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- 2021-06-16 发布
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银川三沙源上游学校2019-2020学年第一学期期中考试高二数学试卷(文)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.命题“,”的否定是( )
A. , B. ,
C. , D. ,
【答案】C
【解析】
【分析】
根据特称命题的否定可得出正确选项.
【详解】由特称命题的否定可知,命题“,”的否定是“,”,故选C.
【点睛】本题考查特称命题的否定,着重考查对特称命题概念的理解,属于基础题.
2.命题“若,则”,则它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
分别写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题,再判断真假即可.
【详解】由题意,原命题:若,则,
则它的逆命题:若,则,为真命题;
它的否命题:若,则,为真命题;
它的逆否命题:若,则,为假命题.
故选:C
【点睛】本题主要考查四种命题以及命题真假的判断,属于基础题.
3.“”是“”的什么条件( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】
利用充分条件和必要条件的定义进行判断.
【详解】若,,则,但不成立,
故不一定能推出;
若,,则,但不成立,
故不一定能推出;
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选:D
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用特殊值举反例可简化解题过程,属于基础题.
4.已知数列中,,则的值是( )
A. 2 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】
由求解即可.
详解】由题意,,,
所以
故选:B
【点睛】本题主要考查和的关系,属于简单题.
5.已知,则的最小值为( )
A. 2 B. 1 C. 4 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
将的表达式构造成可以利用基本不等式求解最小值的形式.
【详解】因为,所以,取等号时即,
故选C.
【点睛】形如形式的函数,可利用基本不等式求解函数最小值:,取等号时有:.
6.中,,,,则顶点的轨迹方程是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
由题意可得 顶点 的轨迹是以 为焦点的椭圆(扣除左右顶点),设其方程为 所求轨迹方程为:,故选B.
【点睛】本题考查椭圆的定义及其方程、椭圆的简单几何性质,涉及数形结合思想、函数与方程思想和转化化归思想,以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力,属于中档题型.先利用椭圆的定义判定: 的轨迹是以 为焦点的椭圆(扣除左右顶点),设其方程为,再利用待定系数法求得轨迹方程为:.
7.已知方程表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用椭圆的性质列出不等式求解即可.
【详解】方程1表示焦点在y轴上的椭圆,
可得,解得1<m.
则m的取值范围为:(1,).
故选B.
【点睛】本题考查椭圆的方程及简单性质的应用,基本知识的考查.
8.若直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的标准方程为
A. B.
C. 或 D. 以上答案都不对
【答案】C
【解析】
【分析】
利用椭圆的简单性质求解,题中没有明确焦点在轴还是在轴上,所以分情况讨论.
【详解】解:设焦点在轴上,椭圆的标准方程为
焦点坐标为,,顶点坐标为,;
椭圆的,,关系:;
直线恒过定点和
直线必经过椭圆的焦点,和顶点
带入直线方程:
解得:,,
焦点在轴上,椭圆的标准方程为;
当设焦点在轴,椭圆的标准方程为
焦点坐标为,,顶点坐标为,;
椭圆的,,关系:
直线恒过定点和
直线必经过椭圆的焦点,和顶点
带入直线方程
解得:,,
焦点在轴上,椭圆的标准方程为.
故选:.
【点睛】本题考查椭圆方程的求法,题中没有明确焦点在轴还是在轴上,要分情况讨论,解题时要注意椭圆的简单性质的合理运用,属于基础题.
9.若命题;命题
,则下列命题为真命题的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由配方法判断命题为真命题,由判断命题为假命题,再由复合命题的真假判断即可.
【详解】对命题,,
所以命题是真命题;
对命题,时,,
所以命题假命题;
所以、、为假命题,为真命题.
故选:B
【点睛】本题主要考查复合命题真假的判断,属于基础题.
10.已知实数,且,则恒成立时的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
恒成立,即小于等于的最小值,利用和基本不等式求出的最小值即的最大值.
【详解】由题意,
,
当且仅当,即时等号成立,此时,,
所以恒成立,即的最大值是
故选:B
【点睛】本题主要考查利用基本不等式求和的最小值,注意“1”在解题时的妙用,属于中档题.
11.已知直线被椭圆截得的弦长为7,则下列直线中被椭圆截得的弦长一定为7的有
① ② ③ ④
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
【答案】C
【解析】
【分析】
根据椭圆关于原点、轴和轴对称,可得直线关于原点、轴和轴的直线与直线被椭圆截得的弦长相等,从而得到答案.
【详解】由于椭圆关于原点、轴和轴对称,
所以直线关于原点、轴和轴对称的直线分别为、,则有3条直线被椭圆截得的弦长一定为7.
故答案选C
【点睛】本题考查椭圆的标准方程以及其对称性,考查推理能力与计算能力,属于中档题
12.设椭圆:的一个焦点为,点为椭圆内一点,若椭圆上存在一点,使得,则椭圆的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
设椭圆的左焦点为,则即,
又椭圆E上存在一点P使得,∴,
即,∵,
∴,即,解得.∵,∴.
本题选择C选项.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.不等式的解集是_____.
【答案】或
【解析】
【分析】
依据一元二次不等式的解法,即可求出.
【详解】由x2﹣2x﹣3>0,得(x+1)(x﹣3)>0,解得x<﹣1或x>3.
所以原不等式的解集为{x|x<﹣1或x>3}.
【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法,意在考查学生的数学运算能力.
14.若,满足约束条件,则的最小值为______________.
【答案】
【解析】
【分析】
由约束条件作出可行域,由图得到最优解,求出最优解的坐标,数形结合得到答案.
【详解】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示,
令,即,
易知当直线经过点时,取得最小值.
由可得,故.
【点睛】本题考查简单线性规划问题,关键是正确画出平面区域,利用目标函数的几何意义求最值,考查了数形结合的思想,属于基础题.
15.命题“若,则或”的否定为_______ .
【答案】若,则且
【解析】
【分析】
命题的否定,只用否定结论.
【详解】命题“若,则或”的否定为:若,则且
故答案为若,则且
【点睛】本题考查了命题的否定,属于简单题.
16.已知点是椭圆上的一点,分别为椭圆的左、右焦点,已知=120°,且,则椭圆的离心率为___________.
【答案】
【解析】
设,由余弦定理知,所以,故填.
三、解答题(共70分)
17.已知命题p:方程有两个不相等的实数根;命题q:.
若p为真命题,求实数m的取值范围;
若为真命题,为假命题,求实数m的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】
(1)若为真命题,则应有,解得实数的取值范围;(2)若为真命题,为假命题,则,应一真一假,进而实数的取值范围.
【详解】(1)若为真命题,则应有,解得;
(2)若为真命题,则有,即,
因为为真命题,为假命题,
则,应一真一假.
①当真假时,有,得;
②当假真时,有,无解,综上,的取值范围是.
18.已知等差数列中,,,为公差.
(1)求,;
(2)设,求数列前项和.
【答案】(1),;(2)
【解析】
【分析】
(1)由,列关于和的方程组求解即可;
(2)由(1)知的表达式,分别求出数列和的前项和,再求解即可.
【详解】(1)由题意,,解得,
所以,;
(2)由(1)知,,
所以,
数列前项和为,
数列的前项和为,
所以数列的前项和.
【点睛】本题主要考查求等差数列的首项和公差,以及等差数列和等比数列前项和公式,属于基础题.
19.在平面直角坐标系中,已知椭圆过点,其焦点为,.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知点在椭圆上,且,求的面积.
【答案】(1);(2)
【解析】
【分析】
(1)设椭圆方程,由椭圆过点,其焦点为,,求出、、,即可求出椭圆方程;
(2)由点在椭圆上,且,可求出,由焦点坐标可求出,由此可求出的面积.
【详解】(1)由题意,椭圆过点,其焦点为,,
所以设椭圆方程,
则,,所以,
所以椭圆的标准方程为:;
(2)由题意,点在椭圆上,且,
由椭圆定义知,,所以,
又椭圆焦点为,,所以,
,所以,
所以的面积.
【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法和椭圆定义的应用,属于基础题.
20.已知椭圆的离心率为,短轴长为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知过点P(2,1)作弦且弦被P平分,则此弦所在的直线方程.
【答案】(1) (2)
【解析】
试题分析:(1)根据椭圆的性质列方程组解出a,b,c即可;
(2)设直线斜率为k,把直线方程代入椭圆方程,根据根与系数的关系和中点坐标公式列方程即可得出k的值,从而求出直线方程.
试题解析:
(1),2b=4,所以a=4,b=2,c=,椭圆标准方程为
(2)设以点为中点的弦与椭圆交于,则,分别代入椭圆的方程,两式相减得,所以,所以,由直线的点斜式方程可知,所求直线方程为,即.
点睛:弦中点问题解法一般为设而不求,关键是求出弦AB所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法,列出有关弦AB的中点及弦斜率之间关系求解;方法二是直接设出斜率k,利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.
21.已知:;:.
(1)若是的必要条件,求的取值范围;
(2)若是的必要不充分条件,求的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】
【详解】试题分析:(Ⅰ)求出p,q成立的等价条件,根据p是q的必要条件,建立条件关系即可.
(Ⅱ)利用¬p是¬q的必要不充分条件,即q是p的必要不充分条件,建立条件关系进行求解即可.
解:由x2﹣8x﹣20≤0得﹣2≤x≤10,即P:﹣2≤x≤10,
又q:1﹣m2≤x≤1+m2.
(1)若p是q的必要条件,
则,即,即m2≤3,解得,
即m的取值范围是.
(2)∵¬p是¬q的必要不充分条件,
∴q是p的必要不充分条件.
即,即m2≥9,解得m≥3或 m≤﹣3
即m的取值范围是(﹣∞,﹣3]∪[3,+∞).
考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断.
22.已知椭圆的右焦点,且椭圆的右顶点到的距离为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与椭圆交于两点,且满足,求面积的最大值.
【答案】(1);(2)
【解析】
分析】
(1)根据已知条件可得,,再结合,即可求出,进而求出椭圆的方程;
(2) 根据已知条件,利用点斜式设出直线,的方程,与椭圆的方程联立消去,利用弦长公式,求出,,可得,再对分母进行配凑为后利用基本不等式,即可求出面积的最大值.
【详解】(1)由已知得,,所以,所以,
所以椭圆的方程为.
(2)根据题意可知,直线,的斜率均存在且不为0,
不妨设直线的方程为,则直线的方程为,
由 得,
,
由弦长公式可得
同理可得,
所以的面积为:
,
当且仅当,即时,面积取得最大值.
【点睛】本题主要考查求椭圆的方程,直线与椭圆的位置关系,弦长公式及基本不等式求最值.