江西省上饶市2020届高三下学期第一次联考数学（文）试题 10页

上饶市2020届六校高三第一次联考 ‎（上饶市一中、上饶市二中、广信中学、玉山一中、天佑中学、余干中学）‎ 文科数学试卷 第Ⅰ卷 满分：150分 考试时间：120分钟 ‎ 一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.‎ ‎1. 已知集合，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 若复数为纯虚数，则（ ）‎ A. B. ‎13 ‎C. 10 D. ‎ ‎3. 函数图象的大致形状是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4. 给出以下命题：‎ ‎①已知命题：，，则：，；‎ ‎②已知，是的充要条件；‎ ‎③命题“若，则的否命题为真命题”.‎ 在这3个命题中，其中真命题的个数为（ ）‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎5. 设函数，若，，，则，，的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6. 已知非零向量，满足，且，若，的夹角为，则实数的值为（ ）‎ A. 4 B. ‎3 ‎C. 2 D. ‎ ‎7. 甲、乙两班在我校举行的“不忘初心，牢记使命”合唱比赛中，7位评委的评分情况如茎叶图所示，其中甲班成绩的中位数是81，乙班成绩的平均数是86，若正实数、满足：，，，成等比数列，则的最小值为（ ）‎ A. 6 B. ‎8 ‎C. D. ‎ ‎8. 若双曲线：的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎9. 在中，角，，的对边分别是，，，且面积为，若，，则角等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10. 已知三棱锥中，平面，中两直角边，，若三棱锥的体积为10，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11. 已知函数，过点，，当 ‎，的最大值为9，则的值为（ ）‎ A. 2 B. C. 2和 D. ‎ ‎12. 已知函数，若有且仅有两个整数使得，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 函数的图象在点处的切线方程为______.‎ ‎14. 设变量，满足约束条件，则的最大值是______.‎ ‎15. 已知等比数列的公比不为1，且前项和为，若满足，，成等差数列，则______.‎ ‎16. 如图，在矩形与扇形拼接而成的平面图形中，，，，点在弧上，在上，.设，则当平面区域（阴影部分）的面积取到最大值时______.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分.‎ ‎17. 已知等差数列的前项和为，且，，，成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎18. 如图所示，在四棱锥中，，平面平面，且为边长为的等边三角形.过作，使得四边形为菱形，连接，，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求多面体的体积.‎ ‎19. 环境问题是当今世界共同关注的问题，我国环保总局根据空气污染指数浓度，制定了空气质量标准：‎ 空气污染指数 空气质量等级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 某市政府为了打造美丽城市，节能减排，从2010年开始考查了连续六年11月份的空气污染指数，绘制了频率分布直方图，经过分析研究，决定从‎2016年11月1日起 在空气质量重度污染和严重污染的日子对机动车辆限号出行，即车牌尾号为单号的车辆单号出行，车牌尾号为双号的车辆双号出行（尾号为字母的，前13个视为单号，后13个视为双号）.‎ ‎（1）某人计划11月份开车出行，求因空气污染被限号出行的概率；‎ ‎（2）该市环保局为了调查汽车尾气排放对空气质量的影响，对限行三年来的11月份共90天的空气质量进行统计，其结果如表：‎ 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 天数 ‎16‎ ‎39‎ ‎18‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎2‎ 根据限行前6年180天与限行后90天的数据，计算并填写列联表，并回答是否有的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关.‎ 空气质量优良 空气质量污染 合计 限行前 限行后 合计 参考数据：‎ ‎，其中 ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎20. 已知抛物线：的焦点为，为抛物线上一点，当的横坐标为1时，.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）已知过定点的直线：与抛物线相交于，两点，若恒为定值，求的值.‎ ‎21. 已知函数，，.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围 请考生在第22、23题中任选一题做作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做题时请写清题号.‎ ‎22. 选修4-4：极坐标与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若、为曲线上的两点，且，求的最大值.‎ ‎23. 选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若函数的最小值记为，设，，且有，求的最小值.‎ 上饶市2020届六校高三第一次联考 数学答案（文科）‎ 一、选择题（12×5=60分）‎ ‎1-5：ADBCD 6-10：CDCBA 11-12：BA 二、填空题（4×5=20分）‎ ‎13. 14. 2 15. 16. ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17. 解：（1）设等差数列的公差为，‎ 由题意，，解得：，，‎ ‎∴；‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴.‎ ‎18.（1） 证明：∵，∴，‎ 又平面平面，平面平面，‎ 故平面；‎ 又平面，故；‎ 又四边形为菱形，∴，‎ ‎∴平面.‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴.‎ ‎19.（1）由频率分布直方图可知，空气重度污染和严重污染的概率应为 ‎，‎ 因为限行分单双号，某人因空气污染被限号出行的概率为0.05.‎ ‎（2）列联表如下：‎ 空气质量优良 空气质量污染 合计 限行前 ‎90‎ ‎90‎ ‎180‎ 限行后 ‎55‎ ‎35‎ ‎90‎ 合计 ‎145‎ ‎125‎ ‎270‎ 由表中数据可得，‎ 所以有的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关.‎ ‎20. 解：（1）抛物线的准线方程为，焦点，‎ 当的横坐标为1时，，∴，解得，‎ ‎∴抛物线的方程为.‎ ‎（2）由直线的方程为与抛物线：联立，‎ 消去得：，则，，‎ ‎，，‎ ‎，对任意恒为定值，‎ 当，此时，∴，满足题意.‎ ‎21.（1），‎ ‎，‎ ‎①当时，，所以在上单调递减；‎ ‎②当时，可知在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎（2）不等式对任意恒成立，即恒成立，‎ 因为，所以，‎ 令，‎ ‎，‎ 令，，‎ 故在上单调递减，且，，‎ 故存在使得，‎ 即即，‎ 当时，，；‎ 当，，；‎ 所以，‎ 故实数的取值范围是.‎ ‎22. 解：（1）：，：.‎ ‎（2）不妨设，，‎ 则 ‎，‎ ‎∴的最大值为.‎ ‎23. 解：（1）因为.‎ 从图可知满足不等式的解集为.‎ ‎（2）由图可知函数的最小值为，即.‎ 所以，从而，‎ 从而 ‎.‎ 当且仅当时，等号成立，‎ ‎∴的最小值为.‎