【数学】2020届一轮复习（理）通用版1-1集合学案 12页

第一节集__合 ‎1．集合的相关概念 ‎(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性❶.‎ ‎(2)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.‎ ‎(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．‎ ‎(4)五个特定的集合：‎ 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋‎ Z Q R ‎2．集合间的基本关系 表示 关系　　‎ 文字语言 符号语言 记法 基本关系 子集 集合A的元素都是集合B的元素 x∈A⇒x∈B 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A A⊆B，且∃x0∈B，‎ x0∉A AB或BA 相等 集合A，B的元素完全相同 A⊆B，B⊆A A＝B 空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集 ‎∀x，x∉∅，∅⊆A，∅B(B≠∅)‎ ‎ ‎3．集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为∁UA❹‎ 图形表示 意义 ‎{x|x∈A，或x∈B}‎ ‎{x|x∈A，且x∈B}‎ ‎{x|x∈U，且x∉A}‎ 元素互异性，即集合中不可能出现相同的元素．此性质常用于题目中对参数的取舍．‎ 任何集合是其自身的子集．‎ ‎(1)注意∅，{0}和{∅}的区别：∅是集合，不含任何元素；{0}含有一个元素0；{∅}含有一个元素∅，且∅∈{∅}和∅⊆{∅}都正确．‎ ‎(2)在涉及集合之间的关系时，若未指明集合非空，则要考虑空集的可能性，如若A⊆B，则要考虑A＝∅和A≠∅两种可能.‎ ‎(1)求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件．从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为∁UA.‎ ‎(2)补集∁UA是针对给定的集合A和U(A⊆U)相对而言的一个概念，一个确定的集合A，对于不同的集合U，它的补集不同.‎ ‎[熟记常用结论]‎ ‎1．A⊆B，B⊆C⇒A⊆C；AB，BC⇒AC.‎ ‎2．含有n个元素的集合A＝{a1，a2，…，an}有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．‎ ‎3．A∪∅＝A，A∪A＝A，A∪B＝B∪A，A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)．‎ ‎4．A∩∅＝∅，A∩A＝A，A∩B＝B∩A，A∩B⊆A，A∩B⊆B.‎ ‎5．A∩B＝A∪B⇔A＝B.‎ ‎6．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔(∁UA)⊇(∁UB)⇔A∩(∁UB)＝∅.‎ ‎7．(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)，(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)．‎ ‎8．A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅，∁U(∁UA)＝A，∁AA＝∅，∁A∅＝A.‎ ‎[小题查验基础]‎ 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)‎ ‎(1){x|x≤1}＝{t|t≤1}．(　　)‎ ‎(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　　)‎ ‎(3)任何一个集合都至少有两个子集．(　　)‎ ‎(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(　　)‎ 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×‎ 二、选填题 ‎1．设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是(　　)‎ A．3　　 　B．4　　 　　C．5　　 　　D．6‎ 解析：选C　A中包含的整数元素有－2，－1,0,1,2，共5个，所以A∩Z中的元素个数为5.‎ ‎2．已知集合A＝{y|y＝|x|－1，x∈R}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是(　　)‎ A．－3∈A B．3∉B ‎ C．A∩B＝B D．A∪B＝B 解析：选C　由题意知A＝{y|y≥－1}，B＝{x|x≥2}，故A∩B＝{x|x≥2}＝B.‎ ‎3．设全集U＝{1,2,3,4}，集合S＝{1,3}，T＝{4}，则(∁US)∪T＝(　　)‎ A．{2,4} B．{4} ‎ C．∅ D．{1,3,4}‎ 解析：选A　由补集的定义，得∁US＝{2,4}，从而(∁US)∪T＝{2,4}，故选A.‎ ‎4．集合{－1,0,1}共有________个子集．‎ 解析：因为集合有3个元素，所以集合共有23＝8个子集．‎ 答案：8‎ ‎5．已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．‎ 解析：由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－.当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合元素的互异性可知不满足题意；当m＝－时，m＋2＝，而2m2＋m＝3，故m＝－.‎ 答案：－ 考点一 ‎[基础自学过关] ‎ 集合的含义及表示 ‎ [题组练透]‎ ‎1．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　　)‎ A．9　　　　　　　　　 B．8‎ C．5 D．4‎ 解析：选A　法一：将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，‎ ‎(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A.‎ 法二：根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x2＋y2＝3中有9个整点，即为集合A的元素个数，故选A.‎ ‎2．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝(　　)‎ A. B. C．0 D．0或 解析：选D　当a＝0时，显然成立；当a≠0时，Δ＝(－3)2－8a＝0，即a＝.‎ ‎3．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝(　　)‎ A．1 B．－1‎ C．2 D．－2‎ 解析：选C　因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2.‎ ‎4．已知集合A＝{x∈N|1＜x＜log2k}，若集合A中至少有3个元素，则k的取值范围为(　　)‎ A．(8，＋∞) B．[8，＋∞)‎ C．(16，＋∞) D．[16，＋∞)‎ 解析：选C　因为集合A中至少有3个元素，所以log2k>4，所以k>24＝16，故选C.‎ ‎[名师微点]‎ 与集合中的元素有关问题的求解策略 ‎(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合．‎ ‎(2)集合元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．‎ 考点二 ‎[师生共研过关] ‎ 集合的基本关系 ‎ [典例精析]‎ ‎(1)设P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则(　　)‎ A．P⊆Q B．Q⊆P C．∁RP⊆Q D．Q⊆∁RP ‎(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．‎ ‎[解析]　(1)因为P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}＝{y|y≤1}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y>0}，所以∁RP＝{y|y>1}，所以∁RP⊆Q，故选C.‎ ‎(2)∵B⊆A，‎ ‎∴①若B＝∅，则2m－1＜m＋1，此时m＜2.‎ ‎②若B≠∅，则解得2≤m≤3.‎ 由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为(－∞，3]．‎ ‎[答案]　(1)C　(2)(－∞，3]‎ ‎　　 ‎1．(变条件)在本例(2)中，若“B⊆A”变为“BA”，其他条件不变，如何求解？‎ 解：∵BA，‎ ‎∴①若B＝∅，成立，此时m＜2.‎ ‎②若B≠∅，则或 解得2≤m≤3.‎ 由①②可得m的取值范围为(－∞，3]．‎ ‎2．(变条件)在本例(2)中，若“B⊆A”变为“A⊆B”，其他条件不变，如何求解？‎ 解：若A⊆B，则即所以m的取值范围为∅.‎ ‎[解题技法]‎ ‎1．集合间基本关系的2种判定方法和1个关键 两种方法 ‎(1)化简集合，从表达式中寻找两集合的关系；‎ ‎(2)用列举法(或图示法等)表示各个集合，从元素(或图形)中寻找关系 一个关键 关键是看它们是否具有包含关系，若有包含关系就是子集关系，包括相等和真子集两种关系 ‎2．根据两集合的关系求参数的方法 已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．‎ ‎(1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性；‎ ‎(2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到．‎ ‎[过关训练]‎ ‎1．设M为非空的数集，M⊆{1,2,3}，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有(　　)‎ A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 解析：选A　由题意知，M＝{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}．‎ ‎2．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．‎ 解析：①若B＝∅，则Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2.‎ ‎②若1∈B，则12＋m＋1＝0，‎ 解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；‎ ‎③若2∈B，则22＋2m＋1＝0，‎ 解得m＝－，此时B＝，不合题意．‎ 综上所述，实数m的取值范围为[－2,2)．‎ 答案：[－2,2)‎ 考点三 ‎[师生共研过关] ‎ 集合的基本运算 ‎[典例精析]‎ ‎(1)(2018·天津高考)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0，2,3}，C＝{x∈R|－1≤x＜2}，则(A∪B)∩C＝(　　)‎ A．{－1,1} B．{0,1}‎ C．{－1,0,1} D．{2,3,4}‎ ‎(2)已知集合A＝{x|x2－x－12>0}，B＝{x|x≥m}．若A∩B＝{x|x>4}，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．(－4,3) B．[－3,4]‎ C．(－3,4) D．(－∞，4]‎ ‎[解析]　(1)∵A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，‎ ‎∴A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}．‎ 又C＝{x∈R|－1≤x＜2}，∴(A∪B)∩C＝{－1,0,1}．‎ ‎(2)集合A＝{x|x＜－3或x>4}，‎ ‎∵A∩B＝{x|x>4}，∴－3≤m≤4，故选B.‎ ‎[答案]　(1)C　(2)B ‎[解题技法]‎ ‎1．集合基本运算的方法技巧 ‎(1)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算．‎ ‎(2)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验．‎ ‎2．集合的交、并、补运算口诀 ‎[过关训练]‎ ‎1．[口诀第1句]集合M＝{y|y＝－x2，x∈R}，N＝{x|x2＋y2＝2，x∈R}，则M∩N＝(　　)‎ A．{(－1，－1)，(1，－1)} B．{－1}‎ C．[－1,0] D．[－，0]‎ 解析：选D　由y＝－x2，x∈R，得y≤0，所以集合M＝(－∞，0]，由x2＋y2＝2，x∈R，得N＝[－，]，所以M∩N＝[－，0]，故选D.‎ ‎2．[口诀第2句]若集合A＝{x|－1＜x＜1，x∈R}，B＝{x|y＝，x∈R}，则A∪B＝(　　)‎ A．[0,1) B．(－1，＋∞)‎ C．(－1,1)∪[2，＋∞) D．∅‎ 解析：选C　由题意得B＝{x|x≥2}，所以A∪B＝{x|－1＜x＜1或x≥2}．‎ ‎3．[口诀第3句]已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁RA＝(　　)‎ A．{x|－1＜x＜2} B．{x|－1≤x≤2}‎ C．{x|x＜－1}∪{x|x>2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}‎ 解析：选B　∵x2－x－2>0，‎ ‎∴(x－2)(x＋1)>0，‎ ‎∴x>2或x＜－1，即A＝{x|x>2或x＜－1}．‎ 则∁RA＝{x|－1≤x≤2}．故选B.‎ ‎4．设集合M＝{x|－1≤x＜2}，N＝{x|x＜a}，若M∩N≠∅，则实数a的取值范围是________．‎ 解析：∵M＝{x|－1≤x＜2}，N＝{x|x＜a}，且M∩N≠∅，∴a>－1.‎ 答案：(－1，＋∞)‎ 考点四 ‎[师生共研过关] ‎ 集合的新定义问题 ‎[典例精析]‎ ‎(1)如图所示的Venn图中，A，B是两个非空集合，定义集合A⊗B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝3x，x>0}，则A⊗B为(　　)‎ A．{x|0＜x＜2} B．{x|1＜x≤2}‎ C．{x|0≤x≤1或x≥2} D．{x|0≤x≤1或x>2}‎ ‎(2)给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论：‎ ‎①集合A＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合；‎ ‎②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；‎ ‎③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．‎ 其中正确结论的序号是________．‎ ‎[解析]　(1)因为A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y>1}，A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|1＜x≤‎ ‎2}，所以A⊗B＝∁A∪B(A∩B)＝{x|0≤x≤1或x>2}．‎ ‎(2)①中，－4＋(－2)＝－6∉A，所以①不正确；②中，设n1，n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，k1，k2∈Z，则n1＋n2∈A，n1－n2∈A，所以②正确；③中，令A1＝{n|n＝3k，k∈Z}，A2＝{n|n＝k，k∈Z}，则A1，A2为闭集合，但3k＋k∉(A1∪A2)，故A1∪A2不是闭集合，所以③不正确．‎ ‎[答案]　(1)D　(2)②‎ ‎[解题技法]‎ 解决集合新定义问题的2个策略 紧扣新定义 先分析新定义的特点，常见的新定义有新概念、新公式、新运算和新法则等，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到解题的过程中，这是解答新定义型问题的关键所在 用好集合的性质 集合的性质(集合中元素的性质、集合的运算性质等)是解答集合新定义问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些条件，在关键之处用好集合的性质 ‎[过关训练]‎ ‎1．定义集合的商集运算为＝，已知集合A＝{2,4,6}，B＝，则集合∪B中的元素个数为(　　)‎ A．6 B．7‎ C．8 D．9‎ 解析：选B　由题意知，B＝{0,1,2}，‎ ＝，‎ 则∪B＝，‎ 共有7个元素，故选B.‎ ‎2．设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|log2x＜1}，Q＝{x||x－2|＜1}，那么P－Q＝(　　)‎ A．{x|0＜x＜1} B．{x|0＜x≤1}‎ C．{x|1≤x＜2} D．{x|2≤x＜3}‎ 解析：选B　由log2x＜1，得0＜x＜2，‎ 所以P＝{x|0＜x＜2}．‎ 由|x－2|＜1，得1＜x＜3，‎ 所以Q＝{x|1＜x＜3}．‎ 由题意，得P－Q＝{x|0＜x≤1}. 一、题点全面练 ‎1．已知集合M＝{x|x2＋x－2＝0}，N＝{0,1}，则M∪N＝(　　)‎ A．{－2,0,1}　　　　　 B．{1}‎ C．{0} D．∅‎ 解析：选A　集合M＝{x|x2＋x－2＝0}＝{x|x＝－2或x＝1}＝{－2,1}，N＝{0,1}，则M∪N＝{－2,0,1}．故选A.‎ ‎2．设集合A＝{x|x2－x－2＜0}，集合B＝{x|－1＜x≤1}，则A∩B＝(　　)‎ A．[－1,1] B．(－1,1]‎ C．(－1,2) D．[1,2)‎ 解析：选B　∵A＝{x|x2－x－2＜0}＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|－1＜x≤1}，∴A∩B＝{x|－1＜x≤1}．故选B.‎ ‎3．设集合M＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝k＋2，k∈Z}，则(　　)‎ A．M＝N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N＝∅‎ 解析：选B　∵集合M＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}＝{奇数}，N＝{x|x＝k＋2，k∈Z}＝{整数}，∴M⊆N.故选B.‎ ‎4.设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4}，B＝{1,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是(　　)‎ A．{4} B．{2,4}‎ C．{4,5} D．{1,3,4}‎ 解析：选A　图中阴影部分表示在集合A中但不在集合B中的元素构成的集合，故图中阴影部分所表示的集合是A∩(∁UB)＝{4}，故选A.‎ ‎5．(2018·湖北天门等三地3月联考)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为(　　)‎ A．3 B．4‎ C．5 D．6‎ 解析：选B　a∈{1,2,3}，b∈{4,5}，则M＝{5,6,7,8}，即M中元素的个数为4，故选B.‎ 二、专项培优练 ‎(一)易错专练——不丢怨枉分 ‎1．已知集合M＝{x|y＝lg(2－x)}，N＝{y|y＝＋}，则(　　)‎ A．M⊆N B．N⊆M C．M＝N D．N∈M 解析：选B　∵集合M＝{x|y＝lg(2－x)}＝(－∞，2)，N＝{y|y＝＋}＝{0}，∴N⊆M.故选B.‎ ‎2．(2019·皖南八校联考)已知集合A＝{(x，y)|x2＝4y}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B的真子集个数为(　　)‎ A．1 B．3‎ C．5 D．7‎ 解析：选B　由得或 即A∩B＝{(0,0)，(4,4)}，‎ ‎∴A∩B的真子集个数为22－1＝3.‎ ‎3．已知集合P＝{y|y2－y－2>0}，Q＝{x|x2＋ax＋b≤0}．若P∪Q＝R，且P∩Q＝(2,3]，则a＋b＝(　　)‎ A．－5 B．5‎ C．－1 D．1‎ 解析：选A　因为P＝{y|y2－y－2>0}＝{y|y>2或y＜－1}．由P∪Q＝R及P∩Q＝(2,3]，得Q＝[－1,3]，所以－a＝－1＋3，b＝－1×3，即a＝－2，b＝－3，a＋b＝－5，故选A.‎ ‎4．已知集合M＝，集合N＝，则(　　)‎ A．M∩N＝∅ B．M⊆N C．N⊆M D．M∪N＝M 解析：选B　由题意可知，M＝＝，N＝，所以M⊆N，故选B.‎ ‎5．(2018·安庆二模)已知集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，若B⊆A，则实数a＝(　　)‎ A．－1 B．2‎ C．－1或2 D．1或－1或2‎ 解析：选C　因为B⊆A，所以必有a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.‎ ‎①若a2－a＋1＝3，则a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2.‎ 当a＝－1时，A＝{1,3，－1}，B＝{1,3}，满足条件；‎ 当a＝2时，A＝{1,3,2}，B＝{1,3}，满足条件．‎ ‎②若a2－a＋1＝a，则a2－2a＋1＝0，解得a＝1，‎ 此时集合A＝{1,3,1}，不满足集合中元素的互异性，所以a＝1应舍去．‎ 综上，a＝－1或2.故选C.‎ ‎6．(2018·合肥二模)已知A＝[1，＋∞)，B＝，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．[1，＋∞) B. C． D．(1，＋∞)‎ 解析：选A　因为A∩B≠∅，所以解得a≥1.‎ ‎(二)难点专练——适情自主选 ‎7．已知全集U＝{x∈Z|0＜x＜8}，集合M＝{2,3,5}，N＝{x|x2－8x＋12＝0}，则集合{1,4,7}为(　　)‎ A．M∩(∁UN) B．∁U(M∩N)‎ C．∁U(M∪N) D．(∁UM)∩N 解析：选C　由已知得U＝{1,2,3,4,5,6,7}，N＝{2,6}，M∩(∁UN)＝{2,3,5}∩{1,3,4,5,7}＝{3,5}，M∩N＝{2}，∁U(M∩N)＝{1,3,4,5,6,7}，M∪N＝{2,3,5,6}，∁U(M∪N)＝{1,4,7}，(∁UM)∩N＝{1,4,6,7}∩{2,6}＝{6}，故选C.‎ ‎8．(2018·日照联考)已知集合M＝，N＝，则M∩N＝(　　)‎ A．∅ B．{(4,0)，(3,0)}‎ C．[－3,3] D．[－4,4]‎ 解析：选D　由题意可得M＝{x|－4≤x≤4}，N＝{y|y∈R}，所以M∩N＝[－4,4]．故选D.‎ ‎9．(2019·河南八市质检)在实数集R上定义运算*：x*y＝x·(1－y)．若关于x的不等式x*(x－a)>0的解集是集合{x|－1≤x≤1}的子集，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．[0,2] B．[－2，－1)∪(－1,0]‎ C．[0,1)∪(1,2] D．[－2,0]‎ 解析：选D　依题意可得x(1－x＋a)>0.因为其解集为{x|－1≤x≤1}的子集，所以当a≠－1时，0＜1＋a≤1或－1≤1＋a＜0，即－1＜a≤0或－2≤a＜－1.当a＝－1时，x(1－x＋a)>0的解集为空集，符合题意．所以－2≤a≤0.‎ ‎10．非空数集A满足：(1)0∉A；(2)若∀x∈A，有∈A，则称A是“互倒集”．给出以下数集：‎ ‎①{x∈R|x2＋ax＋1＝0}；‎ ‎②{x|x2－4x＋1＜0}；‎ ‎③；‎ ‎④.‎ 其中“互倒集”的个数是(　　)‎ A．4 B．3‎ C．2 D．1‎ 解析：选C　对于①，当－2＜a＜2时为空集，所以①不是“互倒集”；对于②，{x|x2－4x＋1＜0}＝{x|2－＜x＜2＋}，所以＜＜，即2－＜＜2＋，所以②是“互倒集”；对于③，y′＝≥0，故函数y＝是增函数，当x∈时，y∈[－e,0)，当x∈(1，e]时，y∈，所以③不是“互倒集”；对于④，y∈∪＝且∈，所以④是“互倒集”．故选C.‎ ‎11．已知集合A＝{x|3≤3x≤27}，B＝{x|log2x>1}．‎ ‎(1)分别求A∩B，(∁RB)∪A；‎ ‎(2)已知集合C＝{x|1＜x＜a}，若C⊆A，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)∵3≤3x≤27，即31≤3x≤33，‎ ‎∴1≤x≤3，∴A＝{x|1≤x≤3}．‎ ‎∵log2x>1，即log2x>log22，‎ ‎∴x>2，∴B＝{x|x>2}．‎ ‎∴A∩B＝{x|2＜x≤3}．‎ ‎∴∁RB＝{x|x≤2}，‎ ‎∴(∁RB)∪A＝{x|x≤3}．‎ ‎(2)由(1)知A＝{x|1≤x≤3}，C⊆A.‎ 当C为空集时，满足C⊆A，a≤1；‎ 当C为非空集合时，可得1＜a≤3.‎ 综上所述，实数a的取值范围是(－∞，3]．‎