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- 2021-06-16 发布
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一、选择题
1.点(0,5)到直线y=2x的距离是( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 由y=2x得:2x-y=0,∴由点到直线的距离公式得:d==,故选B.
2.已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行,则它们之间的距离是( )
A.4 B.
C. D.
[答案] D
[解析] ∵两直线平行,∴=,∴m=4,
∴两平行直线6x+4y-6=0和6x+4y+1=0的距离
d==.
3.已知点A(3,4),B(6,m)到直线3x+4y-7=0的距离相等,则实数m等于( )
A. B.-
C.1 D.或-
[答案] D
[解析] 由题意得=,
解得m=或m=-.
4.点P为x轴上一点,点P到直线3x-4y+6=0的距离为6,则点P的坐标为( )
A.(8,0) B.(-12,0)
C.(8,0)或(-12,0) D.(0,0)
[答案] C
[解析] 设P(a,0),则=6,
解得a=8或a=-12,
∴点P的坐标为(8,0)或(-12,0).
5.过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程为( )
A.x+2y-5=0 B.2x+y-4=0
C.x+3y-7=0 D.3x+y-5=0
[答案] A
[解析] 由已知得,所求直线过(1,2)且垂直于(0,0)与(1,2)两点的连线,
∴所求直线的斜率k=-,
∴y-2=-(x-1),即x+2y-5=0.
6.已知直线l过点(3,4)且与点A(-2,2),B(4,-2)等距离,则直线l的方程为( )
A.2x+3y-18=0
B.2x-y-2=0
C.3x-2y+18=0或x+2y+2=0
D.2x+3y-18=0或2x-y-2=0
[答案] D
[解析] 设所求直线方程为y-4=k(x-3),即kx-y+4-3k=0.
由已知有=,所以k=2或k=-,
所以直线方程为2x-y-2=0或2x+3y-18=0.
7.P,Q分别为3x+4y-12=0与6x+8y+6=0上任一点,则|PQ|的最小值为( )
A. B.
C.3 D.6
[答案] C
[解析] |PQ|的最小值是这两条平行线间的距离.在直线3x+4y-12=0上取点(4,0),然后利用点到直线的距离公式得|PQ|的最小值为3.
8.点P(x,y)在直线x+y-4=0上,则x2+y2的最小值是( )
A.8 B.2
C. D.16
[答案] A
[解析] x2+y2表示直线上的点P(x,y)到原点距离的平方,
∵原点到直线x+y-4=0的距离为=2,
∴x2+y2最小值为8.故选A.
二、填空题
9.已知点A(0,4),B(2,5),C(-2,1),则BC边上的高等于________.
[答案]
[解析] 直线BC:x-y+3=0,
则点A到直线BC的距离d==,
即BC边上的高等于.
10.过点A(-3,1)的所有直线中,与原点距离最远的直线方程是________.
[答案] 3x-y+10=0
[解析] 当原点与点A的连线与过点A的直线垂直时,距离最大.∵kOA=-,∴所求直线的方程为y-1=3(x+3),即3x-y+10=0.
11.直线l1:2x+4y+1=0与直线l2:2x+4y+3=0平行,点P是平面直角坐标系内任一点,P到直线l1和l2的距离分别为d1,d2,则d1+d2的最小值是________.
[答案]
[解析] l1与l2的距离d==,
则d1+d2≥d=,
即d1+d2的最小值是.
12.两条平行线分别经过点(1,0)和(0,5),且两条直线的距离为5,它们的方程是____________.
[答案] y=5和y=0或者5x-12y+60=0和5x-12y-5=0.
[解析] 设l1:y=kx+5,l2:x=my+1,在l1上取点A(0,5).
由题意A到l2距离为5,
∴=5,解得m=,
∴l2:5x-12y-5=0.
在l2上取点B(1,0).则B到l1的距离为5,
∴=5,
∴k=0或k=,
∴l1:y=5或5x-12y+60=0,
结合l2斜率不存在的情况知两直线方程分别为:
l1:y=5,l2:y=0;
或l1:5x-12y+60=0,l2:5x-12y-5=0.
三、解答题
13.已知正方形的中心为直线2x-y+2=0和x+y+1=0的交点,其一边所在直线的方程为x+3y-5=0,求其它三边的方程.
[解析] 由解得
即该正方形的中心为(-1,0).
所求正方形相邻两边方程3x-y+p=0和x+3y+q=0.
∵中心(-1,0)到四边距离相等,
∴=,=,
解得p1=-3,p2=9和q1=-5,q2=7,
∴所求方程为3x-y-3=0,3x-y+9=0,x+3y+7=0.
14.在△ABC中,A(3,2),B(-1,5),点C在直线3x-y+3=0上,若△ABC的面积为10,求点C的坐标.
[解析] 由题知|AB|==5,
∵S△ABC=|AB|·h=10,∴h=4.
设点C的坐标为(x0,y0),而AB的方程为y-2=-(x-3),即3x+4y-17=0.
∴
解得或
∴点C的坐标为(-1,0)或(,8).
15.求经过点P(1,2)的直线,且使A(2,3),B(0,-5)到它的距离相等的直线方程.
[分析] 解答本题可先设出过点P的点斜式方程,注意斜率不存在的情况,要分情况讨论,然后再利用已知条件求出斜率,进而写出直线方程.另外,本题也可利用平面几何知识,先判断直线l与直线AB的位置关系,再求l方程.事实上,l∥AB或l过AB中点时,都满足题目的要求.
[解析] 方法一:当直线斜率不存在时,即x=1,显然符合题意,当直线斜率存在时,设所求直线的斜率为k,即直线方程为y-2=k(x-1),
由条件得=,解得k=4,
故所求直线方程为x=1或4x-y-2=0.
方法二:由平面几何知识知l∥AB或l过AB中点.
∵kAB=4,
若l∥AB,则l的方程为4x-y-2=0.
若l过AB中点(1,-1),则直线方程为x=1,
∴所求直线方程为x=1或4x-y-2=0.
规律总结:针对这个类型的题目常用的方法是待定系数法,即先根据题意设出所求方程,然后求出方程中有关的参量.有时也可利用平面几何知识先判断直线l的特征,然后由已知直接求出直线l的方程.
16.直线l在两坐标轴上的截距相等,且P(4,3)到直线l的距离为3,求直线l的方程.
[解析] (1)当所求直线经过坐标原点时,
设其方程为y=kx,由点到直线的距离公式可得
3=,解得k=-6±.
故所求直线的方程为y=(-6±)x.
(2)当直线不经过坐标原点时,
设所求直线方程为+=1,即x+y-a=0.
由题意可得=3.解得a=1或a=13.
故所求直线的方程为x+y-1=0或x+y-13=0.
综上可知,所求直线的方程为
y=(-6±)x或x+y-1=0或x+y-13=0.