2019-2020学年河北省宣化市第一中学高一上学期期末考试数学试卷（解析版） 11页

‎2019-2020学年河北省宣化市第一中学高一上学期期末考试数学试卷（解析版）‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 设集合，则集合M与集合P的关系是 A. B. C. D. ‎ 2. 函数的定义域是 A. B. C. D. ‎ 3. 已知，且，则角的终边位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知函数，则的值是 A. B. C. D. ‎ 5. 设，，，则 A. B. C. D. ‎ 6. 已知函数，则是 A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为偶函数 7. 在下列图象中，二次函数及指数函数的图象只可能是 A. ‎ ‎ B. C. D. ‎ 8. 若将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍纵坐标不变，再将所得图象沿x 轴向右平移个单位长度，则所得图象的一个对称中心是 A. B. C. D. ‎ 1. 函数在区间上的最大值是 A. 1 B. C. D. ‎ 2. 已知是上的减函数，那么a的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 3. 已知函数是定义在R上的奇函数．且当时，，则的值为 A. B. C. D. 2‎ 4. 设函数，，则函数的零点个数是 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 5. 已知扇形的周长为8cm，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为______．‎ 6. 已知函数，是偶函数，则______．‎ 7. 某品牌笔记本电脑的成本不断降低，若每隔4年价格就降低，则现在价格为8100元的笔记本电脑，12年后的价格将降为______元．‎ 8. 已知，若，则实数x的取值范围为______．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ 9. 求函数在区间上的最大值和最小值． ‎ 10. 已知集合． 若集合A是空集，求a的取值范围； 若集合A中只有一个元素，求a的值，并写出此时的集合A． ‎ 1. 已知，Ⅰ求tanx的值；Ⅱ求的值． ‎ 2. 已知函数的一段图象如图所示 求此函数的解析式； 求此函数在上的递增区间．‎ 如图所示，摩天轮的半径为40m，O点距地面的高度为50m，摩天轮按逆时针方向作匀速转动，且每2min转 一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点．‎ ‎ Ⅰ试确定点P距离地面的高度单位：关于旋转时间单位：的函数关系式；Ⅱ在摩天轮转动一圈内，有多长时间P点距离地面超过70m？ ‎ 3. 已知函数是对数函数．‎ 若函数，讨论的单调性；‎ 若，不等式的解集非空，求实数m的取值范围．‎ 答案和解析 ‎1.【答案】D ‎ ‎【解析】解：因为， 即， ， 所以， 故选：D． 由函数的定义域及值域得：，，即，得解 本题考查了集合的表示及函数的定义域及值域，属简单题 2.【答案】A ‎ ‎【解析】解：由，解得． 函数的定义域是 故选：A． 由分母中根式内部的代数式大于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解． 本题考查函数的定义域及其求法，是基础题． 3.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查三角函数值的符号规律，属于基础题，合理地将条件化简，从而将问题转化为已知三角函数值的符号问题，由，则角的终边位于三四象限，由，可得角的终边位于二三象限，两者结合即可解决问题． 【解答】‎ 解：，且， ，则角的终边位于三四象限， ， 角的终边位于二三象限， 角的终边位于第三象限． 故选C． ‎ ‎ 4.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查函数值的计算，结合分段函数的表达式利用代入法是解决本题的关键．比较基础． 根据分段函数的表达式，利用代入法进行求解即可． 【解答】 解：， ‎ ‎， 故， 故选：B． 5.【答案】B ‎ ‎【解析】解：，，， 则， 故选：B． 分别讨论a，b，c的取值范围，即可比较大小． 本题主要考查函数值的大小比较，根据指数和对数的性质即可得到结论． 6.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】 化简解析式即可求出其周期和奇偶性． 本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的奇偶性，属于基础题． 【解答】 解：是最小正周期为的偶函数． 故选：B． 7.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了同一坐标系中指数函数图象与二次函数图象的关系，根据指数函数图象确定出a、b的正负情况是求解的关键． 根据二次函数的对称轴首先排除B、D选项，再根据的值的正负，结合二次函数和指数函数的性质逐个检验即可得出答案． 【解答】 解：根据指数函数可知a，b同号且不相等 则二次函数的对称轴可排除B与D 选项C，，，，则指数函数单调递增，故C不正确 故选：A． 8.【答案】D ‎ ‎【解析】解：将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍纵坐标不变， 得到：的图象，再将所得图象沿x轴向右平移个单位长度， 得到：‎ ‎， 当时， 所以：图象的一个对称中心是 故选：D． 直接利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用和函数的对称性求出结果． 本题考查的知识要点：函数图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 9.【答案】C ‎ ‎【解析】解：由， ，． 故选：C． 先将函数用二倍角公式进行降幂运算，得到，然后再求其在区间上的最大值． 本题主要考查二倍角公式的应用和三角函数的最值问题．二倍角公式一般都是反向考查，一定要会灵活运用． 10.【答案】A ‎ ‎【解析】解：因为为上的减函数， 所以有， 解得， 故选：A． 由为上的减函数，知递减，递减，且，从而得，解出即可 本题考查函数单调性的性质，属中档题 11.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键． 根据函数奇偶性的性质，进行转化即可得到结论． 【解答】‎ 解：， ， 是定义在R上的奇函数，且当时，， ‎ ‎， 所以， 故选B．‎ ‎ 12.【答案】B ‎ ‎【解析】解：可由题意在同一个坐标系中画出和的图象 其中红色的为的图象，由图象可知： 函数和的图象由三个公共点，即的零点个数为3， 故选：B． 由题意可作出函数和的图象，图象公共点的个数即为函数的零点个数． 本题为函数零点个数的求解，转化为函数图象的交点个数来求是解决问题的关键，属中档题． 13.【答案】4 ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查了扇形的面积公式的应用，考查计算能力，属于基础题． 设出扇形的半径，求出扇形的弧长，利用周长公式，求出半径，然后求出扇形的面积． 【解答】 解：设扇形的半径为R，弧长为l，面积为S，圆心角为， 由于弧度，可得：， 由于扇形的周长为， 所以：， 所以解得：，扇形的弧长， 扇形的面积为： 故答案为4． 14.【答案】4 ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查偶函数的定义和性质，注意奇偶函数的定义域关于原点对称的特点，属于基础题． 利用偶函数的定义及图象关于y轴对称的特点，结合二次函数的图象的对称轴，建立关于a，b的方程，即可求出的值． 【解答】 解：函数，是偶函数， ，或1， ，． 偶函数的图象关于y轴对称， ，． ‎ ‎． 故答案为4． 15.【答案】2400 ‎ ‎【解析】解：12年后的价格可降为元． 故答案为：2400． 每4年后的价格成公比为、首项为8100的等比数列，由通项公式可得． 本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 16.【答案】 ‎ ‎【解析】解：由，得． 由，得，即． 实数x的取值范围为 故答案为： 由已知可得，再由有理指数幂的运算性质转化为对数不等式求解． 本题考查对数不等式的解法，考查对数的运算性质，是基础题． 17.【答案】解：令，由，可得， 则函数， 则当即时，函数y取得最小值4； 当即时，函数y取得最大值53， 综上可得函数的最小值为4，最大值为53． ‎ ‎【解析】本题考查指数函数的最值和可化为二次函数的最值求法，考查运算能力，属于中档题． 可令，由，可得，则函数，可得最值． 18.【答案】解：若A是空集， 则方程无解 此时 即 若A中只有一个元素 则方程有且只有一个实根 当时方程为一元一次方程，满足条件 当，此时，解得： ‎ 或 若，则有； 若，则有 ‎ ‎【解析】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，根据题目要求确定集合中方程根的情况，是解答本题的关键． 为空集，表示方程无解，根据一元二次方程根的个数与的关系，我们易得到一个关于a的不等式，解不等式即可得到答案． 若A中只有一个元素，表示方程为一次方程，或有两个等根的二次方程，分别构造关于a的方程，即可求出满足条件的a值． 19.【答案】解：Ⅰ由，‎ ‎； Ⅱ原式 ， 由Ⅰ知， 所以上式．‎ ‎ ‎ ‎【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．Ⅰ由可直接求出，再由二倍角公式可得tanx的值．‎ Ⅱ先对所求式子进行化简，再同时除以cosx得到关于tanx的关系式得到答案． ‎ ‎ 20.【答案】解：由函数的图象可知，， 周期， ， ， ‎ ‎， 函数的图象经过， ， 即， 又， ； 函数的解析式为： 由已知得， 得， 即函数的单调递增区间为，． 当时，为， 当时，为， ， 函数在上的递增区间为和． ‎ ‎【解析】本题主要考查三角函数解析式的求法，根据三角函数的图象是解决本题的关键，要求熟练掌握三角函数的图象和性质，属于基础题． 根据三角函数的图象求出A，，，即可确定函数的解析式； 根据函数的表达式，即可求函数的单调递增区间． 21.【答案】解：Ⅰ建立平面直角坐标系，如图所示； 设是以x轴正半轴为始边，表示点P的起始位置为终边的角， 由题意知OP在内转过的角为，即； 所以以x轴正半轴为始边，OP为终边的角为， 即点P的纵坐标为， 由题意知， 所以点P距离地面的高度h关于旋转时间t的函数关系式为 ‎ ‎， 化简得；Ⅱ当时， 解得； 又， 所以符合题意的时间段为或， 即在摩天轮转动一圈内，有内P点距离地面超过70m． 【解析】本题考查了三角函数模型的应用问题，是中档题．Ⅰ建立平面直角坐标系，设是以x轴正半轴为始边，OP为终边的角，求出OP在t时间内转过的角度，表示出点P的纵坐标，再求点P距离地面的高度h关于t的函数关系式；Ⅱ计算时t的取值范围，再求对应的时间段． 22.【答案】解：由题中可知：，解得：， 所以函数的解析式： ， ， ， 即的定义域为， 由于 ， 令，则：由对称轴可知， 在单调递增，在单调递减； 又因为在单调递增， 故单调递增区间，单调递减区间为． 不等式的解集非空， 所以， 由知，当时，函数单调递增区间，单调递减区间为， ， 所以， 所以，， 所以实数m的取值范围． 【解析】先求出a的值，根据复合函数的单调性即可求出的单调区间； ，不等式的解集非空，转化为求出的最小值即可． 本题考查了对数函数的图象和性质和以及复合函数的单调性和不等式恒成立的问题，属于中档题．‎