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- 2021-06-16 发布
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第章 不等式、推理与证明
第一节 不等式的性质与一元二次不等式
[考纲传真] (教师用书独具)1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．
(对应学生用书第78页)
[基础知识填充]
1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法
(2)作商法
2．不等式的性质
(1)对称性：a>b⇔bb，b>c⇒a>c；(单向性)
(3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；(双向性)
a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(单向性)
(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；
a>b，c<0⇒acb>0，c>d>0⇒ac>bd；(单向性)
(5)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n≥2，n∈N)；(单向性)
(6)开方法则：a>b>0⇒>(n≥2，n∈N)；(单向性)
(7)倒数性质：设ab>0，则a.(双向性)
3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
(a>0)的根
有两相异实根
x1，x2(x10
(a>0)的解集
{x|xx2}
{x|x≠x1}
R
ax2＋bx＋c<0
(a>0)的解集
{x|x1b⇔ac2>bc2.( )
(2)a>b>0，c>d>0⇒>.( )
(3)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.( )
(4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．(教材改编)下列四个结论，正确的是( )
①a>b，cb－d；
②a>b>0，cbd；
③a>b>0⇒>；
④a>b>0⇒>.
A．①② B．②③
C．①④ D．①③
D [利用不等式的同向可加性可知①正确；对于②，根据不等式的性质可知acb>0可知a2>b2>0，所以<，所以④不正确．]
3．(2018·洛阳模拟)若a，b∈R，且a>b，则下列不等式恒成立的是( )
A．a2>b2 B．>1
C．2a>2b D．lg(a－b)>0
C [取a＝－1，b＝－2，排除A，B，D．故选C．]
4．(2015·广东高考)不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．(用区间表示)
(－4,1) [由－x2－3x＋4>0得x2＋3x－4<0，解得－40的解集为(－4,1)．]
5．若不等式mx2＋2mx＋1>0的解集为R，则m的取值范围是__________．
[0,1) [①当m＝0时，1>0显然成立；
②当m≠0时，由条件知得0y>0，则( )
A．－>0 B．sin x－sin y>0
C．x－y<0 D．ln x＋ln y>0
(2)已知函数f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．
(1)C [函数y＝x在(0，＋∞)上为减函数，∴当x>y>0时，xy>0⇒<⇒－<0，故A错误；函数y＝sin x在(0，＋∞)上不单调，当x>y>0时，不能比较sin x与sin y的大小，故B错误；x>y>0⇒xy>0 ln(xy)>0 ln x＋ln y＞0，故D错误．
(2)由题意知f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b，
f(－2)＝4a－2B．
设m(a＋b)＋n(a－b)＝4a－2b，
则解得
∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1)．
∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴5≤f(－2)≤10，
即f(－2)的取值范围为[5,10]．]
[规律方法] 1.对于不等式的常用性质，要弄清其条件和结论，不等式性质包括“单向性”和“双向性”两个方面，单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的依据，因为解不等式要求的是同解变形．
2．判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．
3．由a|a＋b|
(2)若角α，β满足－<α<β<π，则α－β的取值范围是( ) 【导学号：79170185】
A． B．
C． D．
(1)D (2)B [由题可知b1时，原不等式的解集为(1，a)；
当a＝1时，原不等式的解集为∅；
当a<1时，原不等式的解集为(a,1). 12分
[母题探究] 将(2)中不等式改为ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)，求不等式的解集．
[解] 原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，因为a>0，所以a(x－1)<0.3分
所以当a>1时，解集为1时，不等式的解集为. 12分
[规律方法] 1.解一元二次不等式的步骤：
(1)使一端为0且把二次项系数化为正数．
(2)先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法．
(3)写出不等式的解集．
2．解含参数的一元二次不等式的步骤：
(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．
(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．
[变式训练2] (1)(2018·沈阳模拟)已知不等式ax2－bx－1>0的解集是，则不等式x2－bx－a≥0的解集是( ) 【导学号：79170186】
A．{x|20的解集是，
∴ax2－bx－1＝0的解是x1＝－和x2＝－，且a<0，
∴解得
则不等式x2－bx－a≥0即为x2－5x＋6≥0，解得x≤2或x≥3.]
(2)原不等式可化为12x2－ax－a2＞0
即(4x＋a)(3x－a)＞0
即＞0
当a＞0时，－＜，解集为；
当a＝0时，x2＞0，解集为{x|x∈R且x≠0}；
当a＜0时，－＞，解集为.
综上所述，当a＞0时，不等式的解集为；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；
当a＜0时，不等式的解集为.
一元二次不等式恒成立问题
角度1 形如f(x)≥0(x∈R)求参数的范围
(2018·张掖模拟)不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是__________________．
(－2,2] [当a－2＝0，即a＝2时，不等式即为－4<0，对一切x∈R恒成立，
当a≠2时，则有
即∴－20时，g(x)在[1,3]上是增函数，
所以g(x)max＝g(3)⇒7m－6<0，
所以m<，所以00，
又因为m(x2－x＋1)－6<0，所以m<. 7分
因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m<即可．
所以m的取值范围是. 12分
角度3 形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])求x的范围
对任意的k∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(k－4)x＋4－2k的值恒大于零，则x的取值范围是__________．
{x|x<1或x>3} [对任意的k∈[－1,1]，x2＋(k－4)x＋4－2k>0恒成立，即g(k)＝(x－2)k＋(x2－4x＋4)>0，
在k∈[－1,1]时恒成立．
只需g(－1)>0且g(1)>0，即
解得x<1或x>3.]
[规律方法] 1.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．
2．对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方，另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．
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