2018届二轮复习数列的综合问题课件（江苏专用） 40页

第 3 讲　 数列 的综合问题 专题四　数列、推理与证明 高考真题体验 热点分类突破 高考押题精练 栏目索引 高考真题体验 1 2 1. (2015· 湖南 ) 已知 a ＞ 0 ，函数 f ( x ) ＝ e ax sin x ( x ∈ [0 ，＋ ∞ )). 记 x n 为 f ( x ) 的从小到大的第 n ( n ∈ N * ) 个极值点，证明：数列 { f ( x n )} 是等比数列 . 证明　 f ′ ( x ) ＝ a e ax sin x ＋ e ax cos x 1 2 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ，由 x ≥ 0 得 x ＋ φ ＝ m π ，即 x ＝ m π － φ ， m ∈ N * ， 对 k ∈ N ，若 2 k π ＜ x ＋ φ ＜ (2 k ＋ 1)π ， 即 2 k π － φ ＜ x ＜ (2 k ＋ 1)π － φ ，则 f ′ ( x ) ＞ 0 ； 若 (2 k ＋ 1)π ＜ x ＋ φ ＜ (2 k ＋ 2)π ， 即 (2 k ＋ 1)π － φ ＜ x ＜ (2 k ＋ 2)π － φ ，则 f ′ ( x ) ＜ 0. 因此，在区间 (( m － 1)π ， m π － φ ) 与 ( m π － φ ， m π) 上， f ′ ( x ) 的符号总相反 . 1 2 于是当 x ＝ m π － φ ( m ∈ N * ) 时， f ( x ) 取得极值 ， 所以 x n ＝ n π － φ ( n ∈ N * ). 此时， f ( x n ) ＝ e a ( n π － φ ) sin( n π － φ ) ＝ ( － 1) n ＋ 1 e a ( n π － φ ) sin φ . 故数列 { f ( x n )} 是首项为 f ( x 1 ) ＝ e a (π － φ ) ·sin φ ，公比为－ e a π 的等比数列 . 1 2 2. (2014· 课标全国 Ⅱ ) 已知数列 { a n } 满足 a 1 ＝ 1 ， a n ＋ 1 ＝ 3 a n ＋ 1. 1 2 因为当 n ≥ 1 时， 3 n － 1 ≥ 2 × 3 n － 1 ， 考情考向分析 1. 数列的综合问题，往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式 . 2. 以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围 . 3. 将数列与实际应用问题相结合，考查数学建模和数学应用 . 热点一　利用 S n ， a n 的关系式求 a n 热点分类突破 1. 数列 { a n } 中， a n 与 S n 的关系： 2. 求数列通项的常用方法 (1) 公式法：利用等差 ( 比 ) 数列求通项公式 . (2) 在已知数列 { a n } 中，满足 a n ＋ 1 － a n ＝ f ( n ) ，且 f (1) ＋ f (2) ＋ … ＋ f ( n ) 可求，则可用累加法求数列的通项 a n . (4) 将递推关系进行变换，转化为常见数列 ( 等差、等比数列 ). 又 S 1 ＝ a 1 ＝ 1 ， 思维升华 给出 S n 与 a n 的递推关系，求 a n ，常用思路：一是利用 S n － S n － 1 ＝ a n ( n ≥ 2) 转化为 a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为 S n 的递推关系，先求出 S n 与 n 之间的关系，再求 a n . 解得 a 1 ＝ 2 或 a 1 ＝ 0( 舍去 ). 因为 a n >0 ，所以 a n ＋ a n － 1 ≠ 0 ，则 a n － a n － 1 ＝ 2 ， 所以数列 { a n } 是首项为 2 ，公差为 2 的等差数列， 故 a n ＝ 2 n . 答案　 a n ＝ 2 n 热点二　数列与函数、不等式的综合问题 数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出 S n 的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化 . 数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题 . 例 2 　 已知二次函数 y ＝ f ( x ) 的图象经过坐标原点，其导函数为 f ′ ( x ) ＝ 6 x － 2 ，数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，点 ( n ， S n )( n ∈ N * ) 均在函数 y ＝ f ( x ) 的图象上 . (1) 求数列 { a n } 的通项公式； 解　 设二次函数 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ bx ( a ≠ 0) ， 则 f ′ ( x ) ＝ 2 ax ＋ b . 由于 f ′ ( x ) ＝ 6 x － 2 ，得 a ＝ 3 ， b ＝－ 2 ， 所以 f ( x ) ＝ 3 x 2 － 2 x . 又因为点 ( n ， S n )( n ∈ N * ) 均在函数 y ＝ f ( x ) 的图象上， 所以 S n ＝ 3 n 2 － 2 n . 当 n ≥ 2 时， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ 3 n 2 － 2 n － [ 3( n － 1) 2 － 2( n － 1 ) ] ＝ 6 n － 5 ； 当 n ＝ 1 时， a 1 ＝ S 1 ＝ 3 × 1 2 － 2 ＝ 6 × 1 － 5 ， 所以 a n ＝ 6 n － 5( n ∈ N * ). 所以满足要求的最小正整数为 10 . 思维升华 解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点： (1) 数列是一类特殊的函数，函数定义域是正整数，在求数列最值或不等关系时要特别重视； (2) 解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件； (3) 不等关系证明中进行适当的放缩 . 跟踪演练 2 　 (2015· 安徽 ) 设 n ∈ N * ， x n 是曲线 y ＝ x 2 n ＋ 2 ＋ 1 在点 (1,2) 处的切线与 x 轴交点的横坐标 . (1) 求数列 { x n } 的通项公式； 解　 y ′ ＝ ( x 2 n ＋ 2 ＋ 1) ′ ＝ (2 n ＋ 2) x 2 n ＋ 1 ， 曲线 y ＝ x 2 n ＋ 2 ＋ 1 在点 (1,2) 处的切线斜率为 2 n ＋ 2 ， 从而切线方程为 y － 2 ＝ (2 n ＋ 2)( x － 1). 证明　 由题设和 (1) 中的计算结果知 热点三　数列的实际应用 用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型 —— 数列模型，弄清所构造的数列是等差模型还是等比模型，它的首项是什么，项数是多少，然后转化为解数列问题 . 求解时，要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题，还是解不等式问题，还是最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果 . 例 3 　 自从祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在 11 个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受 “ 绿色通道 ” 的申请、受理、审批一站式服务，某台商第一年年初到大陆就创办了一座 120 万元的蔬菜加工厂 M ， M 的价值在使用过程中逐年减少，从第二年到第六年，每年年初 M 的价值比上年年初减少 10 万元，从第七年开始，每年年初 M 的价值为上年年初的 75%. (1) 求第 n 年年初 M 的价值 a n 的表达式； 解　 当 n ≤ 6 时，数列 { a n } 是首项为 120 ，公差为－ 10 的等差数列， 故 a n ＝ 120 － 10( n － 1) ＝ 130 － 10 n ， 当 n ≥ 7 时，数列 { a n } 从 a 6 开始的项构成一个以 a 6 ＝ 130 － 60 ＝ 70 为首项， 证明　 设 S n 表示数列 { a n } 的前 n 项和，由等差数列和等比数列的求和公式，得 当 1 ≤ n ≤ 6 时， S n ＝ 120 n － 5 n ( n － 1) ， 当 n ≥ 7 时，由于 S 6 ＝ 570 ， 故 S n ＝ 570 ＋ ( a 7 ＋ a 8 ＋ … ＋ a n ) 因为 { a n } 是递减数列，所以 { A n } 是递减数列 . 所以必须在第九年年初对 M 更新 . 思维升华 常见数列应用题模型的求解方法 (1) 产值模型：原来产值的基础数为 N ，平均增长率为 p ，对于时间 n 的总产值 y ＝ N (1 ＋ p ) n . (2) 银行储蓄复利公式：按复利计算利息的一种储蓄，本金为 a 元，每期的利率为 r ，存期为 n ，则本利和 y ＝ a (1 ＋ r ) n . 思维升华 (3) 银行储蓄单利公式：利息按单利计算，本金为 a 元，每期的利率为 r ，存期为 n ，则本利和 y ＝ a (1 ＋ nr ). 跟踪演练 3 　 某年 “ 十一 ” 期间，北京十家重点公园举行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨 6 时 30 分有 2 人进入公园，接下来的第一个 30 分钟内有 4 人进去 1 人出来，第二个 30 分钟内有 8 人进去 2 人出来，第三个 30 分钟内有 16 人进去 3 人出来，第四个 30 分钟内有 32 人进去 4 人出来 …… 按照这种规律进行下去，到上午 11 时 30 分公园内的人数是 ________. 解析　 由题意，可知从早晨 6 时 30 分开始， 接下来的每个 30 分钟内进入的人数构成以 4 为首项， 2 为公比的等比数列， 出来的人数构成以 1 为首项， 1 为公差的等差数列， 记第 n 个 30 分钟内进入公园的人数为 a n ， 第 n 个 30 分钟内出来的人数为 b n ， 则 a n ＝ 4 × 2 n － 1 ， b n ＝ n ， 则上午 11 时 30 分公园内的人数为 答案　 4 039 高考押题精练 (1) 求数列 { a n } 和 { b n } 的通项公式； 押题依据　 数列与函数、不等式的综合问题是近几年高考的热点，此类问题要求考生利用函数关系确定数列的特征，在不等式的证明中恰当使用放缩，具有较强的综合性 . 故直线 l 的方程为 y ＝ 2 [ x － ( － 1) ] ，即 y ＝ 2 x ＋ 2. 所以数列 { a n } 的通项公式为 a n ＝ 2 n ＋ 2. 把点 C (1,2) 代入函数 f ( x ) ＝ a x ，得 a ＝ 2 ， 所以数列 { b n } 的前 n 项和 S n ＝ f ( n ) － 1 ＝ 2 n － 1. 当 n ＝ 1 时， b 1 ＝ S 1 ＝ 1 ； 当 n ≥ 2 时， b n ＝ S n － S n － 1 ＝ 2 n － 2 n － 1 ＝ 2 n － 1 ， 当 n ＝ 1 时也适合 ， 所以 数列 { b n } 的通项公式为 b n ＝ 2 n － 1 .