江苏省泰州中学2020届高三上学期开学考试数学（文）试题 20页

江苏省泰州中学高三期初考试试卷 数学（文科）‎ 一、填空题 ‎1.已知集合，，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据补集定义直接求解可得结果.‎ ‎【详解】由补集定义可知：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查集合运算中补集运算，属于基础题.‎ ‎2.已知向量，且，则实数的值是______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，即可得出，从而求出的值。‎ ‎【详解】解：，，，故答案为：1。‎ ‎【点睛】考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算，是简单题。‎ ‎3.设 ，则“ ”是“ ”的______________条件．（从“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”、“充要”中选择）．‎ ‎【答案】充分不必要 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，得1＜x＜3；由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，再根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【详解】由|x﹣2|＜1得﹣1＜x﹣2＜1，得1＜x＜3，‎ 由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，‎ ‎ （1，3）⊊（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），‎ 故“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，‎ 故答案为：充分不必要 ‎【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据绝对值不等式以及一元二次不等式的解法求出不等式的等价条件是解决本题的关键，属于基础题.‎ ‎4.函数的定义域是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由偶次根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解．‎ ‎【详解】由，得．‎ ‎∴函数的定义域是．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域问题，属于基础题；常见的形式有：1、分式函数分母不能为0；2、偶次根式下大于等于0；3、对数函数的真数部分大于0；4、0的0次方无意义；5、对于正切函数，需满足等等，当同时出现时，取其交集.‎ ‎5.已知函数，若，则______.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由函数的解析式可得，据此分析可得答案．‎ ‎【详解】解：根据题意，，‎ 则 则有，若，则，故答案为：3.‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，关键是分析的值，属于基础题．‎ ‎6.已知是等比数列，前项和为．若，，则的值为____．‎ ‎【答案】14‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由及列方程组，即可求得，再利用等比数列前项和公式计算即可得解。‎ ‎【详解】设等比数列的首项为，公比为 由题可得：，解得：‎ 所以 ‎【点睛】本题主要考查了等比数列的基本量计算，还考查了等比数列前项和公式，考查方程思想及计算能力，属于较易题。‎ ‎7.设函数为参数，且的部分图象如图所示，则的值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图象首先求得最小正周期，从而解得；代入可得到，结合即可求得结果.‎ ‎【详解】由图象可得最小正周期：，即 ‎ 又 ，‎ ‎，‎ 又 ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查根据三角函数图象求解函数解析式的问题，关键是能够通过整体对应的方式确定最值所对应的点，从而得到初相的取值.‎ ‎8.已知是奇函数，且当时，.若，则__________.‎ ‎【答案】-3‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 当时，代入条件即可得解.‎ ‎【详解】因为是奇函数，且当时，．‎ 又因为，，‎ 所以，两边取以为底的对数得，所以，即．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．‎ ‎9.已知数列是等比数列，有下列四个命题：‎ ‎①数列是等比数列； ②数列是等比数列； ‎ ‎③数列是等比数列； ④数列是等比数列．‎ ‎ 其中正确的命题有_____个．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由{an}是等比数列可得是常数，根据等比数列的判断方法，分别检验即可判断．‎ ‎【详解】数列是等比数列，所以，，‎ 对于①，，所以，数列是等比数列，正确；‎ 对于②，，所以，数列是等比数列； ‎ 对于③，，所以，数列是等比数列；‎ 对于④，，不是常数，所以，错误．‎ 共有3个命题正确.‎ 故答案为:3.‎ ‎【点睛】要判断一个数列是否是等比数列常用的方法，可以利用等比数列的定义，只需判断数列的任意一项与它的前一项的比是否是常数，本题属于中档题．‎ ‎10.已知函数，若，则的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得时的导数，可得单调性和极值，画出的图象，可得，再由二次函数的单调性，可得所求范围．‎ ‎【详解】由的导数为，‎ 当，函数递减；当时，可得函数递增，‎ 即有处函数取得极大值，‎ 作出函数的图象，可得，‎ 由，‎ 可得，‎ 且在递减，即有时，；‎ 时，，可得的取值范围是．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的图象和应用：求范围，考查导数的运用：求单调性和极值，以及二次函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎11.如图，正六边形中，若（），则的值为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连接交于点，连接交于点，利用向量的倍数关系及向量的加法公式可得：，再利用平面向量基本定理列方程求解即可。‎ ‎【详解】连接交于点，连接交于点，如下图：‎ 由题可得：为的中点，为的一个四等分点，且，为中点 所以 所以，所以 ‎【点睛】本题主要考查了平面向量的数乘运算及平面向量基本定理，还考查了向量的加法运算，考查方程思想及转化思想，属于中档题。‎ ‎12.如图，有一壁画，最高点处离地面6m，最低点处离地面3.5m.若从离地高2m的处观赏它，则离墙______m时，视角最大.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用解直角三角形知识，利用差角的公式和基本不等式的应用求出结果。‎ ‎【详解】解：如图所示，过点作于，‎ 设，则，‎ 当且仅当时，即当，视角最大，故答案为：。‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力．属于基础题型．‎ ‎13.已知等比数列的前项和为，满足，是的等差中项.设是整数若存在，使得等式成立，则的最大值是______.‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先依据条件求出等比数列的通项公式及前项和，然后为了求的最值，需要把表示成的函数，最后根据，是整数确定整个函数的定义域，从而找到这个函数值域，得到最大值。‎ ‎【详解】∵是，的等差中项，‎ ‎∴，∴，，‎ ‎∴等式，化为：，‎ 因此，‎ ‎∵为整数，∴，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 当时，.‎ 从而的最大值是16.‎ ‎【点睛】本题考查等差中项，等比数列的通项公式及前项和的公式，考查函数思想，突显了数学运算，数学建模的考查，是一道中等难度的题目。‎ ‎14.已知，设函数，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数分成两段进行求解，当时，二次函数的对称轴，分成和两种情况讨论；当时，采用参变分离，构造函数求最值.‎ ‎【详解】（1）当时，，过定点，对称轴，‎ 当时，，解得：，所以；‎ 当时，在单调递减，且，所以；‎ 所以在恒成立，可得.‎ ‎（2）当时，恒成立，即恒成立，‎ 令，则，‎ 当时，，所以在单调递增，‎ 当时，，所以在单调递减，‎ 所以.‎ 综合（1）（2）可得：.‎ ‎【点睛】本题研究二次函数在的最小值时，利用函数恒过定点，使讨论的过程更简洁，即只要研究对称轴和两种情况.‎ 二、解答题 ‎15.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，，．‎ ‎（1）求角的值；‎ ‎（2）若，求△ABC的面积．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinA，由正弦定理化简已知等式可求，结合范围0＜B＜π，可求B的值．‎ ‎（2）由（1）及正弦定理可求b的值，利用两角和的正弦函数公式可求sinC的值，根据三角形面积公式即可计算得解．‎ ‎【详解】（1）在△ABC中，因为，，‎ 所以． ‎ 因为，‎ 由正弦定理，得．‎ 所以． ‎ 若，则，与矛盾，故．‎ 于是．‎ 又因为，‎ 所以． ‎ ‎（2）因，，‎ 由（1）及正弦定理，得，‎ 所以． ‎ 又 ‎=‎ ‎． ‎ ‎ 所以△的面积为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．‎ ‎16.已知正项数列的前和为，，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）如果实数使得对所有正整数都成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用临差法，即多递推一项再相减，得到，再根据得到首项的值，进而代入等差数列的通项公式求；‎ ‎（2）利用裂项相消法求数列的前项和，即得，进而得到，最后求得.‎ ‎【详解】（1）因为， ，两式相减得：‎ ‎，所以，‎ 当时，，‎ 所以数列是以为首项，公差为的等差数列，‎ 所以.‎ ‎（2）‎ ‎，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查数列递推关系、等差数列通项公式、裂项相消法求数列的前项和、不等式恒成立等问题，考查基本运算的能力.‎ ‎17.某湿地公园围了一个半圆形荷花塘如图所示，为了提升荷花池的观赏性，现计划在池塘的中轴线上设计一个观景台（与不重合），其中段建设架空木栈道，已知，设建设的架空木栈道的总长为.‎ ‎（1）设，将表示成的函数关系式，并写出的取值范围；‎ ‎（2）试确定观景台的位置，使三段木栈道的总长度最短.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，得，可得，进一步得到，，则函数解析式可求；（2）求出原函数的导函数，得到函数的单调性，可得当时，三段木栈道的总长度最短，由此得到观景台的位置．‎ ‎【详解】（1）由，则，‎ 由题意知：为的中垂线，可得，，‎ 则，得；‎ ‎（2），‎ ‎∴当时，，单调递减，‎ 当时，，单调递增，‎ ‎∴当时，即时，三段木栈道的总长度最短．‎ ‎【点睛】本题主要考查根据实际问题选择函数模型，训练了利用导数求最值，是中档题．‎ ‎18.已知函数.‎ ‎（1），求值域；‎ ‎（2），解关于的不等式.‎ ‎【答案】（1）（2）答案不唯一，具体见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入，然后分类讨论去绝对值号，分段求值．‎ ‎（2）先得到不等式，然后分和两类讨论解不等式．‎ ‎【详解】解：（1）；‎ ‎；‎ ‎；‎ 所以的值域为；‎ ‎（2）；‎ ‎，令 ‎①当时，，所以或，即或；‎ ‎②当时，，所以或，即；‎ 得或 综上，当时不等式的解为：或或；‎ 当时不等式的解为：或 ‎【点睛】解题的关键在两点，一是去绝对值号，二是对参数a的讨论，本题是一道难度比较大的题目。‎ ‎19.已知数列｛｝的前n项和为Sn，，且对任意的n∈N*，n≥2都有。‎ ‎（1）若0，，求r值；‎ ‎（2）数列｛｝能否是等比数列？说明理由；‎ ‎（3）当r＝1时，求证：数列｛｝是等差数列。‎ ‎【答案】（1）1；（2）不可能是等比数列；（3）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）令，得到，再将和用项来表示，再结合条件，求得结果；‎ ‎（2）假设其为等比数列，利用，结合，得到关于的方程，求解得出或，将其回代检验得出答案；‎ ‎（3）将r＝1代入上式，类比着写出，两式相减得到，进一步凑成，结合 ‎，从而证得数列是以为首项，2为公差的等差数列.‎ ‎【详解】（1）令n＝2，得：，‎ 即：，‎ 化简，得：，因为，，，‎ 所以，，解得：r＝1.‎ ‎（2）假设是等比数列，公比为，则，且，‎ 解得或，‎ 由，‎ 可得，‎ 所以，‎ 两式相减，整理得，‎ 两边同除以，可得，‎ 因为，所以，‎ 所以上式不可能对任意恒成立，故不可能是等比数列.‎ ‎（3）时，令，整理得，‎ 又由可知，‎ 令，可得，解得，‎ 由（2）可知，‎ 所以，‎ 两式相减，整理得，‎ 所以，‎ 两式相减，可得，‎ 因为，所以，‎ 即，又因为，‎ 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列.‎ ‎【点睛】该题考查的是数列的有关问题，涉及到的知识点有数列的项与和的关系，等比数列的判断与等差数列的证明，熟练掌握基础知识是正确解题的关键，注意对定义的正确理解.‎ ‎20.已知函数，，.‎ ‎（1）当时，求函数的极值；‎ ‎（2）若在区间上存在不相等的实数，使得成立，求的取值范围；‎ ‎（3）设的图象为，的图象为，若直线与分别交于，问是否存在整数，使在处的切线与在处的切线互相平行，若存在，求出的所有值，若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）极大值为，无极小值；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对函数进行求导，并求出方程的根为，判断为函数的极大值点，再代入求极大值；‎ ‎（2）问题转化成函数在区间存在极值点；‎ ‎（3）根据两条切线互相平行，得到斜率相等，从而构造出的方程，再从方程中把分离出来，构造关于的函数，研究函数的值域，得到的取值范围后，再根据为整数，求得的值.‎ ‎【详解】（1）当时，，，‎ 当时，得，当时，得，‎ 所以在单调递增，在单调递减，‎ 所以，无极小值.‎ ‎（2）令，则 ‎，‎ 由题意知在区间存在极值点，所以在有解，‎ 所以在有解，‎ 令，则，‎ 当时，恒成立，所以在单调递增，且，‎ 所以.‎ ‎（3），则，‎ ‎，则，‎ 设，，‎ 在点处的切线的斜率，在点处的切线的斜率，‎ 假设存在两切线平行，所以，即在有解，‎ 所以在有解，令，则，，‎ 当时，得；当时，得，‎ 所以在单调递增，在单调递减，‎ 所以，‎ 所以在恒成立，所以在单调递减，‎ 所以，则，又为整数，‎ 所以或.‎ ‎【点睛】本题的第2、第3两问都是采用参变分离构造新的函数，然后利用导数研究新函数的图象与性质，再利用函数的单调性和最值，进而研究参数的值或取值范围，对逻辑思维能力和运算求解能力要求较高.‎ ‎ ‎