四川省泸县第四中学2020届高三下学期第二次高考适应性考试数学（理）试题 12页

四川省泸县第四中学高2020届高考适应性考试 理科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知为虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点在 ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．已知集合，，则中元素的个数为 ‎ A．3 B．2 C．1 D．0‎ ‎3．已知条件，条件直线与直线平行，则是的 ‎ A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．函数的大致图象是 ‎ A．B．C． ‎ D．‎ ‎5．已知数列 是公比为 的等比数列，且 ， ， 成等差数列，则公比 的值为 ‎ A． B． C． 或 D． 或 ‎ ‎6．的展开式中的系数为( )‎ A．－30 B．－40 C．40 D．50‎ ‎7．已知类产品共两件，类产品共三件，混放在一起，现需要通过检测将其区分开来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件类产品或者检测出3件类产品时，检测结束，则第一次检测出类产品，第二次检测出类产品的概率为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．设长方体的长、宽、高分别为，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 A．3a2 B．6a2 C．12a2 D．24a2‎ ‎9．给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有 ‎ A．12种 B．18种 C．24种 D．64种 ‎10．关于函数有下述四个结论：‎ ‎①是偶函数；②的最大值为；‎ ‎③在有个零点；④在区间单调递增.‎ 其中所有正确结论的编号是 ‎ A．①② B．①③ C．②④ D．①④‎ ‎11．已知双曲线，点是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数，，若成立，则的最小值是 ‎ A． B． C． D．‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．已知随机变量服从正态分布，则___________.‎ ‎14．已知实数，满足，则的最大值为______.‎ ‎15．已知，则满足的的取值范围为_______．‎ ‎16．函数的值域为_________．‎ 三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17．（12分）△的内角的对边分别为,且．‎ ‎(I)求角的大小 ‎（II）若,△的面积,求△的周长．‎ ‎18．（12分）某百货商店今年春节期间举行促销活动，规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商店经理对春节前天参加抽奖活动的人数进行统计，表示第天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎17‎ ‎(I)经过进一步统计分析，发现与具有线性相关关系．请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；‎ ‎（II）该商店规定：若抽中“一等奖”，可领取600元购物券；抽中“二等奖”可领取300元购物券；抽中“谢谢惠顾”，则没有购物券．已知一次抽奖活动获得“一等奖”的概率为，获得“二等奖”的概率为．现有张、王两位先生参与了本次活动，且他们是否中奖相互独立，求此二人所获购物券总金额的分布列及数学期望．‎ 参考公式：，，，．‎ ‎19．（12分）如图在直角中，为直角，，，分别为，的中点，将沿折起，使点到达点的位置，连接，，为的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：面；‎ ‎（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．‎ ‎20．（12分）已知抛物线和圆，倾斜角为45°的直线过抛物线的焦点，且与圆相切．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（II）动点在抛物线的准线上，动点在上，若在点处的切线交轴于点，设．求证点在定直线上，并求该定直线的方程．‎ ‎21．（12分）已知函数 ‎（Ⅰ）若讨论的单调性;‎ ‎（II）当时,若函数与的图象有且仅有一个交点,求的值(其中表示不超过的最大整数,如.‎ 参考数据:‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在平面直角坐标系中，圆的参数方程（为参数），在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴的非负半轴为极轴）中，直线的方程为.‎ ‎（Ⅰ）求圆的普通方程及直线的直角坐标方程；‎ ‎（II）若圆心到直线的距离等于2，求的值.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）解不等式；‎ ‎（II）若对于，，有，，求证：．‎ 四川省泸县第四中学高2020届高考适应性考试 理科数学参考答案 ‎1．B 2．C 3．C 4．C 5．D 6．C 7．D 8．B 9．C 10．D 11．B 12．A ‎13． 14． 15． 16．‎ ‎17．（I）∵，∴． ‎ ‎∴， ‎ ‎∴， ‎ ‎∴，∴，∴． ‎ ‎（II）依题意得：∴，‎ ‎∴，∴， ∴，‎ ‎∴的周长为．‎ ‎18．（I）依题意：，‎ ‎，，，‎ ‎，，‎ 则关于的线性回归方程为．‎ ‎（II）二人所获购物券总金额的可能取值有、、、、元，它们所对应的概率分别为：‎ ‎，，，‎ ‎，．‎ 所以，总金额的分布列如下表：‎ ‎0‎ ‎300‎ ‎600‎ ‎900‎ ‎1200‎ 总金额的数学期望为元．‎ ‎19．证明：（Ⅰ ）取中点，连结、，‎ ‎∵ ，，∴ 四边形是平行四边形，‎ ‎∵ ，，，∴ ，‎ ‎∴ ，∴，在中，，‎ 又∵ 为的中点，∴，‎ 又∵ ，∴．‎ 解：（Ⅱ）∵，，，‎ ‎∴ ，‎ 以为原点，、、所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，‎ 设，则，，，，‎ ‎∴ ，，，‎ 设面的法向量，则，取，得，‎ 同理，得平面的法向量，设二面角的平面角为，‎ 则，∴ 二面角的余弦值为．‎ ‎20．解：（1）依题意设直线的方程为，‎ 由已知得：圆的圆心，半径，因为直线与圆相切，‎ 所以圆心到直线的距离，即，解得或（舍去）．‎ 所以；‎ ‎（2）依题意设，由（1）知抛物线方程为，‎ 所以，所以，设，则以为切点的切线的斜率为，‎ 所以切线的方程为．‎ 令，，即交轴于点坐标为，‎ 所以， ，‎ ‎，．设点坐标为，则，‎ 所以点在定直线上．‎ ‎21．解：（1）‎ 对于函数 ‎ 当时，则在单调递减；‎ 当时，令，则，解得 ‎ 在单调递减；‎ 令，解得，所以在单调递增．‎ ‎（2）且两函数有且仅有一个交点 ，则方程 即方程在只有一个根 令，则 令，则 在单调递减，在上单调递增，故 注意到在无零点，在仅有一个变号的零点 在 单调递减，在单调递增，注意到 根据题意为 的唯一零点即 消去，得：‎ 令，可知函数在上单调递增 ‎，‎ ‎22．（Ⅰ）消去参数，得到圆的普通方程为.‎ 由，得.所以直线的直角坐标方程为.‎ ‎（Ⅱ）依题意，圆心到直线的距离等于2，即，解得.‎ ‎23．（1）由得，‎ 则或或 解得，或，或，即，‎ 所以不等式的解集为.‎ ‎（2）证明：由，，‎ 所以.‎