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- 2021-06-16 发布
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2018-2019学年内蒙古赤峰二中高一下学期第一次月考数学(文)试题
一、单选题
1.已知数列满足,且,则数列的通项是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由已知得公比q=2,利用等比数列通项公式直接写出的通项即可.
【详解】
,q=2,
,
故选B.
【点睛】
本题考查等比数列的定义及通项公式的求法,属于基础题.
2.若 ,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】先根据诱导公式化简,再根据平方差公式以及二倍角余弦公式得结果.
【详解】
因为,所以,因此,选D.
【点睛】
本题考查诱导公式以及二倍角余弦公式,考查基本分析求解能力.属基本题.
3.函数的最大值为
A.2 B. C. D.1
【答案】A
【解析】由两角和差的正余弦公式得:,由三角函数的有界性得:,可得解.
【详解】
,
因为,
所以,
故函数的最大值为2,
故选:A.
【点睛】
本题考查了两角和差的正余弦公式及三角函数的有界性,属简单题.
4.若sinα=,α是第二象限角,则sin(2α+)=( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据,求出的值,再将所求式子展开,转化成关于和的式子,然后代值得出结果。
【详解】
因为且为第二象限角,
根据得,
,
再根据二倍角公式得原式=,
将,代入上式得,
原式=
故选D。
【点睛】
本题考查三角函数给值求值,在已知角的取值范围时可直接用同角公式求出正余弦值,再利用和差公式以及倍角公式将目标式转化成关于和的式子,然后代值求解就能得出结果。
5.已知数列是等比数列,其前项和为,,则( )
A. B. C.2 D.4
【答案】A
【解析】由题意,根据等比数列的通项公式和求和公式,求的公比,进而可求解,得到答案。
【详解】
由题意得,,,公比,则,故选A。
【点睛】
本题主要考查了等比数列的通项公式和求和公式的应用,其中解答中熟记等比数列的通项公式和求和公式,准确运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题。
6.已知为三角形的一个内角,若,则这个三角形的形状为( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.无法确定
【答案】B
【解析】由已知为三角形的一个内角,则
又 且
故为钝角三角形
选B
7.一个蜂巢里有1只蜜蜂,第1天,它飞出去找回了5个伙伴;第2天,6只蜜蜂飞出去,各自找回了5个伙伴…如果这个找伙伴的过程继续下去,第6天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有蜜蜂( )
A.55986只 B.46656只 C.216只 D.36只
【答案】B
【解析】先由题得到{an}是公比为6的等比数列,再利用等比数列的通项求出a6得解.
【详解】
设第n天所有的蜜蜂都归巢后共有an只蜜蜂,则有an+1=6an,a1=6,
则{an}是公比为6的等比数列,则a6=a1q5=6×65=46656.
故答案为:B
【点睛】
本题主要考查等比数列性质的判定和等比数列的通项,意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.
8.已知等差数列的公差和首项都不等于0,且成等比数列,则=()
A.2 B.3 C.5 D.7
【答案】B
【解析】由等差数列{an}的通项公式和等比中项的性质,化简得d=a1,即可求出.
【详解】
∵在等差数列{an}中,成等比数列,∴=,∴(+3d)=(+d)(+7d),∴d=d,∵d≠0,∴d=,
∴==3.
故选:B.
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式和等比中项的性质,也考查了学生的计算能力,属于基础题.
9.在中,内角,,所对应的边分别为,,,若,且,则( )
A. B. C.2 D.0
【答案】D
【解析】由,利用正弦定理可得,由求得,由两角和的余弦公式可得,由两角差的余弦公式可得,可得,从而可得结果.
【详解】
因为,
所以,由正弦定理可得,
即,
因为 ,
因为,
所以,
,
所以,,
,又因为,
所以,所以,故选D.
【点睛】
本题主要考查两角和与差的余弦公式,以及正弦定理的应用,属于难题. 正弦定理是解三角形的有力工具,其常见用法有以下三种:(1)知道两边和一边的对角,求另一边的对角(一定要注意讨论钝角与锐角);(2)知道两角与一个角的对边,求另一个角的对边;(3)证明化简过程中边角互化;(4)求三角形外接圆半径.
10.函数的最大值为( )
A. B. C. D.2
【答案】A
【解析】由题意,得
;故选A.
11.等差数列中,,若其前项和为,且有,那么当取最大值时,的值为( )
A.8 B.9 C.10 D.11
【答案】D
【解析】根据 S14=S8,可得a9+a10+…+a14=0,故有a11+a12=0.再由 a1>0,可得d<0,故a11>0,a12<0,可得S11最大.
【详解】
∵S14=S8,∴a9+a10+…+a14=0,∴a11+a12=0.
再由 a1>0,∴d<0,故a11>0,a12<0,∴S11最大.
故选:D.
【点睛】
本题主要考查等差数列的定义和性质,等差数列的前n项和公式的应用,数列的函数特性,属于基础题.
12.设数列的前n项和为,,为常数列,
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意知,,当时,能得到,由此能求出.
【详解】
数列的前n项和为,且,
,
为常数列,由题意知,,
当时,,
从而,
,当时上式成立,
.
故选:B.
【点睛】
本题考查数列的通项公式的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意累乘法的合理运用.
二、填空题
13.《莱因德纸草书》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一。书中有一道这样的题目:把100个面包分给五人,使每人成等差数列,且使最大的三份之和的是较小的两份之和,则最小1份的大小是________
【答案】
【解析】设此等差数列为{an},公差为d,则
(a3+a4+a5)×=a1+a2,即,解得a1=,d=.最小一份为a1,
故答案为:.
14.已知的内角 的对边分别为 ,若,,且的面积为,则的周长为______.
【答案】
【解析】先由余弦定理,结合,,得到的关系式,再由的面积为,得到的关系式,两式联立可求出,进而可确定结果.
【详解】
因为,,由余弦定理可得:;
又的面积为,所以,所以,
所以,
所以周长为.
故答案为
【点睛】
本题主要考查解三角形的问题,熟记余弦定理和三角形面积公式即可求解,属于基础题型.
15.在中,A=60°,,则c=________.
【答案】6
【解析】利用三角形的面积公式直接计算即可得到答案.
【详解】
,
解得c=6,
故答案为:6
【点睛】
本题考查三角形面积公式的应用,属于简单题.
16.等比数列{}的公比,已知=1,,则{}的前4项和
= 。
【答案】
【解析】由得:,即,,解得:q=2,又=1,所以,,=。
三、解答题
17.的内角,,所对的边分别为,,,且的面积.
(1)求;
(2)若、、成等差数列,的面积为,求.
【答案】(1);(2).
【解析】分析:(1)可得,求得B值;
(2)由a、b、c成等差数列,可得2b=a+c,两边同时平方得:a2+c2=4b2-2ac,又由,可得ac=6,a2+c2=4b2-12,由余弦定理cosB即可求得b.
详解:
(1)∵,
∴,即,
∵,∴.
(2)∵、、成等差数列,
∴,两边同时平方得:,
又由(1)可知:,∴,
∴,,
由余弦定理得,,解,
∴.
点睛:本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式、等差数列的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
18.一支车队有辆车,某天依次出发执行运输任务。第一辆车于下午时出发,第二辆车于下午时分出发,第三辆车于下午时分出发,以此类推。假设所有的司机都连续开车,并都在下午时停下来休息.
(1)到下午时,最后一辆车行驶了多长时间?
(2)如果每辆车的行驶速度都是,这个车队当天一共行驶了多少?
【答案】(1)到下午时,最后一辆车行驶了小时分钟;(2)这个车队当天一共行驶了
【解析】第一问中,利用第一辆车出发时间为下午2时,每隔10分钟即小时出发一辆
则第15辆车在小时,最后一辆车出发时间为:小时
第15辆车行驶时间为:小时(1时40分)
第二问中,设每辆车行驶的时间为:,由题意得到
是以为首项,为公差的等差数列
则行驶的总时间为:
则行驶的总里程为:运用等差数列求和得到。
解:(1)第一辆车出发时间为下午2时,每隔10分钟即小时出发一辆
则第15辆车在小时,最后一辆车出发时间为:小时
第15辆车行驶时间为:小时(1时40分) ……5分
(2)设每辆车行驶的时间为:,由题意得到
是以为首项,为公差的等差数列
则行驶的总时间为:……10分
则行驶的总里程为:
19.如图,在中,已知点D在边BC上,且,,,.
求BD长;
求
【答案】(1);(2).
【解析】由已知利用诱导公式可求的值,利用余弦定理即可计算BD的长.
由可求的值,利用同角三角函数基本关系式可求,由正弦定理可求的值,根据诱导公式可求的值.
【详解】
(1)由题意,因为,
,,
在中,由余弦定理得,,
即,得
由,得,
在中,由正弦定理,得:.
,
,
【点睛】
本题主要考查了三角函数的诱导公式,余弦定理,同角三角函数基本关系式,三角形内角和定理,两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.
20.已知公差不为零的等差数列中,,且成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)an=11-2n(n∈N).(2)见解析.
【解析】(1)S2=16,成等比数列,解得首项和公差进而得到通项;(2)当n≤5时,Tn=a1+a2+…+an,
直接按照等差数列求和公式求和即可, n≥6,Tn=a1+a2+…+a5-a6-a7- …-an =n2-10n+50,写成分段即可.
【详解】
(1)由S2=16,成等比数列,得解得
所以等差数列{an}的通项公式为an=11-2n(n∈N).
(2)当n≤5时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=-n2+10n.
当n≥6时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a5-a6-a7- …-an=2S5-Sn=2×(-52+10×5)-(-n2+10n)=n2-10n+50,
故Tn=
【点睛】
数列通项的求法中有常见的已知和的关系,求表达式,一般是写出做差得通项,但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用;数列求和常用法有:错位相减,裂项求和,分组求和等。
21.在亚丁湾海域执行护航任务的中国海军“徐州”舰,在A处收到某商船在航行中发出求救信号后,立即测出该商船在方位角方位角(是从某点的指北方向线起,依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角)为45°、距离A处为10 n mile的C处,并测得该船正沿方位角为105°的方向,以9 n mile/h的速度航行,“徐州”舰立即以21 n mile/h的速度航行前去营救.
(1)“徐州”舰最少需要多少时间才能靠近商船?
(2)在营救时间最少的前提下,“徐州”舰应按照怎样的航行方向前进?(角度精确到0.1°,时间精确到1min,参考数据:sin68.2°≈0.9286)
【答案】(1)最少需要40min才能靠近商船;(2)前进的方位角约为.
【解析】(1) 由题知舰艇沿直线航行时所需时间最少,设舰艇在B处靠近商船,从A处到靠近商船所用的时间为x h.根据余弦定理,可得,解方程即得x的值,即得“徐州”舰最少需要多少时间才能靠近商船.(2)由余弦定理可得大小,再求“徐州”舰前进的方位角.
【详解】
(1)由题知舰艇沿直线航行时所需时间最少,设舰艇在B处靠近商船,从A处到靠近商船所用的时间为x h.
则,,
.
又,
根据余弦定理,可得
,即
,
即,
解得,(舍去).
故“徐州”舰最少需要40min才能靠近商船.
(2)由(1)知,,
由余弦定理可得,
,
故“徐州”舰前进的方位角约为.
【点睛】
本题主要考查余弦定理解三角形,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
22.已知数列满足:,,记,
(1)求,,;
(2)判断是否为等比数列,并说明理由;
(3)求的前项和.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)
【解析】(1)直接利用赋值法求出数列的各项;(2)根据已知条件可构造出结合等比数列的定义可得结果;(3
)利用上步的结论,进一步利用分组法求出数列的和.
【详解】
(1)因为,所以,,
从而,, ,
(2)是等比数列.
因为,
所以,
所以, 即,
所以是等比数列,且首项,公比为 2.
(3) 由(2)知,
故.
所以 .
【点睛】
本题主要考查了等比数列的证明,以及数列的求和,属于高考中常考知识点,难度不大;常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式,分组求和类似于,其中和分别为特殊数列,裂项相消法类似于,错位相减法类似于,其中为等差数列,为等比数列等.