【数学】2019届一轮复习人教B版　平面向量在解析几何中的应用学案 9页

增分点 平面向量在解析几何中的应用 与平行或角度有关的问题 利用平面向量解决解析几何问题主要体现在以下两个方面：‎ ‎(1)用向量的数量积解决有关角的问题；‎ ‎(2)用向量的坐标表示解决共线问题．‎ ‎[典例] 椭圆＋＝1的两个焦点分别为F1(－c,0)和F2(c,0)，过点E(‎3c,0)的直线与椭圆交于A，B两点，且F‎1A∥F2B，|F‎1A|＝2|F2B|，求直线AB的斜率．‎ ‎[方法演示]‎ 解：法一：如图所示，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为F‎1A∥F2B，|F‎1A|＝2|F2B|，所以＝2，‎ 即 又由 于是 解得从而得到A(0，±c)，因此kAB＝±，‎ 故直线AB的斜率是±.‎ 法二：由椭圆的对称性，延长AF1交椭圆于C，则＝，‎ 设lAC：x＝ty－c，A(x1，y1)，C(x2，y2)，‎ 联立 整理得(3＋2t2)y2－4tcy－‎4c2＝0，‎ 则y1＋y2＝，y1y2＝.‎ 因为F‎1A∥F2B，|F‎1A|＝2|F2B|，‎ 所以＝2，即＝2，‎ 则有故 即＝－＝－，解得t＝±.‎ 若t＝，联立后的方程为2y2－cy－‎2c2＝0，‎ 得A(0, c)，故kAB＝－；‎ 若t＝－，同理可得A(0，－c)，此时kAB＝，‎ 故直线AB的斜率是±.‎ ‎[解题师说]‎ ‎(1)用向量的数量积解决有关角的问题，其步骤是：先写出向量坐标式a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，再用向量数量积的坐标公式cos θ＝求角．‎ ‎(2)当a，b不共线时，有〈a，b〉为：直角⇔a·b＝0；钝角⇔a·b<0(且a，b不反向)；锐角⇔a·b>0(且a，b不同向)．‎ ‎(3)解题时，利用向量关系列出点之间的方程是关键．‎ ‎[应用体验]‎ ‎1.如图所示，已知A，B是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点，P，Q是该椭圆上不同于顶点的两点，且直线AP与QB，PB与AQ分别交于点M，N.‎ ‎(1)求证：MN⊥AB；‎ ‎(2)若弦PQ过椭圆的右焦点F2，求直线MN的方程．‎ 解：(1)证明：设P(acos α，bsin α)，Q(acos β，bsin β)，‎ 由A(－a,0)，B(a,0)得，‎ lAP：a(1＋cos α)y＝bsin α(x＋a)，①‎ lQB：a(cos β－1)y＝bsin β(x－a)，②‎ 联立①②消去y得 sin α(cos β－1)(x＋a)＝sin β(1＋cos α)(x－a)‎ ‎⇔[sin α(cos β－1)－sin β(1＋cos α)]x ‎＝a[sin α(1－cos β)－sin β(1＋cos α)]‎ ‎⇔[sin(α－β)－sin α－sin β]x ‎＝a[sin α－sin β－sin(β＋α)]‎ ‎⇔cosx ‎＝acos ‎⇔xM＝(因P，Q不同于顶点)．‎ 同理，xN＝，故xM＝xN，所以MN⊥AB.‎ ‎(2) ＝(acos α－c，bsin α)，＝(acos β－c，bsin β)．‎ 由P，F2，Q三点共线⇒与共线 ‎⇒sin β(acos α－c)＝sin α(acos β－c)‎ ‎⇒asin(α－β)＝c(sin α－sin β)‎ ‎⇒asincos＝ccossin ‎⇒acos＝ccos ‎⇒xM＝xN＝＝，‎ 所以直线MN的方程为x＝.‎ 与平面向量有关的综合问题 ‎[典例] 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，如图所示，设左顶点为A，上顶点为B，且·＝·.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)若过F的直线l交椭圆于M，N两点，试确定·的取值范围．‎ ‎[思路演示]‎ 解：(1)由已知，A(－a,0)，B(0，b)，F(1,0)，‎ 则由·＝·，得b2－a－1＝0.‎ ‎∵b2＝a2－1，∴a2－a－2＝0，解得a＝2.‎ ‎∴a2＝4，b2＝3，∴椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)①若直线l斜率不存在，则l：x＝1，‎ 此时M，N，·＝－.‎ ‎②若直线l斜率存在，设l：y＝k(x－1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由 消去y，‎ 得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，‎ ‎∴x1＋x2＝，x1x2＝.‎ ‎∴·＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)‎ ‎＝(1＋k2)[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝.‎ ‎∵k2≥0，∴0<≤1，∴3≤4－<4，‎ ‎∴－3≤·<－.‎ 综上所述，·的取值范围为.‎ ‎[解题师说]‎ 当题目条件中含有向量关系式或所求的结论中含有向量代数式时，常将此向量关系式或代数式利用坐标表示，然后利用函数方程思想求解．‎ ‎[应用体验]‎ ‎2．(2018·张掖一诊)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点为F，右顶点为E，P为直线x＝a上的任意一点，且(＋)·＝2.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)过F且垂直于x轴的直线AB与椭圆交于A，B两点(点A在第一象限)，动直线l与椭圆C交于M，N两点，且M，N位于直线AB的两侧，若始终保持∠MAB＝∠NAB，求证：直线MN的斜率为定值．‎ 解：(1)设P，F(c,0)，E(a,0)，‎ 则＝，＝，‎ ＝(c－a,0)，‎ 所以(‎2c－‎3a)(c－a)＝4.‎ 又e＝＝，‎ 所以a＝2，c＝1，b＝，‎ 从而椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)证明：由(1)知A，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，‎ 设MN的方程为y＝kx＋m，‎ 代入椭圆方程＋＝1，‎ 得(4k2＋3)x2＋8kmx＋‎4m2‎－12＝0，‎ 则 又M，N是椭圆上位于直线AB两侧的动点，若始终保持∠MAB＝∠NAB，‎ 则kAM＋kAN＝0，‎ 即＋＝0，‎ (x2－1)＋kx2＋m－(x1－1)＝0，‎ 即(2k－1)(‎2m＋2k－3)＝0，得k＝.‎ 故直线MN的斜率为定值.‎ ‎1．(2018·成都模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，且AC，BC所在直线的斜率之积等于－2，记顶点C的轨迹为曲线E.‎ ‎(1)求曲线E的方程；‎ ‎(2)设直线y＝kx＋2(0＜k＜2)与y轴相交于点P，与曲线E相交于不同的两点Q，R(点R在点P和点Q之间)，且＝λ，求实数λ的取值范围．‎ 解：(1)设C(x，y)．‎ 由题意，可得·＝－2(x≠±1)，‎ ‎∴曲线E的方程为x2＋＝1(x≠±1)．‎ ‎(2)设R(x1，y1)，Q(x2，y2)．‎ 联立消去y，得(2＋k2)x2＋4kx＋2＝0，‎ ‎∴Δ＝8k2－16＞0，∴k2＞2.‎ 又0＜k＜2，∴＜k＜2.‎ 则x1＋x2＝－，①‎ x1x2＝.②‎ ‎∵＝λ，点R在点P和点Q之间，‎ ‎∴x2＝λx1(λ＞1)．③‎ 联立①②③，可得＝.‎ ‎∵＜k＜2，‎ ‎∴＝∈，‎ ‎∴4＜＜，‎ 解得1＜λ＜3，‎ ‎∴实数λ的取值范围为(1,3)．‎ ‎2．(2018·石家庄质检)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，且长轴长为8，T为椭圆上任意一点，直线TA，TB的斜率之积为－.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设O为坐标原点，过点M(0,2)的动直线与椭圆C交于P，Q两点，求·＋·的取值范围．‎ 解：(1)设T(x，y)，由题意知A(－4,0)，B(4,0)，‎ 设直线TA的斜率为k1，直线TB的斜率为k2，‎ 则k1＝，k2＝.‎ 由k1k2＝－，得·＝－，‎ 整理得＋＝1，‎ 故椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋2，点P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，联立消去y，得(4k2＋3)x2＋16kx－32＝0.‎ 所以x1＋x2＝－，x1x2＝－.‎ 从而·＋·＝x1x2＋y1y2＋[x1x2＋(y1－2)·(y2－2)]＝2(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＝－20＋.‎ 因为k2≥0，所以0<≤，‎ 所以－20<·＋·≤－.‎ 当直线PQ的斜率不存在时，·＋·的值为－20.‎ 综上，·＋·的取值范围为－20，－.‎ ‎3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，且点P在椭圆C上，O为坐标原点．‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)设过定点T(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．‎ 解：(1)由题意得c＝1，所以a2＝b2＋1，①‎ 又点P在椭圆C上，所以＋＝1，②‎ 由①②可解得a2＝4，b2＝3，‎ 所以椭圆C的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)设直线l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由得(4k2＋3)x2＋16kx＋4＝0，‎ 因为Δ＝16(12k2－3)>0，‎ 所以k2>，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 因为∠AOB为锐角，‎ 所以·>0，即x1x2＋y1y2>0，‎ 所以x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)>0，‎ 所以(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4>0，‎ 即(1＋k2)·＋2k·＋4>0，‎ 解得k2<.‎ 又k2>，所以b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x＋y＋1＝0与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)过点M(2,0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点S和T，若椭圆C上存在点P满足＋＝t (其中O为坐标原点)，求实数t的取值范围．‎ 解：(1)由题意，以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为(x－c)2＋y2＝a2，‎ ‎∴圆心到直线x＋y＋1＝0的距离d＝＝a.(*)‎ ‎∵椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，‎ ‎∴b＝c，a＝c，代入(*)式得b＝c＝1，∴a＝b＝，‎ 故所求椭圆方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)由题意知，直线l的斜率存在，‎ 设直线l的方程为y＝k(x－2)，设P(x0，y0)，‎ 将直线l的方程代入椭圆方程得 ‎(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0，‎ ‎∴Δ＝64k4－4(1＋2k2)(8k2－2)>0，‎ 解得k2<.‎ 设S(x1，y1)，T(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝.‎ ‎∴y1＋y2＝k(x1＋x2－4)＝－.‎ 由＋＝t，得tx0＝x1＋x2，ty0＝y1＋y2，‎ 当t＝0时，直线l为x轴，则椭圆上任意一点P满足＋＝t，符合题意；‎ 当t≠0时， ‎∴x0＝·，y0＝·.‎ 将上式代入椭圆方程得＋＝1，‎ 整理得t2＝＝，‎ 由k2<知，0