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- 2021-06-16 发布
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2019~2020学年高三11月质量检测巩固卷
数学(文科)
一、选择题
1.若集合,则( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
化简集合,即可得答案.
【详解】由集合,
又因为,所以或.
故选B.
【点睛】本题考查补集,注意全集是集合,属于基础题.
2.已知向量,若,则( )
A. B. C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行向量的坐标关系,即可求出的值.
【详解】由,得,解得.
故选B.
【点睛】本题考查向量的坐标运算,属于基础题.
3.若,则下列不等式不成立的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
用作差法,比较各选项差的正负,即可得答案.
【详解】A中,,∴,A对;
B中,,∴,B对;
C中,,∴,C错;
D中,,∴,D对.故选C.
【点睛】本题考查比较两数的大小关系,属于基础题.
4.已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析:令切点坐标为,且,,,∴.
考点:利用导数求切线斜率.
5.下列说法正确的是( )
A. 多面体至少有3个面
B. 有2个面平行,其余各面都是梯形的几何体是棱台
C. 各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D. 六棱柱有6条侧棱,6个侧面,侧面均为平行四边形
【答案】D
【解析】
【分析】
根据多面体的结构,多面体至少有4个面,故选项A错误;对于满足选项B条件的多面体延长各侧棱不一定相交一点,故错误;选项C底面可能为菱形,故错误;选项D,分析六棱柱结构特征,可判断正确.
【详解】一个多面体至少有4个面,如三棱锥有4革面,
不存在有3个面的多面体,所以选项A错误;
选项B错误,反例如图1;
选项C错误,反例如图2,上、下底面的全等的菱形,
各侧面是全等的正方形,它不是正方体;
根据棱柱的定义,知选项D正确.
故选D
【点睛】本题考查多面体的定义,结构特征,属于基础题.
6.将函数的图象沿x轴向右平移个单位长度,所得图象关于坐标原点对称,则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
化简,求出沿x轴向右平移个单位长度的解析式,再根据所得图像关于坐标原点对称,得到的所有值,即可求得结果.
【详解】,
将其图象向右平移个单位长度,
所得图象对应的解析式为,
由于为奇函数,
则,即,
由于,所以当时,取得最小值.
故选B.
【点睛】本题考查三角函数化简、平移、对称性,属于基础题.
7.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
由三视图可得该几何体是由圆柱的一半(沿轴截面截得,底面半径为1,母线长为3)和一个半径为1的半球组合而成(部分底面重合),则该几何体的表面积为.
【名师点睛】先利用三视图得到该组合体的结构特征,再分别利用球的表面积公式、圆柱的侧面积公式求出各部分面积,最后求和即可.处理几何体的三视图和表面积、体积问题时,往往先由三视图判定几何体的结构特征,再利用相关公式进行求解.
8.若不等式与关于x的不等式的解集相同,则的解集是( )
A. 或 B.
C. 或 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先求不等式的解,得到方程的两根,求出值,代入,即可得答案.
【详解】由得,
则或.由题意可得
则对应方程
的两根分别为,
则的解集是
故选;D.
【点睛】本题考查一元二次不等式解法,以及一元二次不等式与一元二次方程的关系,考查计算能力,属于基础题.
9.( )
A. B. 1 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
化切为弦,利用辅助角公式,化为特殊角,非特殊角相约,
【详解】原式
.
故选C.
【点睛】本题考查非特殊角三角函数值,考查三角函数化简,考查计算能力,属于中档题.
10.函数(且)的图象可能为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
因为,故函数是奇函数,所以排除A,B;取,则,故选D.
考点:1.函数的基本性质;2.函数的图象.
11.在中,角的对边分别为a,b,c,若,则( )
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
由求出再求出,由正弦定理求出.
【详解】∵A,C是三角形内角,∴.
又∵
∴,
∴.
又∵,∴.
故选A
【点睛】本题考查同角间正余弦值互化、两角和正弦公式、正弦定理,属于基础题.
12.如图,在四棱锥中,底面ABCD为正方形,侧面底面ABCD,为等腰直角三角形,若点P在线段不含端点上运动,则最小值为
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由为等腰直角三角形,且,可得,设,把用含有x的代数式表示,变形后再由其几何意义求解.
【详解】如图,为等腰直角三角形,且,
,设,
则,,
.
.
其几何意义为动点到两定点与距离和,
如图,
N关于x轴的对称点为,
则的最小值为.
故选B.
【点睛】本题考查棱锥的结构特征,考查空间中点线面间的距离计算,涉及余弦定理及对称问题,考查数学转化思想方法,是中档题.
二、填空题
13.若命题“”为假命题,则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据命题的关系,若命题为假,则命题的否定为真,转为为二次不等式恒成立,即可求出实数的取值范围.
详解】由题意,可得恒成立,
即解得.
故答案为:
【点睛】本题考查命题间的关系、不等式恒成立问题,考查等价转化思想,属于基础题.
14.已知正项数列中,若,则数列的通项______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据的递推关系,用累乘法,可求出的通项.
【详解】因为,所以,
所以时,
,
满足上式,.
故答案为:
【点睛】本题考查由递推公式求通项,常考的几种求通项的方法要归纳总结,属于基础题.
15.设实数x,y满足约束条件则目标函数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】
作出可行域,即可求出目标函数的取值范围.
【详解】画出可行域,由图可知,当直线
过点时,取最小值,则;
当直线过点时,
取最大值,则,
故目标函数的取值范围是.
故答案为:
【点睛】本题考查线性规划,线性目标函数取值范围,考查数形结合思想,属于基础题.
16.已知三棱锥的各顶点均在半径为2的球面上,且,则三棱锥体积的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据条件,确定三棱锥外接球的球心,求出球心到底面距离,结合图形,可求出体积的最大值.
【详解】设为球心,则,
可得在底面ABC的射影为的外心.
由,
可得是以斜边的直角三角形,
O在底面ABC的射影为斜边AC的中点M,
则.
当P,O,M三点共线时,三棱锥的体积最大,
此时体积.
故答案为:
【点睛】本题考查多面体外接球问题以及体积的最大值,确定球心是解题的关键,属于中档题.
三、解答题
17.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,.
(1)求角B的大小;
(2)若B是锐角,,求的面积.
【答案】(1)或;(2)
【解析】
【分析】
(1)由,求出,即可求出角B;
(2)由角B,,结合余弦定理求出值,即可求出的面积.
【详解】(1)∵,
∴,
解得或.
又.
∴或.
(2)∵B是锐角,∴.
由余弦定理,
得,
又,∴.
∴的面积.
【点睛】本题考查余弦定理,面积公式,考查计算能力,属于基础题.
18.如图,在三棱柱中,平面ABC,D为棱AC上一点.
(1)若为AC的中点,求证:平面平面;
(2)若平面,求的值.
【答案】(1)见解析;(2)1
【解析】
分析】
(1)为AC的中点,可证,再由已知得,可证平面,从而有平面平面;
(2)由线面平行的性质定理,可把平面转化为线线平行,就可证出D为棱AC中点.
【详解】(1)在三棱柱中,平面ABC.
∵平面ABC,∴.
∵,D为AC中点,∴.
又平面,
∴平面.又平面,
∴平面⊥平面.
解:(2)连接交于,连接.
在三棱柱中,四边形为平行四边形,
∴E为中点.①
∵平面平面,
平面平面,
∴.②
由①②可得D为AC中点,∴.
【点睛】本题考查空间几何体的平行、垂直证明,熟练掌握有关定理是解题的关键,属于中档题.
19.2019年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备,通过市场分析,全年需投入固定成本3000万元,每生产x(百辆),需另投入成本万元,且,由市场调研知,每辆车售价6万元,且全年内生产的车辆当年能全部销售完.
(1)求出2019年的利润(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式;(利润=销售额成本)
(2)2019年产量为多少(百辆)时,企业所获利润最大?并求出最大利润.
【答案】(1);(2)2019年年产量为100百辆时,企业所获利润最大,最大利润为5800万元.
【解析】
【分析】
(1)先阅读题意,再分当时,当时,求函数解析式即可;
(2)当时,利用配方法求二次函数的最大值,当时,利用均值不等式求函数的最大值,一定要注意取等的条件,再综合求分段函数的最大值即可.
【详解】解:(1)由已知有当时,
当时,,
即,
(2)当时,,
当时,取最大值,
当时,,
当且仅当,即时取等号,
又
故2019年年产量为100百辆时,企业所获利润最大,最大利润为5800万元.
【点睛】本题考查了函数综合应用,重点考查了分段函数最值的求法,属中档题.
20.已知等比数列的公比,前项和为,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
【答案】(1) .(2)
【解析】
【分析】
(1)根据条件列出等式,求解公比后即可求解出通项公式;(2)错位相减法求和,注意对于“错位”的理解.
【详解】解:(1)由,得,则
∴,
∴数列的通项公式为.
(2)由,
∴,①
,②
①②,得
,
∴.
【点睛】本题考查等比数列通项和求和,难度较易.对于等差乘以等比的形式的数列,求和注意选用错位相减法.
21.已知函数,将函数图象上所有的点向左平行移动个单位长度,得到函数的图象.
(1)若,求函数的解析式;
(2)若在区间上的单调增函数,求的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】
【分析】
(1)先求出图象上所有的点向左平行移动个单位长度的解析式,代入化简,即可求出结果;
(2)先求出的单调递增区间,是单调递增区间的子集,即可求出的取值范围.
【详解】(1)将函数图象上所有的点向左平行移动个单位长度,
得到图象对应的函数解析式为.
当时,
函数.
(2)由(1)可得,
∴令,
解得,
可得函数的单调递增区间为.
∵函数在上的单调增函数,
∴
解得.
∵,
∴.
∴的取值范围为.
【点睛】本题考查三角函数平移求解析式,以及利用单调区间求参数,属于中档题.
22.已知函数.
(1)求函数的零点;
(2)若,关于x的不等式的解集为,求的最大值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
【分析】
(1)对进行因式分解,对讨论,即可求出的零点;
(2)求出的解集为将集合的最大值表示为的函数,用求导方法求出的最大值,即为的最大值.
【详解】(1).
令,得,
所以.
讨论:
①当,即时,函数的零点是0,;
②,即时,函数的零点是0.
(2)设.
令,则,
所以.
又因为,所以,
所以关于x的不等式的解集.
设,
则.
令,得或(舍).
分析知,当时,;
当时,,
所以函数在区间上单调递增,
在区间上单调递减.
所以.
又因为,所以.
【点睛】本题考查函数的零点,考查函数导数的应用,理解题意是解题的关键,属于综合题.