高中数学选修2-2课时练习第四章 3_2 8页

‎3.2　简单几何体的体积 ‎[学习目标]‎ ‎1．通过实例，进一步理解定积分的思想．‎ ‎2．了解定积分在求旋转体的体积方面的简单应用．‎ ‎[知识链接]‎ 如何类比平面图形的面积的求法求几何体的体积？‎ 答案　本节定积分在几何中主要是求平面图形的面积，类似求面积，也可以利用定积分求空间几何体的体积，一般情况下，其旋转轴为x轴，根据旋转体的定义，旋转体的形成有两个要素：一是被旋转的平面图形，二是旋转轴．柱、锥、球等旋转体中被旋转的平面图形都是直线或圆弧，而在利用定积分求旋转体的体积问题中则是一般的曲线．‎ ‎[预习导引]‎ 用定积分表示旋转体的体积 旋转体可以看作是由连续曲线y＝f(x)、直线x＝a、x＝b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的几何体，则该旋转体的体积为V＝π[f(x)]2dx.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 要点一　简单旋转几何体的体积 例1　求由y＝x3，y＝0，x＝2所围图形绕x轴旋转的旋转体的体积．‎ 解　Vx＝πy2dx＝πx6dx＝ ＝.‎ 规律方法　求简单旋转几何体的体积要理解“累加”思想，根据图形中曲线交点正确确定积分的上、下限．‎ 跟踪演练1　求由曲线y＝x2，x＝y2围成的图形绕y轴旋转形成的几何体的体积．‎ 解　x1＝，x2＝y2,0≤y≤1，‎ Vy＝(πx－πx)dy＝(πy－πy4)dy ‎＝＝－＝.‎ 要点二　旋转体体积的应用 例2　‎ 计算椭圆＋＝1所围成的图形绕x轴旋转而成的几何体的体积．‎ 解　这个旋转体可看作是由上半 个椭圆y＝及x轴所围成的图形绕x轴旋转所生成的几何体．因此 V＝A(x)dx ‎＝ (a2－x2)dx＝πab2.‎ 规律方法　合理确定被积函数是解题的关键；对于对称性较强的几何体，可以用曲线的一部分绕轴旋转得到．‎ 跟踪演练2　连接坐标原点O及点P(h，r)的直线、直线x＝h及x轴围成一个直角三角形．将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体．计算这个圆锥体的体积．‎ 解　直角三角形斜边的直线方程为y＝x.‎ 所以所求圆锥体的体积为 V＝π2dx ‎＝ ＝πhr2.‎ ‎1．直线y＝x＋2，x＝0，x＝1以及x轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周，所得圆台的体积为(　　)‎ A. B．6π C. D. 答案　C ‎2．由y＝x2，x＝1和y＝0所围成的平面图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　Vx＝πy2dx＝π(x2)2dx＝＝.‎ ‎3．由直线y＝x＋2和x＝a(a＞0)以及坐标轴围成的平面图形绕x轴旋转一周，所得圆台的体积为，则a的值为________．‎ 答案　2‎ ‎4．由y＝x2，y＝x所围成的图形绕y轴旋转所得到的旋转体的体积V＝________.‎ 答案　 解析　V＝π(y－y2)dy＝.‎ ‎1．简单旋转几何体可以看成一个平面图形绕平面内一条直线旋转而成．‎ ‎2．利用定积分求体积要合理确定被积函数，然后根据图像确定积分上、下限，要理解其中蕴含的定积分思想．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 一、基础达标 ‎1．由y＝x2，x＝0和y＝1所围成的平面图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积表示为(　　)‎ A．V＝π[]2dy＝ B．V＝π[12－(x2)2]dx＝ C．V＝π(x2)2dy＝ D．V＝π(12－x2)dx＝ 答案　B 解析　利用图形确定积分函数和积分上、下限．‎ ‎2．由抛物线y＝x2介于(0,0)点及(2,4)点之间的一段弧绕x轴旋转所得的旋转体的体积为(　　)‎ A.π B.π C.π D.π 答案　D 解析　Vx＝π(x2)2dx＝＝π.‎ ‎3．由xy＝4，x＝1，x＝4，y＝0围成的平面区域绕x轴旋转所得的旋转体的体积是(　　)‎ A．6π B．12π C．24π D．3π 答案　B 解析　因为xy＝4，所以y＝，‎ Vx＝πy2dx＝π2dx ‎＝16πx－2dx＝＝－16π＝12π.‎ ‎4．由y＝，y＝x围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积可表示为(　　)‎ A.π(x－x2)dy B.π(x－x2)dx C.π(y2－y4)dy D.π(y－y2)dx 答案　C 解析　图形绕y轴旋转，将y看作积分变量，由曲线x＝y，x＝y2围成的图形．‎ ‎5．连续曲线y＝f(x)，直线x＝a，x＝b及x轴所围成图形绕x轴旋转一周而成的几何体的体积V＝________.‎ 答案　π[f(x)]2dx ‎6．由y＝，x＝2，x＝3以及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积为________．‎ 答案　π 解析　π(x－1)dx＝π＝π.‎ ‎7．求曲线y＝x2与x＝1，y＝0所围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积．‎ 解　由解得：，‎ ‎∴y＝x2，∴x＝±(舍负)．‎ 如图，所求几何体的体积可以看做两部分的差．‎ V＝π12dy－π()2dy ‎＝－πydy＝π－ ‎＝.‎ 二、能力提升 ‎8．由y＝e－x，x＝0，x＝1围成的平面区域绕x轴旋转所得的旋转体的体积是(　　)‎ A.(1－e－2) B. C.(1－e) D.e－2‎ 答案　A 解析　f(x)＝e－x>0，所求的旋转体的体积是：‎ V＝π[e－x]2dx＝πe－2xdx＝－＝(1－e－2)．‎ ‎9．曲线y＝与直线x＝0，x＝t(t>0)及y＝0围成一曲边梯形，该曲边梯形绕 x轴旋转一周得一旋转体，其体积为V(t)＝________.‎ 答案　(e2t＋4t－e－2t)‎ 解析　V(t)＝πy2dx＝π2dx＝(e2t＋4t－e－2t)．‎ ‎10．抛物线y2＝4ax及直线x＝x0(x0>0)所围成图形绕x轴旋转一周而成的几何体的体积V＝________.‎ 答案　‎ 解析　.‎ ‎11．求抛物线y2＝2px(p＞0)与直线x＝p及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．‎ 解　‎ 如右图所示，‎ 因为y2＝2px(p＞0)，‎ 所以f2(x)＝2px，x∈.‎ 所以V＝πf2(x)dx ‎＝π2pxdx＝ ＝.‎ ‎12．过点P(1,0)作抛物线y＝的切线，求该切线与抛物线y＝及x轴所围平面图形绕x轴旋转而成的旋转体体积．‎ 解　如图，设切点为(x0，)，‎ 则切线方程为y＝，‎ ‎∵切点在切线上，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴x0＝3，‎ ‎∴切线方程：y＝(x－1)．‎ V＝π(x－1)2dx－π(x－2)dx＝.‎ 三、探究与创新 ‎13．设两抛物线y＝－x2＋2x，y＝x2所围成的图形为M，求：(1)M的面积；‎ ‎(2)将M绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．‎ 解　‎ 如图，M为图中阴影部分．‎ ‎(1)图形M的面积为 [(－x2＋2x)－x2]dx ‎＝(－2x2＋2x)dx ‎＝＝.‎ ‎(2)M绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为 π[(－x2＋2x)2－(x2)2]dx＝π(－4x3＋4x2)dx ‎＝π＝.‎