2019届二轮复习（理）专题二函数与导数2-3-1导数与函数的单调性、极值、最值课件（30张）（全国通用） 30页

2.3 　导数在函数中的应用 - 2 - 一、导数与函数的单调性、极值、最值 - 4 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 利用导数讨论函数的单调性 【思考】 函数的导数与函数的单调性具有怎样的关系 ? 例 1 设 a ∈ Z , 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) = 2 x 4 + 3 x 3 - 3 x 2 - 6 x+a 在区间 (1,2) 内有一个零点 x 0 , g ( x ) 为 f ( x ) 的导函数 . (1) 求 g ( x ) 的单调区间 ; (2) 设 m ∈ [1, x 0 ) ∪ ( x 0 ,2], 函数 h ( x ) =g ( x )( m-x 0 ) -f ( m ), 求证 : h ( m ) h ( x 0 ) < 0; (3) 求证 : 存在大于 0 的常数 A , 使得对于任意的正整数 p , q , 且 - 5 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 - 6 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 (2) 证明 : 由 h ( x ) =g ( x )( m-x 0 ) -f ( m ), 得 h ( m ) =g ( m )( m-x 0 ) -f ( m ), h ( x 0 ) =g ( x 0 )( m-x 0 ) -f ( m ) . 令函数 H 1 ( x ) =g ( x )( x-x 0 ) -f ( x ), 则 H' 1 ( x ) =g' ( x )( x-x 0 ) . 由 (1) 知 , 当 x ∈ [1,2] 时 , g' ( x ) > 0, 故当 x ∈ [1, x 0 ) 时 , H' 1 ( x ) < 0, H 1 ( x ) 单调递减 ; 当 x ∈ ( x 0 ,2] 时 , H' 1 ( x ) > 0, H 1 ( x ) 单调递增 . 因此 , 当 x ∈ [1, x 0 ) ∪ ( x 0 ,2] 时 , H 1 ( x ) >H 1 ( x 0 ) =-f ( x 0 ) = 0, 可得 H 1 ( m ) > 0, 即 h ( m ) > 0 . 令函数 H 2 ( x ) =g ( x 0 )( x-x 0 ) -f ( x ), 则 H' 2 ( x ) =g ( x 0 ) -g ( x ) . 由 (1) 知 g ( x ) 在区间 [1,2] 上单调递增 , 故当 x ∈ [1, x 0 ) 时 , H' 2 ( x ) > 0, H 2 ( x ) 单调递增 ; 当 x ∈ ( x 0 ,2] 时 , H' 2 ( x ) < 0, H 2 ( x ) 单调递减 . 因此 , 当 x ∈ [1, x 0 ) ∪ ( x 0 ,2] 时 , H 2 ( x ) 0 或 f' ( x ) < 0; ② 若已知 y=f ( x ) 的单调性 , 则转化为不等式 f' ( x ) ≥ 0 或 f' ( x ) ≤ 0 在函数的单调区间上恒成立问题求解 . - 10 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 对点训练 1 设函数 f ( x ) = ln(1 +x ) - ln(1 -x ), 则 f ( x ) 是 ( 　　 ) A. 奇函数 , 且在区间 (0,1) 上是增函数 B. 奇函数 , 且在区间 (0,1) 上是减函数 C. 偶函数 , 且在区间 (0,1) 上是增函数 D. 偶函数 , 且在区间 (0,1) 上是减函数 - 11 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 利用导数求函数的极值或最值 【思考】 函数的极值与导数有怎样的关系?如何求函数的最值? 例 2 已知 函数 f ( x ) = e x cos x-x. (1)求曲线 y=f ( x )在点(0, f (0))处的切线方程 ; - 12 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 解 : (1) 因为 f ( x ) = e x cos x-x , 所以 f' ( x ) = e x (cos x- sin x ) - 1, f' (0) = 0 . 又因为 f (0) = 1, 所以曲线 y=f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y= 1 . (2) 设 h ( x ) = e x (cos x- sin x ) - 1, 则 h' ( x ) = e x (cos x- sin x- sin x- cos x ) =- 2e x sin x. - 13 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 题后反思 1 . 对于函数 y=f ( x ), 若在点 x=a 处有 f' ( a ) = 0, 且在点 x=a 附近的左侧 f' ( x ) < 0, 右侧 f' ( x ) > 0, 则当 x=a 时 f ( x ) 有极小值 f ( a ); 若在点 x=b 处有 f' ( b ) = 0, 且在点 x=b 附近的左侧 f' ( x ) > 0, 右侧 f' ( x ) < 0, 则当 x=b 时 f ( x ) 有极大值 f ( b ) . 2 . 求函数 y=f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上的最大值与最小值的步骤 : (1) 求函数 y=f ( x ) 在区间 ( a , b ) 内的极值 ; (2) 将函数 y=f ( x ) 的各极值与端点处的函数值 f ( a ), f ( b ) 比较 , 其中最大的一个是最大值 , 最小的一个是最小值 . - 14 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 对点训练 2 已知函数 f ( x ) =ax 2 + 1( a> 0), g ( x ) =x 3 +bx. (1) 若曲线 y=f ( x ) 与曲线 y=g ( x ) 在它们的交点 (1, c ) 处具有公共切线 , 求 a , b 的值 ; (2) 当 a 2 = 4 b 时 , 求函数 f ( x ) +g ( x ) 的单调区间 , 并求其在区间 ( -∞ , - 1] 上的最大值 . 解： (1) f' ( x ) = 2 ax , g' ( x ) = 3 x 2 +b. 因为曲线 y=f ( x ) 与曲线 y=g ( x ) 在它们的交点 (1, c ) 处具有公共切线 , 所以 f (1) =g (1), 且 f' (1) =g' (1), 即 a+ 1 = 1 +b , 且 2 a= 3 +b. 解得 a= 3, b= 3 . - 15 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 - 16 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 - 17 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 利用导数求与函数零点有关的参数的取值范围 【思考】 如何利用导数求与函数零点有关的参数的取值范围? 例 3 已知函数 f ( x ) =x 3 +ax + , g ( x ) =- ln x. (1)当 a 为何值时, x 轴为曲线 y=f ( x )的切线; (2)用min{ m , n }表示 m , n 中的最小值,设函数 h ( x ) = min{ f ( x ), g ( x )}( x> 0),讨论 h ( x )零点的个数 . - 18 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 (2) 当 x ∈ (1, +∞ ) 时 , g ( x ) =- ln x< 0, 从而 h ( x ) = min{ f ( x ), g ( x )} ≤ g ( x ) < 0, 故 h ( x ) 在 (1, +∞ ) 无零点 . 故 x= 1 是 h ( x ) 的零点 ; 若 a<- , 则 f (1) < 0, h (1) = min{ f (1), g (1)} =f (1) < 0, 故 x= 1 不是 h ( x ) 的零点 . 当 x ∈ (0,1) 时 , g ( x ) =- ln x> 0 . 所以只需考虑 f ( x ) 在 (0,1) 的零点个数 . ( ⅰ ) 若 a ≤ - 3 或 a ≥ 0, 则 f' ( x ) = 3 x 2 +a 在 (0,1) 无零点 , 故 f ( x ) 在 (0,1) 单调 . - 19 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 - 20 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 题后反思 与函数零点有关的参数范围问题 , 往往利用导数研究函数的单调区间和极值点 , 并结合特殊点 , 从而判断函数的大致图象 , 讨论其图象与 x 轴的交点个数问题 ( 或者转化为两个熟悉函数的交点问题 ), 进而确定参数的取值范围 . - 21 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 对点训练 3 设函数 f ( x ) = (1 +x ) 2 - 2ln(1 +x ) . (1) 求函数 f ( x ) 的单调区间 ; (2) 若关于 x 的方程 f ( x ) =x 2 +x+a 在区间 [0,2] 上恰有两个相异实根 , 求实数 a 的取值范围 . 解： (1) 函数的定义域为 ( - 1, +∞ ), 因为 f ( x ) = (1 +x ) 2 - 2ln(1 +x ), 由 f' ( x ) > 0, 得 x> 0; 由 f' ( x ) < 0, 得 - 1 0, 得 x> 1; 由 g' ( x ) < 0, 得 - 1 0的解集;若 f ( x )在 M 上单调递增,则 f' ( x ) ≥ 0在 M 上恒成立 . 2 .f ( x )在区间 A 上单调递减与 f ( x )的单调递减区间为 A 不同,当 f ( x )在区间 A 上单调递减时, A 可能是 f ( x )的单调递减区间的一个真子集 . 若 f ( x )的单调递减区间为[ m , n ],则在 x=m ( x=n )两侧导数值异号, f' ( m ) = 0( f' ( n ) = 0) . 3 . 求可导函数极值的步骤: (1)确定函数 f ( x )的定义域;(2)求 f' ( x );(3)求 f' ( x ) = 0在定义域内的根;(4)判定根两侧导数的符号;(5)下结论 . 要注意函数的极值点对应的导数为0,但导数为0的点不一定是函数的极值点,必须是导数为0的点的左右附近对应的导数异号 . - 24 - 规律总结 拓展演练 4 . 求函数 f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上的最大值与最小值 , 首先求出各极值及区间端点处的函数值 ; 然后比较其大小 , 得出结论 ( 最大的就是最大值 , 最小的就是最小值 ) . 5 . 对于研究方程根的个数的相关问题 , 利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好地解决 . 这类问题求解的通法是 :(1) 构造函数 , 并求其定义域 ;(2) 求导数 , 得函数的单调区间和极值点 ;(3) 画出函数图象的草图 ;(4) 数形结合 , 挖掘隐含条件 , 确定函数的图象与 x 轴的交点情况进而求解 . - 25 - 规律总结 拓展演练 1 . (2018 全国 Ⅰ , 理 5) 设函数 f ( x ) =x 3 + ( a- 1) x 2 +ax , 若 f ( x ) 为奇函数 , 则曲线 y=f ( x ) 在点 (0,0) 处的切线方程为 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A .y=- 2 x B .y=-x C .y= 2 x D .y=x D 解析 因为 f ( x ) 为奇函数 , 所以 f ( -x ) =-f ( x ), 即 -x 3 + ( a- 1) x 2 -ax=-x 3 - ( a- 1) x 2 -ax , 解得 a= 1, 则 f ( x ) =x 3 +x. 由 f' ( x ) = 3 x 2 + 1, 得在 (0,0) 处的切线斜率 k=f' (0) = 1 . 故所求的切线方程为 y=x. - 26 - 规律总结 拓展演练 2 . 若 x=- 2 是函数 f ( x ) = ( x 2 +ax- 1)e x- 1 的极值点 , 则 f ( x ) 的极小值为 ( 　　 ) A .- 1 B .- 2e - 3 C . 5e - 3 D . 1 A 解析 由题意可得 , f' ( x ) = (2 x+a )e x- 1 + ( x 2 +ax- 1)e x- 1 = [ x 2 + ( a+ 2) x+a- 1]e x- 1 . 因为 x=- 2 是函数 f ( x ) 的极值点 , 所以 f' ( - 2) = 0 . 所以 a=- 1 . 所以 f ( x ) = ( x 2 -x- 1)e x- 1 . 所以 f' ( x ) = ( x 2 +x- 2)e x- 1 . 令 f' ( x ) = 0, 解得 x 1 =- 2, x 2 = 1 . 当 x 变化时 , f' ( x ), f ( x ) 的变化情况如下表 : 所以当 x= 1 时 , f ( x ) 有极小值 , 并且极小值为 f (1) = (1 - 1 - 1)e 1 - 1 =- 1, 故选 A . - 27 - 规律总结 拓展演练 3 . (2018 全国 Ⅱ , 理 13)曲线 y= 2ln( x+ 1)在点(0,0)处的切线方程为 　　　　　 .   y= 2 x ∴ 当 x= 0 时 , y'= 2, ∴ 曲线在 (0,0) 处的切线方程为 y= 2 x. - 28 - 规律总结 拓展演练 4 . (1) 讨论函数 f ( x ) = e x 的单调性 , 并证明当 x> 0 时 ,( x- 2)e x +x+ 2 > 0; (2 ) 证明 : 当 a ∈ [0,1) 时 , 函数 g ( x ) = ( x> 0) 有最小值 . 设 g ( x ) 的最小值为 h ( a ), 求函数 h ( a ) 的值域 . 解： (1) f ( x ) 的定义域为 ( -∞ , - 2) ∪ ( - 2, +∞ ) . 当且仅当 x= 0 时 , f' ( x ) = 0, 所以 f ( x ) 在 ( -∞ , - 2),( - 2, +∞ ) 单调递增 . 因此当 x ∈ (0, +∞ ) 时 , f ( x ) >f (0) =- 1 . 所以 ( x- 2)e x >- ( x+ 2),( x- 2)e x +x+ 2 > 0 . - 29 - 规律总结 拓展演练 由 (1) 知 , f ( x ) +a 单调递增 . 对任意 a ∈ [0,1), f (0) +a=a- 1 < 0, f (2) +a=a ≥ 0 . 因此 , 存在唯一 x a ∈ (0,2], 使得 f ( x a ) +a= 0, 即 g' ( x a ) = 0 . 当 0 x a 时 , f ( x ) +a> 0, g' ( x ) > 0, g ( x ) 单调递增 . - 30 - 规律总结 拓展演练