2 n m n m nE m n m n m n ， 2 2 2 12 1 3 3 20 1 1 3 1 3 3 1 n nmn m m mn n nE m n m n m n m n m n m n 2 23 3 2 3 1 m m mn n n m n m n ，由上面比较可知 1 2E E ，故选 A 考点：独立事件的概率 ,数学期望 . 11．C 解析： C 【解析】 五所学生自由录取五名学生 ,共有 55种不同的录取情况 其中满足条件：仅有两名学生录取到同一所大学 (其余三人在其他学校各选一所不同大学 ) 的情况的录取情况有： 2 1 3 5 5 4C C A 种， 则：则仅有两名学生录取到同一所大学 (其余三人在其他学校各选一所不同大学 )的概率： 2 1 3 5 5 4 5 48 5 125 C C Ap 本题选择 C 选项 . 12．B 解析： B 【解析】 分析：由题意逐一考查所给的说法是否正确即可 . 详解：逐一考查所给的说法： ①由分层抽样的概念可知，取东部地区学生 2400100 2400 1600 1000 48 人、 中部地区学生 1600100 2400 1600 1000 32 人、 西部地区学生 1000100 2400 1600 1000 20 人，题中的说法正确； ②新生的人数较多，不适合用简单随机抽样的方法抽取人数，题中的说法错误； ③西部地区学生小刘被选中的概率为 100 1 2400 1600 1000 50 ，题中的说法正确； ④中部地区学生小张被选中的概率为 100 1 2400 1600 1000 50 ，题中的说法错误； 综上可得，正确的说法是①③ . 本题选择 B 选项 . 点睛：本题主要考查分层抽样的概念，简单随机抽样的特征，古典概型概率公式等知识， 意在考查学生的转化能力和计算求解能力 . 二、填空题 13．【解析】该组数据的方差为 解析： 4 【解析】 87 90 89 93 90 5 91x x 该组数据的方差为 2 2 2 2 21[(87 90) (91 90) (90 90) (89 90) (93 90) ] 4 5 14．16【解析】高一高二高三抽取的人数比例为所以高三抽取的人数是 解析： 16 【解析】 高一、高二、高三抽取的人数比例为 300 300 400=3 3 4： ： ：：， 所以高三抽取的人数是 4 40=16. 3+3+4 15．【解析】试题分析：根据题意正方形的面积为而阴影部分由函数与围成其 面积为则正方形中任取一点点取自阴影部分的概率为则正方形中任取一点点取 自阴影部分的概率为考点：定积分在求面积中的应用几何概型点评 : 本题考 解析： 【解析】 试题分析：根据题意，正方形 的面积为 而阴影部分由函数 与 围成，其面积为 ， 则正方形 中任取一点 ,点 取自阴影部分的概率为 . 则正方形中任取一点，点取自阴影部分的概率为 考点：定积分在求面积中的应用 几何概型 点评 :本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部 分的面积 . 16．－3 或 0【解析】分析程序中各变量各语句的作用再根据流程图所示的顺序 可知：该程序的作用是计算分段函数的函数值当 x＜0 时 y=x+3=0∴x=-3 满足要 求当 x=0 时 y=0∴x=0 满足要求当 x＞0 时 y=x+ 解析： －3 或 0 【解析】 分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是计算分段函数 3, 0 0, 0 5, 0 x x y x x x 的函数值， 当 x＜0 时， y=x+3=0 ，∴ x=-3 满足要求， 当 x=0 时， y=0，∴ x=0 满足要求， 当 x＞0 时， y=x+5，∴ x=-5，不满足要求， 故输入的 x 的值为： -3 或 0. 17．27【解析】依次运行框图所示的程序可得第一次：不满足条件；第二次： 不满足条件；第三次：不满足条件； ⋯⋯第二十四次：不满足条件；故判断框内 的条件是答案： 27点睛：程序框图的补全及逆向求解问题的解题策略 解析： 27 【解析】 依次运行框图所示的程序，可得 第一次： 1 3 31 log 4 log 4, 4S k ，不满足条件； 第二次： 2 3 4 3log 4 log 5 log 5, 5S k ，不满足条件； 第三次： 3 3 5 3log 5 log 6 log 6, 6S k ，不满足条件； ⋯⋯ 第二十四次： 24 3 26 3log 26 log 27 log 27 3, 27S k ，不满足条件； 故判断框内的条件是 27?k 。 答案： 27 点睛：程序框图的补全及逆向求解问题的解题策略： (1)先假设参数的判断条件满足或不满足； (2)运行循环结构，一直到运行结果与题目要求的输出结果相同为止； (3)根据此时各个变量的值，补全程序框图． 18．64【解析】结合频率分布直方图可得平均分为：即这些学生的平均分为 64 分点睛：利用频率分布直方图求众数中位数和平均数时应注意三点：①最高的 小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形 解析： 64 【解析】 结合频率分布直方图可得，平均分为： 50 0.020 10 60 0.040 10 70 0.025 10 80 0.010 10 90 0.005 10 64 ， 即这些学生的平均分为 64 分 . 点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形 底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均 数是频率分布直方图的 “重心 ”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形 底边中点的横坐标之和 . 19．【解析】将 3个正四面体同时投掷于桌面时共有种情况与桌面接触的 3个面 上的 3个数的乘积能被 4整除时则这 3个数的乘积为 4的倍数（ 1）这 3个数为 122时 有3种情况；（ 2）这 3个数为 124时有种；（ 3）这 3个 解析： 11 16 【解析】 将 3 个正四面体同时投掷于桌面时，共有 34 64 种情况，与桌面接触的 3 个面上的 3 个 数的乘积能被 4 整除时，则这 3 个数的乘积为 4 的倍数，（ 1）这 3 个数为 1,2,2 时，有 3 种情况；（ 2）这 3 个数为 1,2,4 时，有 3 3 =6A 种；（ 3）这 3 个数为 1,3,4 时，有 3 3 =6A 种；（ 4）这 3 个数为 1,1,4 时，有 3 种；（ 5）这 3 个数为 2，2,2 时，有 1 种；（ 6）这 3 个数为 2,2,3 时，有 3 种；（ 7）这 3 个数为 2,2,4 时，有 3 种；（ 8）这 3 个数为 1,4,4 时， 有 3 种；（ 9）这 3 个数为 2,3,4 时，有 3 3 =6A 种；（ 10）这 3 个数为 2,4,4 时，有 3 种； （11）这 3 个数为 3,3,4 时，有 3 种；（ 12）这 3 个数为 3,4,4 时，有 3 种；（ 13）这 3 个 数为 4,4,4 时，有 1 种。故共有 3+6+6+3+1+3+3 3 6 3 3+3+1=44 种，故与桌面接 触的 3 个面上的 3 个数的乘积能被 4 整除的概率为 44 11= = 64 16 P 。 点睛：本题主要考查古典概型求概率，属于易错题。在求与桌面接触的 3 个面上的 3 个数 的乘积能被 4 整除时，采用分类讨论法，注意要做到不重不漏。 20．7【解析】设丢失的数据是点睛：函数关系是一种确定的关系相关关系是一 种非确定的关系事实上函数关系是两个非随机变量的关系而相关关系是非随机 变量与随机变量的关系如果线性相关则直接根据用公式求写出回归方程回 解析： 7 【解析】设丢失的数据是 ,m 3 4 4 4 1 3 5 7 2 x y m mQ 点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系 . 事实上，函数关系是两 个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系 . 如果线性相关，则直接 根据用公式求 ??,a b，写出回归方程，回归直线方程恒过点 ,x y . 三、解答题 21． （1）3 人， 2 人， 1 人.（2）0.8.（ 3）第 3 组 【解析】 分析：（Ⅰ）由分层抽样方法可得第 3 组： 30 6 60 ＝ 3 人；第 4 组： 20 6 60 ＝ 2 人；第 5 组： 10 6 60 ＝1人；（Ⅱ）利用列举法可得 6个人抽取两人共有 15 中不同的结果，其中第 4 组的两位同学至少有一位同学被选中的情况有 12 种，利用古典概型概率公式可得结果； （Ⅲ）由前两组频率和为 0.4 ，中位数可得在第 3组 . 详解：（Ⅰ）因为第 3， 4，5 组共有 60 名学生，所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生，每组学生人数分别为： 第 3 组： 30 6 60 ＝ 3 人；第 4 组： 20 6 60 ＝2 人；第 5 组： 10 6 60 ＝1 人. 所以第 3，4，5 组分别抽取 3 人， 2 人， 1 人. （Ⅱ）设第 3 组 3 位同学为 A 1，A 2，A 3，第 4 组 2 位同学为 B1，B 2，第 5 组 1 位同学为 C1，则从 6 位同学中抽两位同学的情况分别为： （A 1，A 2），（ A 1，A 3），（ A 1，B 1），（ A 1，B2），（ A 1，C1），（ A 2，A 3）， （A 2，B1），（ A 2，B 2），（ A 2，C1），（ A 3， B1），（ A 3， B2），（ A 3，C1），（ B1， B2），（ B1，C1），（ B 2，C1）.共有 15 种 . 其中第 4 组的两位同学至少有一位同学被选中的情况分别为： （A 1，A 2），（ A 1，A 3），（ A 1，B 1），（ A 1，B2），（ A 1，C1），（ A 2，A 3）， （A 2，B1），（ A 2，B 2），（ A 2，C1），（ A 3， B1），（ A 3， B2），（ A 3，C1），共有 12 种可能 . 所以，第 4 组中至少有一名学生被抽中的概率为 0.8. 答：第 4 组中至少有一名学生被抽中的概率为 0.8. （Ⅲ）第 3 组 点睛：本题主要考查分层抽样以及古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概 率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适 合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的； (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的 基本亊件的探求 .在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先 1 1( , )A B ， 1 2( , )A B ⋯ . 1( , )nA B ，再 2 1( , )A B ， 2 2( , )A B ⋯ .. 2( , )nA B 依次 3 1( , )A B 3 2( , )A B ⋯. 3( , )nA B ⋯ 这样才能 避免多写、漏写现象的发生 . 22． （1） ? 20 200y x ；（ 2）6.5 元 . 【解析】 【分析】 （1）由题意计算平均数和回归系数，即可写出回归直线方程； （2）由题意写出收益函数 P 的解析式，求出 P 取最大值时对应的 x 值即可． 【详解】 解：（ 1）由题意得， x = 1 6 ×（6+6.2+6.4+6.6+6.8+7 ）=6.5， y = 1 6 ×（80+74+73+70+65+58 ） =70； 则 6 1 ( ) 5 1.2 0.3 0 1.5 6 14i i i x x y y ， 6 2 1 ( ) 0.25 0.09 0.01 0.01 0.09 0.25 0.7i i x x ； 所以 14 20 0 7 ? . b ， 70 20 6.5 200??a y bx 所以所求回归直线方程为 20 200?y x ． （2）由题意可得， 3 20 2? 00 3P y x x x ， 整理得 P=-20（x-6.5） 2+245， 当 x=6.5 时， P 取得最大值为 245； 所以要使收益达到最大，应将价格定位 6.5 元． 【点睛】 本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也考查了计算与推理能力，是基础题． 23． （1） 5 32 ；（ 2）乙品种杨梅的总利润较大 . 【解析】 【分析】 （1）由频率分布直方图中矩形面积和为 1，计算第四组的频率，再求出第三组矩形面积的 一半，求和即可求出对应的概率值，再利用独立重复试验概率公式可得结果；（ 2）根据直 方图求随机变量的概率，可得随机变量 的分布列，求出乙品种杨梅的总利润的数学期 望，与过去种植的甲品种杨梅平均每年的总利润为 28 万元比较得出结论和建议 . 【详解】 （1）频率分布直方图中第四组的频率为 1 100 0.002 0.004 0.003 0.1 该地区在梅雨季节的降雨量超过 350mm的概率为 50 0.003 0.1 0.25 所以该地区未来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过 350mm的概率为 2 3 2 3 3 3 1 1 1 9 1 51 4 4 4 64 64 32 C C （或 0.15625. ） （2）据题意，总利润为 20 32 0.01n n 元，其中 500,700,600,400n . 所以随机变量 （万元）的分布列如下表： 27 35 31.2 22.4 P 0.2 0.4 0.3 0.1 故总利润 （万元）的期望 27 0.2 35 0.4 31.2 0.3 22.4 0.1E 5.4 14.0 9.36 2.24 31（万元） 因为 31 28，所以老李应该种植乙品种杨梅可使总利润 （万元）的期望更大 . 【点睛】 本题主要考查频率分布直方图的应用以及离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题 . 直 方图的主要性质有：（ 1）直方图中各矩形的面积之和为 1；（ 2）组距与直方图纵坐标的 乘积为该组数据的频率；（ 3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和 可得平均值；（ 4）直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数 . 24． （1）见解析；（ 2） 2 9( , ] 2 8 . 【解析】 试题分析： (Ⅰ )运用正弦定理将 化简变形 ,再解三角方程即可获解； (Ⅱ)将角 用 表示 ,换元法求函数 的值域即可 . 试题解析： (Ⅰ )由 tana b A及正弦定理，得 sin sin cos sin A a A A b B ，∴ sin cosB A ， 即 sin sin( ) 2 B A ， 又 B 为钝角，因此 ( , ) 2 2 A ， 故 2 B A ，即 2 B A ； (Ⅱ)由（ 1）知， ( )C A B (2 ) 2 0 2 2 A A ，∴ (0, ) 4 A ， 于是 sin sin sin sin( 2 ) 2 A C A A 2 21 9sin cos2 2sin sin 1 2(sin ) 4 8 A A A A A ， ∵ 0 4 A ，∴ 20 sin 2 A ，因此 22 1 9 92(sin ) 2 4 8 8 A ，由此可知 sin sinA C 的取值范围是 2 9( , ] 2 8 ． 考点：正弦定理、三角变换，二次函数的有关知识和公式的应用 . 25． （1）见解析； （2） 2? 2.0 60.0y x ；（ 3）需要用 4．5 千克的清水清洗一千克 蔬菜 . 【解析】 【分析】 （I）根据散点图判断 2?y dx c 适宜作为蔬菜农药残量 ?y 与用水量 x 的回归方程类型； （II ）令 2x ，先建立 y 关于 w 的线性回归方程，平均数公式可求出 与 y 的值从而可 得样本中心点的坐标，从而求可得公式 8 1 8 2 1 751= 2.0 374 ? i ii ii w w y y d w w ， =38?? 2 11=60c y dw ，可得 y 关于 w 的回归方程，再代换成 y 关于 x 的回归方程可 得结果；（ III ）解关于 x 的不等式，求出 x 范围即可 . 【详解】 （I ）根据散点图判断 2?y dx c 适宜作为蔬菜农药残量 ?y 与用水量 x 的回归方程类型； （Ⅱ）令 2w x ，先建立 y 关于 w的线性回归方程， 由于 8 1 8 2 1 751= 2.0 374 ? i ii ii w w y y d w w ，∴ =38?? 2 11=60c y dw ． ∴y 关于 w的线性回归方程为 2.0 60.? 0y w ， ∴y 关于 x 的回归方程为 22.0 6 .0? 0y x ． ( Ⅲ) 当 ? 20y 时， 22.0 60.0 20x ， 2 5 4.5x ∴为了放心食用该蔬菜，估计需要用 4．5 千克的清水清洗一千克蔬菜． 【点睛】 本题考查了非线性拟合及非线性回归方程的求解与应用，是源于课本的试题类型，解答非 线性拟合问题，先作出散点图，再根据散点图选择合适的函数类型，设出回归方程，利用 换元法将非线性回归方程化为线性回归方程，求出样本数据换元后的值，然后根据线性回 归方程的计算方法计算变换后的线性回归方程系数，即可求出非线性回归方程，再利用回 归方程进行预报预测，注意计算要细心，避免计算错误 . 26． （1） 1 4 ；（ 2）见解析；（ 3）见解析 【解析】 【分析】 (1)列出基本事件的所有情况，然后再列出满足条件的所有情况，利用古典概率公式即可得 到答案 . (2)计算平均值和方差，从而比较甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科； （3）先计算 x 和 y ，然后通过公式计算出线性回归方程，然后代入平均值 50 即可得到答 案 . 【详解】 (1) 记物理、历史分别为 1 2,A A ，思想政治、地理、化学、生物分别为 1 2 3 4, , ,B B B B ， 由题意可知考生选择的情形有 1 1 2, ,A B B ， 1 1 3, ,A B B ， 1 1 4, ,A B B ， 1 2 3, ,A B B ， 1 2 4, ,A B B ， 1 3 4, ,A B B ， 2 1 2, ,A B B ， 2 1 3, ,A B B ， 2 1 4, ,A B B ， 2 2 3, ,A B B ， 2 2 4, ,A B B ， 2 3 4, ,A B B ，共 12 种 他选到物理、地理两门功课的满情形有 1 1 2 1 2 3 1 2 4, , , , , ,A B B A B B A B B ，共 3 种 甲同学选到物理、地理两门功课的概率为 3 1 12 4 P (2) 物理成绩的平均分为 76 82 82 85 87 90 93 85 7 x物理 历史成绩的平均分为 69 76 80 82 94 96 98 85 7 x历史 由茎叶图可知物理成绩的方差 2s 物理 历史成绩的方差 2s 物理 故从平均分来看，选择物理历史学科均可以；从方差的稳定性来看，应选择物理学科；从 最高分的情况来看，应选择历史学科 ( 答对一点即可 ) (3) 57+61+65+72+74+77+84 70 7 x ， 85y , 7 1 7 22 2 1 7 41964 7 70 85 314 0.58 34840 7 70 540 ? 7 i ii ii x y x y b x x 85 0.58 70 44.? 0? 4a y b x y 关于 x 的回归方程为 0.58 +44.40y x 当 50x 时， 0.58 50+44.40 73y , 当班级平均分为 50 分时，其物理考试成绩为 73 分 【点睛】 本题主要考查古典概型，统计数的相关含义，线性回归方程的计算，意在考查学生的阅读 理解能力，计算能力和分析能力，难度不大 .