2021届课标版高考文科数学一轮复习学案：三角函数、解三角形第6节正弦定理与余弦定理、三角形中的几何计算 9页

第六节　正弦定理与余弦定理、三角形中的几何计算 ‎[最新考纲]　掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．‎ ‎1．正弦、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R.‎ a2＝b2＋c2－2bccos_A；‎ b2＝c2＋a2－2cacos_B；‎ c2＝a2＋b2－2abcos_C.‎ 变形 ‎(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，‎ c＝2Rsin C；‎ ‎(2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；‎ ‎(3)＝＝2R.‎ cos A＝；‎ cos B＝；‎ cos C＝.‎ ‎2.三角形常用面积公式 ‎(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；‎ ‎(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；‎ ‎(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．‎ ‎1．在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.‎ ‎2．三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；‎ b＝acos C＋ccos A；‎ c＝bcos A＋acos B.‎ ‎3．内角和公式的变形 ‎(1)sin(A＋B)＝sin C；‎ ‎(2)cos(A＋B)＝－cos C.‎ 一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比． (　　)‎ ‎(2)在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B. (　　)‎ ‎(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素． (　　)‎ ‎(4)当b2＋c2－a2＞0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2＜0时，△ABC为钝角三角形． (　　)‎ ‎[答案](1)×　(2)√　(3)×　(4)×‎ 二、教材改编 ‎1．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，B＝，a＝1，则b＝(　　)‎ A．2　　　　B．1　　　　C.　　　　D. D　[由＝得b＝＝＝×2＝.]‎ ‎2．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有(　　)‎ A．无解 B．两解 C．一解 D．解的个数不确定 B　[∵bsin A＝24sin 45°＝12，‎ ‎∴12＜18＜24，即bsin A＜a＜b.‎ ‎∴此三角形有两解．]‎ ‎3．在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为________．‎ 等腰三角形或直角三角形　[由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B，‎ 即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，‎ 即A＝B或A＋B＝，‎ 所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．]‎ ‎4．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________．‎ ‎2　[因为＝，所以sin B＝1，所以 B＝90°，‎ 所以AB＝2，所以S△ABC＝×2×2＝2.]‎ ‎⊙考点1　利用正、余弦定理解三角形 ‎　解三角形的常见题型及求解方法 ‎(1)已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及＝＝，可先求出角C及b，再求出c.‎ ‎(2)已知两边b，c及其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccos A，先求出a，再求出角B，C.‎ ‎(3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C.‎ ‎(4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理＝可求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，可求出角C，再由＝可求出c，而通过＝求角B时，可能有一解或两解或无解的情况．‎ ‎ (1)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，则＝(　　)‎ A．6　　　　　　　　 B．5‎ C．4 D．3‎ ‎(2)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C.‎ ‎①求A；‎ ‎②若a＋b＝2c，求sin C.‎ ‎(1)A　[∵asin A－bsin B＝4csin C，‎ ‎∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.‎ 由余弦定理得cos A＝＝＝＝－，∴＝6.‎ 故选A.]‎ ‎(2)[解]　①由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.‎ 由余弦定理得cos A＝＝.‎ 因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.‎ ‎②由①知B＝120°－C，由题设及正弦定理得sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，即＋cos C＋sin C＝2sin C，可得cos(C＋60°)＝－.‎ 由于0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝，‎ 故sin C＝sin(C＋60°－60°)‎ ‎＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60°‎ ‎＝.‎ ‎　解三角形问题，关键是利用正、余弦定理实施边和角的转化，三角变换的相关公式如两角和与差的正、余弦公式，二倍角公式等，作为化简变形的重要依据．‎ ‎　1.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin A＋acos B＝0，则B＝________.‎ 　[∵bsin A＋acos B＝0，∴＝.由正弦定理，得－cos B＝sin B，∴tan B＝－1.又B∈(0，π)，∴B＝.]‎ ‎2．在△ABC中，AB＝4，AC＝7，BC边上中线AD＝，则BC＝________.‎ ‎9　[设BD＝DC＝x，∠ADC＝α，∠ADB＝π－α，‎ 在△ADC中，(7)2＝x2＋－2x×cos α， ①‎ 在△ABD中，(4)2＝x2＋－2x×cos(π－α)， ②‎ ‎①＋②得x＝，‎ ‎∴BC＝9.]‎ ‎3．(2019·贵阳模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列，C＝120°.‎ ‎(1)求边长a；‎ ‎(2)求AB边上的高CD的长．‎ ‎[解](1)由题意得b＝a＋2，c＝a＋4，‎ 由余弦定理cos C＝得cos 120°＝，即a2－a－6＝0，所以a＝3或a＝－2(舍去)，所以a＝3.‎ ‎(2)法一：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7，‎ 由三角形的面积公式得 absin∠ACB＝c×CD，‎ 所以CD＝＝＝，‎ 即AB边上的高CD＝.‎ 法二：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7，‎ 由正弦定理得＝＝，‎ 即sin A＝，‎ 在Rt△ACD中，CD＝ACsin A＝5×＝，‎ 即AB边上的高CD＝.‎ ‎[教师备选例题]‎ ‎　(2018·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin A＝acos.‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．‎ ‎[解](1)在△ABC中，‎ 由正弦定理＝，‎ 可得bsin A＝asin B，‎ 又由bsin A＝acos，‎ 得asin B＝acos，‎ 即sin B＝cos，‎ 可得tan B＝.‎ 又因为B∈(0，π)，可得B＝.‎ ‎(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，有b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝.‎ 由bsin A＝acos，‎ 可得sin A＝.‎ 因为a＜c，故cos A＝.‎ 因此sin 2A＝2sin Acos A＝，‎ cos 2A＝2cos2A－1＝，‎ 所以，sin(2A－B)＝sin 2Acos B－cos 2Asin B＝×－×＝.‎ ‎⊙考点2　与三角形面积有关的问题 ‎　三角形面积公式的应用原则 ‎(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．‎ ‎(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．‎ ‎　(2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin＝bsin A.‎ ‎(1)求B；‎ ‎(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．‎ ‎[解](1)由题设及正弦定理得sin Asin＝sin Bsin A.‎ 因为sin A≠0，所以sin＝sin B.‎ 由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，‎ 故cos＝2sincos.‎ 因为cos≠0，故sin＝，所以B＝60°.‎ ‎(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a.‎ 由正弦定理得a＝＝＝＋.‎ 由于△ABC为锐角三角形，故0°＜A＜90°，0°＜C＜90°.‎ 由(1)知A＋C＝120°，‎ 所以30°＜C＜90°，故＜a＜2，从而＜S△ABC＜.‎ 因此，△ABC面积的取值范围是.‎ ‎ (1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值)，一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积，再代入公式求解．‎ ‎(2)若已知三边，可先求一个角的余弦值，再求正弦值，最后代入公式得面积．‎ ‎(3)若求面积的最值，一般表示为一个内角的三角函数，利用三角函数的性质求解，也可结合基本不等式求解．‎ ‎　1.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为________．‎ ‎6　[法一：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos ，得c＝2，所以a＝4，所以△ABC的面积S＝acsin B＝×4×2×sin ＝6.‎ 法二：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos ，得c＝2，所以a＝4，所以a2＝b2＋c2，所以A＝，所以△ABC的面积S＝×2×6＝6.]‎ ‎2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B.‎ ‎(1)证明：A＝2B；‎ ‎(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小．‎ ‎[解](1)证明：由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acos B，‎ 故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)‎ ‎＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，‎ 于是sin B＝sin(A－B)．‎ 又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，‎ 所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，‎ 因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.‎ ‎(2)由S＝，得absin C＝，‎ 故有sin Bsin C＝sin A＝sin 2B＝sin Bcos B，‎ 由sin B≠0，得sin C＝cos B.‎ 又B，C∈(0，π)．所以C＝±B.‎ 当B＋C＝时，A＝；当C－B＝时，A＝.‎ 综上，A＝或A＝.‎ ‎[教师备选例题]‎ ‎　已知△ABC的面积为3，AC＝2，BC＝6，延长BC至D，使∠ADC＝45°.‎ ‎(1)求AB的长；‎ ‎(2)求△ACD的面积．‎ ‎[解](1)因为S△ABC＝×6×2×sin∠ACB＝3，‎ 所以sin∠ACB＝，∠ACB＝30°或150°，‎ 又∠ACB＞∠ADC，且∠ADC＝45°，所以∠ACB＝150°，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝12＋36－2×2×6cos 150°＝84，所以AB＝＝2.‎ ‎(2)在△ACD中，因为∠ACB＝150°，∠ADC＝45°，‎ 所以∠CAD＝105°，‎ 由正弦定理得＝，‎ 所以CD＝3＋，‎ 又∠ACD＝180°－150°＝30°，‎ 所以S△ACD＝AC·CD·sin∠ACD＝×2×(3＋)×＝.‎ ‎⊙考点3　判断三角形的形状 ‎　判断三角形形状的两种思路 ‎(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．‎ ‎(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．‎ ‎　设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 B　[由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，‎ ‎∴sin(B＋C)＝sin2A，‎ 即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A.‎ ‎∵A∈(0，π)，∴sin A＞0，‎ ‎∴sin A＝1，‎ 即A＝，∴△ABC为直角三角形．]‎ ‎　在判断三角形的形状时，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应提取公因式，以免漏解．‎ ‎　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状是(　　)‎ A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 C　[因为＝，所以＝.所以b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝＝.因为A∈(0，π)，所以A＝.所以△ABC是等边三角形．]‎