高考数学 17-18版 附加题部分 第2章 第64课 课时分层训练8 11页

课时分层训练(八)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ ‎1．(2017·苏州模拟)如图6410，在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，A1E＝CF＝1.‎ 图6410‎ ‎(1)求两条异面直线AC1与D1E所成角的余弦值；‎ ‎(2)求直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值．‎ ‎[解]　∵DA，DC，DD1两两垂直，‎ ‎∴以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，‎ 建立空间直角坐标系，如图所示，‎ ‎∵棱长为3，A1E＝CF＝1，‎ 则D(0,0,0)，A(3,0,0)，B(3,3,0)，C(0,3,0)，D1(0,0,3)，A1(3,0,3)，B1(3,3,3)，C1(0,3,3)，E(3,0,2)，F(0,3,1)，‎ ‎∴＝(－3,3,3)，＝(3,0，－1)‎ ‎∴cos〈，〉＝＝－.所以两条异面直线AG与D1E所成的余弦值为－.‎ ‎(2)设平面BED1F的法向量是n＝(x，y，z)，又∵＝(0，－3,2)，＝(－3,0,1)，‎ n⊥，n⊥，∴n·＝n·＝0，‎ 即，令z＝3，则x＝1，y＝2，所以n＝(1,2,3)，又＝(－3,3,3)，‎ ‎∴cos〈，n〉＝＝，‎ ‎∴直线AC1与平面BED1F所成角是－〈，n〉，‎ 它的正弦值是sin＝cos〈，n〉＝.‎ ‎2．(2017·南京模拟)如图6411，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．‎ 图6411‎ ‎(1)求二面角ADFB的大小；‎ ‎(2)试在线段AC上确定一点P，使PF与BC所成的角是60°. ‎ ‎【导学号：62172344】‎ ‎[解]　(1)以，，为正交基底，建立空间直角坐标系，‎ 则E(0,0,1)，D(，0,0)，F(，，1)，B(0，，0)，A(，，0)，＝(，－，0)，＝(，0,1)．平面ADF的法向量t＝(1,0,0)，‎ 设平面DFB法向量n＝(a，b，c)，则n·＝0，n·＝0，‎ 所以令a＝1，得b＝1，c＝－，所以n＝(1,1，－)．‎ 设二面角ADFB的大小为θ，‎ 从而cos θ＝|cos 〈n，t〉|＝，∴θ＝60°，‎ 故二面角ADFB的大小为60°.‎ ‎(2)依题意，设P(a，a,0)(0≤a≤)，则＝(－a，－a,1)，＝(0，，0)．‎ 因为〈，〉＝60°，所以cos 60°＝＝，解得a＝，‎ 所以点P应在线段AC的中点处．‎ ‎3．(2017·泰州期末)如图6412，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4.‎ ‎(1)设＝λ，异面直线AC1与CD所成角的余弦值为，求λ的值；‎ 图6412‎ ‎(2)若点D是AB的中点，求二面角DCB1B的余弦值．‎ ‎[解]　(1)由AC＝3，BC＝4，AB＝5得∠ACB＝90°，‎ 以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，设D(x，y，z)，则由＝λ得＝(3－3λ，4λ，0)，‎ 而＝(－3,0,4)，‎ 根据＝，‎ 解得λ＝或λ＝－.‎ ‎(2)＝，＝(0,4,4)，可取平面CDB1的一个法向量为n1‎ ‎＝(4，－3,3)．‎ 而平面CBB1的一个法向量为n2＝(1,0,0)，并且〈n1n2〉与二面角DCB1B相等，‎ 所以二面角DCB1B的余弦值为cos θ＝cos〈n1，n2〉＝.‎ ‎4．(2017·扬州期中)如图6413，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥AC，AB＝3，AC＝4，B1C⊥AC1.‎ 图6413‎ ‎(1)求AA1的长．‎ ‎(2)在线段BB1存在点P，使得二面角PA1CA大小的余弦值为，求的值. 【导学号：62172345】‎ ‎[解]　(1)以AB，AC，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标，‎ 设BB1＝t，‎ 则A(0,0,0)，C1(0,4，t)，B1(3,0，t)，C(0,4,0)‎ ‎∴＝(0,4，t)，‎ ＝(－3,4，－t)‎ ‎∵B1C⊥AC1，‎ ‎∴·＝0，‎ 即16－t2＝0，由t>0，解得t＝4，即AA1的长为4.‎ ‎(2)设P(3,0，m)，又A(0,0,0)，C(0,4,0)，A1(0,0,4)‎ ‎∴＝(0,4，－4)，＝(3,0，m－4)，且0≤m≤4‎ 设n＝(x，y，z)为平面PA1C的法向量，‎ ‎∴n⊥，n⊥，‎ ‎∴取z＝1，解得y＝1，x＝，‎ ‎∴n＝为平面PA1C的一个法向量．‎ 又知＝(3,0,0)为平面A1CA的一个法向量，则cos〈n，〉＝.‎ ‎∵二面角PA1C1A大小的余弦值为，‎ ‎∴＝，‎ 解得m＝1，∴＝.‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．(2017·苏州市期中)在如图6414所示的四棱锥SABCD中，SA⊥底面ABCD，∠DAB＝∠ABC＝90°，SA＝AB＝BC＝a，AD＝3a(a>0)，E为线段BS上的一个动点．‎ 图6414‎ ‎(1)证明DE和SC不可能垂直；‎ ‎(2)当点E为线段BS的三等分点(靠近B)时，求二面角SCDE的余弦值．‎ ‎[解]　(1)证明：∵SA⊥底面ABCD，∠DAB＝90°，‎ ‎∴AB，AD，AS两两垂直．‎ 以A为原点，AB，AD，AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)．‎ 则S(0,0，a)，C(a，a,0)，D(0,3a,0)(a>0)，‎ ‎∵SA＝AB＝a且SA⊥AB，‎ ‎∴设E(x,0，a－x)其中0≤x≤a，‎ ‎∴＝(x，－3a，a－x)，＝(a，a，－a)，‎ 假设DE和SC垂直，则·＝0，‎ 即ax－3a2－a2＋ax＝2ax－4a2＝0，解得x＝2a，‎ 这与0≤x≤a矛盾，假设不成立，所以DE和SC不可能垂直．‎ ‎(2)∵E为线段BS的三等分点(靠近B)，‎ ‎∴E.‎ 设平面SCD的一个法向量是n1＝(x1，y1，z1)，平面CDE的一个法向量是n2＝(x2，y2，z2)，‎ ‎∵＝(－a,2a,0)，＝(0,3a，－a)，‎ ‎∴，‎ 即，即，取n1＝(2,1,3)，‎ ‎∵＝(－a,2a,0)，‎ ＝，‎ ‎∴，即，‎ 即，‎ 取n2＝(2,1,5)，‎ 设二面角SCDE的平面角大小为θ，由图可知θ为锐角，‎ ‎∴cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝＝，‎ 即二面角SCDE的余弦值为.‎ ‎2．(2017·南通模拟)如图6415，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，且PA＝AB＝BC＝AD＝1，PA⊥平面ABCD.‎ 图6415‎ ‎(1)求PB与平面PCD所成角的正弦值；‎ ‎(2)棱PD上是否存在一点E满足∠AEC＝90°？若存在 ，求AE的长；若不存在，说明理由．‎ ‎[解]　(1)依题意，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz，‎ 则P(0,0,1)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，‎ 从而＝(1,0，－1)，＝(1,1，－1)，＝(0,2，－1)，‎ 设平面PCD的法向量为n＝(a，b，c)，则n·＝0，且n·＝0，即a＋b－c＝0，且2b－c＝0，不妨取c＝2，则b＝1，a＝1，所以平面PCD的一个法向量为n＝(1,1,2)，此时cos〈，n〉＝＝－，‎ 所以PB与平面PCD所成角的正弦值为.‎ ‎(2)设＝λ(0≤λ≤1)，则E(0,2λ，1－λ)，‎ 则＝(－1,2λ－1,1－λ)，＝(0,2λ，1－λ)，‎ 由∠AEC＝90°得，‎ ·＝2λ(2λ－1)＋(1－λ)2＝0，‎ 化简得，5λ2－4λ＋1＝0，该方程无解，‎ 所以，棱PD上不存在一点E满足∠AEC＝90°.‎ ‎3．(2017·南京盐城一模)直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥AC，AB＝2，AC ‎＝4，AA1＝2，＝λ.‎ 图6416‎ ‎(1)若λ＝1，求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；‎ ‎(2)若二面角B1A1C1D的大小为60°，求实数λ的值．‎ ‎[解]　分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)．‎ 则A(0,0,0，)B(2,0,0)，C(0,4,0)，A1(0,0,2)，B1(2,0,2)，C1(0,4,2)‎ ‎(1)当λ＝1时，D为BC的中点，所以D(1,2,0)，＝(1，－2,2)，＝(0,4,0)，＝(1,2，－2)，‎ 设平面A1C1D的法向量为n1＝(x，y，z)‎ 则所以取n1＝(2,0,1)，又cos〈，n1〉＝＝＝ ，‎ 所以直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值为.‎ ‎(2)∵＝λ，∴D，‎ ‎∴＝(0,4,0)，＝，‎ 设平面A1C1D的法向量为n1＝(x，y，z)，‎ 则 所以取n1＝(λ＋1,0,1)．‎ 又平面A1B1C1的一个法向量为n2＝(0,0,1)，‎ 由题意得|cos〈n1，n2〉|＝，‎ 所以＝，解得λ＝－1或λ＝－－1(不合题意，舍去)．‎ 所以实数λ的值为－1.‎ ‎4．(2017·无锡模拟) 如图6417，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧面ADD1A1⊥底面ABCD，D1A＝D1D＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2.‎ 图6417‎ ‎(1)在平面ABCD内找一点F，使得D1F⊥平面AB1C；‎ ‎(2)求二面角C－B1A－B的平面角的余弦值．‎ ‎[解]　(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，‎ 则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D1(0,1,1)，B1(1，－1,1)，设F(a，b,0)，则＝(a，b－1，－1)，‎ 由 得a＝b＝，‎ 所以F，‎ 即F为AC的中点．‎ ‎(2)由(1)可取平面B1AC的一个法向量n1＝＝.‎ 设平面B1AB的法向量n2＝(x，y，z)，‎ 由得 取n2＝(0,1,1)．‎ 则cos〈n1，n2〉＝＝－，‎ 所以二面角CB1AB的平面角的余弦值为.‎