2018届二轮复习数列求和及其应用学案（全国通用） 38页

专题10 数列求和及其应用 高考对本节内容的考查仍将以常用方法求和为主，尤其是错位相减法及裂项求和，题型延续解答题的形式．预测2018高考对数列求和仍是考查的重点．数列的应用以及数列与函数等的综合的命题趋势较强，复习时应予以关注．‎ ‎1．数列求和的方法技巧 ‎(1)公式法：直接应用等差、等比数列的求和公式求和．‎ ‎(2)错位相减法 这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列．‎ ‎(3)倒序相加法 这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．‎ ‎(4)裂项相消法 利用通项变形，将通项分裂成两项或几项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．‎ ‎(5)分组转化求和法 有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，可先分别求和，然后再合并．‎ ‎2．数列的综合问题 ‎(1)等差数列与等比数列的综合．‎ ‎(2)数列与函数、方程、不等式、三角、解析几何等知识的综合．‎ ‎(3)增长率、分期付款、利润成本效益的增减等实际应用问题．‎ 数列的实际应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决. ‎ ‎【误区警示】‎ ‎1．应用错位相减法求和时，注意项的对应．‎ ‎2．正确区分等差与等比数列模型，正确区分实际问题中的量是通项还是前n项和．‎ ‎ ‎ 考点一．数列求和 例1、25.【2017江苏，19】 对于给定的正整数,若数列满足 ‎ 对任意正整数总成立，则称数列是“数列”.‎ ‎（1）证明：等差数列是“数列”;‎ ‎（2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎（2）数列既是“数列”，又是“数列”，因此，‎ 当时， ，①‎ 当时， .②‎ 由①知， ，③‎ ‎ ，④‎ 将③④代入②，得，其中，‎ 所以是等差数列，设其公差为.‎ 在①中，取，则，所以，‎ 在①中，取，则，所以，‎ 所以数列是等差数列.‎ ‎【变式探究】(2016·浙江卷)设数列{an}的前n项和为Sn，已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*.‎ ‎(1)求通项公式an；‎ ‎(2)求数列{|an－n－2|}的前n项和．‎ ‎【举一反三】 若An和Bn分别表示数列{an}和{bn}的前n项的和，对任意正整数n，an＝2(n＋1)，3An－Bn＝4n. ‎ ‎(1)求数列{bn}的通项公式；‎ ‎(2)记cn＝，求{cn}的前n项和Sn.‎ 解：(1)由于an＝2(n＋1)，‎ ‎∴{an}为等差数列，且a1＝4.‎ ‎∴An＝＝＝n2＋3n，‎ ‎∴Bn＝3An－4n＝3(n2＋3n)－4n＝3n2＋5n，‎ 当n＝1时，b1＝B1＝8，‎ 当n≥2时，bn＝Bn－Bn－1＝3n2＋5n－[3(n－1)2＋5(n－1)]＝6n＋2.‎ 由于b1＝8适合上式，‎ ‎∴bn＝6n＋2.‎ ‎(2)由(1)知cn＝＝＝，‎ ‎∴Sn＝‎ …＋‎ ＝‎ ＝－.‎ ‎【变式探究】(2016·山东卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.‎ ‎ (1)求数列{bn}的通项公式；‎ ‎(2)令cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.‎ ‎(2)由(1)知cn＝＝3(n＋1)·2n＋1.‎ 又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，‎ 得Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]，‎ ‎2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]，‎ 两式作差，得 ‎－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]＝3×‎ ＝－3n·2n＋2，‎ ‎∴Tn＝3n·2n＋2.‎ 考点二、数列和函数、不等式的交汇 例4、(2016·四川卷)已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*.‎ ‎ (1)若‎2a2，a3，a2＋2成等差数列，求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设双曲线x2－＝1的离心率为en，且e2＝，证明：e1＋e2＋…＋en>.‎ ‎(2)证明：由(1)可知，an＝qn－1，‎ ‎∴双曲线x2－＝1的离心率 en＝＝.‎ 由e2＝＝解得q＝.‎ ‎∵1＋q2(k－1)>q2(k－1)，‎ ‎∴>qk－1(k∈N*)．‎ 于是e1＋e2＋…＋en>1＋q＋…＋qn－1＝，‎ 故e1＋e2＋…＋en>.‎ ‎【变式探究】已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋2n.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若点(bn，an)在函数y＝log2x的图象上，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎1.【2017天津，理18】已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，,，.‎ ‎（Ⅰ）求和的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前n项和.‎ ‎【答案】 （1）..（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（I）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.‎ 由已知，得，而，所以.‎ 又因为，解得.所以， .‎ 由，可得 ①.‎ 由，可得 ②，‎ 联立①②，解得， ，由此可得.‎ 所以，数列的通项公式为，数列的通项公式为.‎ ‎（II）解：设数列的前项和为，‎ 由， ，有，‎ 故，‎ ‎，‎ 上述两式相减，得 ‎ ‎ 得.‎ 所以，数列的前项和为.‎ ‎2.【2017江苏，19】 对于给定的正整数,若数列满足 ‎ 对任意正整数总成立，则称数列是“数列”.‎ ‎（1）证明：等差数列是“数列”;‎ ‎（2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎（2）数列既是“数列”，又是“数列”，因此，‎ 当时， ，①‎ 当时， .②‎ 由①知， ，③‎ ‎3.【2017山东，理19】已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3-x2=2‎ ‎（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1, 1)，P2(x2, 2)…Pn+1(xn+1, n+1)得到折线P1 P2…Pn+1，求由该折线与直线y=0，所围成的区域的面积.‎ ‎【答案】(I)（II）‎ ‎（II）过……向轴作垂线，垂足分别为……,‎ 由(I)得 记梯形的面积为.‎ 由题意，‎ 所以 ‎……+‎ ‎=……+ ①‎ 又……+ ②‎ ‎①-②得 ‎= ‎ 所以 ‎1.【2016高考天津理数】已知是各项均为正数的等差数列，公差为，对任意的是和的等差中项.‎ ‎(Ⅰ)设，求证：是等差数列；‎ ‎(Ⅱ)设 ，求证：‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析 ‎2.【2016高考新课标3理数】已知数列的前n项和，其中．‎ ‎（I）证明是等比数列，并求其通项公式；‎ ‎（II）若 ，求．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎3.【2016高考浙江理数】设数列满足，．‎ ‎（I）证明：，；‎ ‎（II）若，，证明：，．‎ ‎【答案】（I）证明见解析；（II）证明见解析．‎ ‎【解析】（I）由得，故 ‎，，‎ 所以 ‎，‎ 因此 ‎．‎ ‎（II）任取，由（I）知，对于任意，‎ ‎，‎ 故 ‎．‎ ‎4.【2016年高考北京理数】（本小题13分）‎ ‎ 设数列A： ， ,… ().如果对小于()的每个正整数都有 ‎ ＜ ，则称是数列A的一个“G时刻”.记“是数列A的所有“G时刻”组成的集合.‎ ‎（1）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出的所有元素；‎ ‎（2）证明：若数列A中存在使得>，则 ；‎ ‎（3）证明：若数列A满足- ≤1（n=2,3, …,N）,则的元素个数不小于 -.‎ ‎【答案】（1）的元素为和；（2）详见解析；（3）详见解析.‎ ‎（Ⅲ）当时，结论成立.‎ 以下设.‎ 由（Ⅱ）知.‎ 设.记.‎ 则.‎ 对，记.‎ 如果，取，则对任何.‎ 从而且.‎ 又因为是中的最大元素，所以.‎ 从而对任意，，特别地，.‎ 对.‎ 因此.‎ 所以.‎ 因此的元素个数p不小于.‎ ‎5.【2016年高考四川理数】（本小题满分12分）‎ 已知数列{ }的首项为1， 为数列的前n项和， ，其中q>0， .‎ ‎（Ⅰ）若 成等差数列，求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设双曲线 的离心率为 ，且 ，证明：.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，.‎ 所以双曲线的离心率 ．‎ 由解得.‎ 因为，所以.‎ 于是，‎ 故.‎ ‎6.【2016高考上海理数】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.‎ 若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质.‎ ‎（1）若具有性质，且，，求；‎ ‎（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，判断是否具有性质，并说明理由；‎ ‎（3）设是无穷数列，已知.求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”.‎ ‎【答案】（1）．（2）不具有性质．（3）见解析．‎ ‎（3）[证]充分性：‎ 当为常数列时，．‎ 对任意给定的，只要，则由，必有．‎ 充分性得证．‎ 必要性：‎ 用反证法证明．假设不是常数列，则存在，‎ 使得，而．‎ 下面证明存在满足的，使得，但．‎ 设，取，使得，则 ‎，，故存在使得．‎ 取，因为（），所以，‎ 依此类推，得．‎ 但，即．‎ 所以不具有性质，矛盾．‎ 必要性得证．‎ 综上，“对任意，都具有性质”的充要条件为“是常数列”．‎ ‎7.【2016高考新课标2理数】为等差数列的前项和，且记，其中表示不超过的最大整数，如．‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前1 000项和．‎ ‎【答案】（Ⅰ），， ；（Ⅱ）1893.‎ ‎8.【2016高考山东理数】（本小题满分12分）‎ 已知数列 的前n项和Sn=3n2+8n，是等差数列，且 ‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令 求数列的前n项和Tn.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ 又，‎ 得，‎ ‎，‎ 两式作差，得 所以 ‎9.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）‎ 记.对数列和的子集T，若,定义;若，定义.例如：时，.现设是公比为3的等比数列，且当时，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）对任意正整数，若，求证：；‎ ‎（3）设,求证：.‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析（3）详见解析 ‎（3）下面分三种情况证明.‎ ‎①若是的子集，则.‎ ‎②若是的子集，则.‎ ‎③若不是的子集，且不是的子集.‎ 令，则，，.‎ 于是，，进而由，得.‎ 设是中的最大数，为中的最大数，则.‎ 由（2）知，，于是，所以，即.‎ 又，故，‎ 从而，‎ 故，所以，‎ 即.‎ 综合①②③得，.‎ ‎10.【2016高考山东理数】（本小题满分12分）‎ 已知数列 的前n项和Sn=3n2+8n，是等差数列，且 ‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令 求数列的前n项和Tn.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ 又，‎ 得，‎ ‎，‎ 两式作差，得 所以 ‎【2015江苏高考，11】数列满足，且（），则数列 的前10项和为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【2015高考天津，理18】（本小题满分13分）已知数列满足，且 成等差数列.‎ ‎(I)求的值和的通项公式；‎ ‎(II)设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(I) ; (II) .‎ ‎【解析】（Ⅰ） 由已知，有，即，‎ 所以，又因为，故，由，得，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 所以的通项公式为 ‎ ‎【2015高考四川，理16】设数列的前项和，且成等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记数列的前n项和，求得成立的n的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）10.‎ ‎【解析】（1）由已知，有，‎ 即.‎ 从而.‎ 又因为成等差数列，即.‎ 所以，解得.‎ 所以，数列是首项为2，公比为2的等比数列.‎ 故.‎ ‎（2）由（1）得.‎ 所以.‎ 由，得，即.‎ 因为，‎ 所以.‎ 于是，使成立的n的最小值为10.‎ ‎【2015高考新课标1，理17】为数列{}的前项和.已知＞0，=.‎ ‎（Ⅰ）求{}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设 ,求数列{}的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【2015江苏高考，20】（本小题满分16分）‎ 设是各项为正数且公差为d的等差数列 ‎（1）证明：依次成等比数列；‎ ‎（2）是否存在，使得依次成等比数列，并说明理由；‎ ‎（3）是否存在及正整数，使得依次成等比数列，并说明理由.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）不存在（3）不存在 ‎（3）假设存在，及正整数，，使得，，，依次构成等比数列，‎ 则，且．‎ 分别在两个等式的两边同除以及，并令（，），‎ 则，且．‎ 将上述两个等式两边取对数，得，‎ 且．‎ 化简得，‎ 且．‎ 再将这两式相除，化简得 ‎（）．‎ 令，‎ 则．‎ 令，‎ 则．‎ ‎【2015高考浙江，理20】已知数列满足=且=-（）‎ ‎（1）证明：1（）；‎ ‎（2）设数列的前项和为，证明（）.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.‎ ‎【解析】（1）由题意得，，即，，由 得，由得，‎ ‎，即；（2）由题意得，‎ ‎∴①，由和得，，‎ ‎∴，因此②，由①②得 ‎.‎ ‎【2015高考山东，理18】设数列的前n项和为.已知.‎ ‎ （I）求的通项公式；‎ ‎ （II）若数列满足，求的前n项和.‎ ‎【答案】（I）; （II）.‎ ‎（Ⅱ）因为 ，所以 ‎ 当 时， ‎ 所以 ‎ 当 时，‎ ‎ ‎ 所以 两式相减，得 ‎ ‎ ‎ ‎ 所以 经检验， 时也适合，‎ 综上可得： ‎ ‎【2015高考安徽，理18】设，是曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记，证明.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎1. 【2014高考湖南理第20题】已知数列满足,.‎ ‎(1)若为递增数列,且成等差数列,求的值;‎ ‎(2)若,且是递增数列,是递减数列,求数列的通项公式. ‎ ‎【答案】(1) (2) 或 ‎(2)由题可得,因为是递增数列且是递减数列,所以且,则有,因为 ‎(2)由题可得,因为是递增数列且是递减数列,所以且,两不等式相加可得,‎ 又因为,所以,即,‎ 同理可得且,所以,‎ 则当时,,这个等式相加可得 ‎.‎ 当时, ,这个等式相加可得 ‎,当时,符合,故 综上.‎ ‎【考点定位】等差数列、等比数列、数列单调性 ‎2. 【2014高考江西理第17题】已知首项都是1的两个数列（），满足.‎ ‎（1）令，求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前n项和 ‎ 【答案】（1）（2）‎ ‎【考点定位】等差数列、错位相减求和 ‎3. 【2014高考全国1第17题】已知数列的前项和为，，，，其中为常数，‎ ‎（I）证明：；‎ ‎（II）是否存在，使得为等差数列？并说明理由.‎ ‎【答案】（I）详见解析；（II）存在，.‎ ‎【考点定位】递推公式、数列的通项公式、等差数列．‎ ‎4. 【2014高考全国2第17题】已知数列满足=1，.‎ ‎（Ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）证明：.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题第（1）问，证明等比数列，可利用等比数列的定义来证明，之后利用等比数列，求出其通项公式；对第（2）问，可先由第（1）问求出，然后转化为等比数列求和，放缩法证明不等式.‎ 试题解析：（1）证明：由得，所以，所以是等比数列，首项为，公比为3，所以，解得.‎ ‎（2）由（1）知：，所以，‎ 因为当时，，所以，于是 ‎=，‎ 所以.‎ ‎【考点定位】本小题考查等比数列的定义、数列通项公式的求解、数列中不等式的证明 ‎5. 【2014高考山东卷第19题】已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列. （Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（I）.‎ ‎（II），（或）‎ ‎ ‎ ‎（II）‎ 当n为偶数时，‎ 当n为奇数时，‎ 所以，（或）‎ ‎【考点定位】等差数列的前项和、等比数列及其性质 。‎ ‎6. 【2014高考上海理科第23题】已知数列满足.‎ （1） 若，求的取值范围；‎ （2） 若是公比为等比数列，，求的取值范围；‎ ‎（3）若成等差数列，且，求正整数的最大值，以及取最大值时相应数列的公差. ‎ ‎ 【答案】（1）；（2）；（3）的最大值为1999，此时公差为.‎ ‎②当时，，由单调性可得，，解得，‎ ‎【考点定位】解不等式（组）、数列的单调性、分类讨论、等差（比）数列的前项和.‎ ‎7. 【2014高考上海理科第8题】设无穷等比数列{}的公比为q，若，则q= .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，即，∵，∴.‎ ‎【考点定位】无穷递缩等比数列的和.‎ ‎8. 【2014高考四川第16题】设等差数列的公差为，点在函数的图象上（）.‎ ‎（1）若，点在函数的图象上，求数列的前项和；‎ ‎（2）若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求数列的前 项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【考点定位】等差数列与等比数列.‎ ‎9．【2014高考天津第19题】已知和均为给定的大于1的自然数．设集合，集合．‎ ‎（Ⅰ）当，时，用列举法表示集合；‎ ‎（Ⅱ）设，，，其中证明：若，则．‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析 ‎【解析】（1）当时，可得，．‎ ‎（2）由 及，可得 ‎．‎ ‎【考点定位】等比数列的前项和公式 ‎10. 【2014高考浙江理第19题】已知数列和满足.若为等比数列，且 （1） 求与；‎ （2） 设。记数列的前项和为.‎ ‎（i）求；‎ ‎（ii）求正整数，使得对任意，均有．‎ ‎【答案】（1），；（2）（i）；（ii）．‎ ‎（1）由题意，，，知，又有，得公比（舍去），所以数列的通项公式为，所以，故数列的通项公式为，；‎ ‎（2）（i）由（1）知，，所以；‎ ‎（ii）因为；当时，，而，得，所以当时，，综上对任意恒有，故．‎ ‎【考点定位】等差数列与等比的列得概念、通项公式、求和公式 ‎11. 【2014高考重庆理科第22题】设 ‎（Ⅰ）若，求及数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，问：是否存在实数使得对所有成立？证明你的结论.‎ ‎【答案】（1）；（2）存在，‎ 解法二：‎ 可写为.因此猜想.‎ 下用数学归纳法证明上式：‎ 当时结论显然成立.‎ 假设时结论成立，即.则 这就是说，当时结论成立.‎ 所以 ‎（2）解法一：设，则.‎ 令，即，解得.‎ 下用数学归纳法证明加强命：‎ 解法二：设，则 先证： ①‎ 当时，结论明显成立.‎ 假设时结论成立，即 易知在上为减函数，从而 即这就是说，当时结论成立，故①成立.‎ 再证： ②‎ 当时，，有，即当时结论②成立 假设时，结论成立，即 由①及在上为减函数，得 这就是说，当时②成立，所以②对一切成立.‎ ‎【考点定位】数列通项公式的求法、等差数列 ‎