【数学】2018届一轮复习人教A版导数与不等式相结合问题学案 6页

难点2.2 导数与不等式相结合问题 导数是高中数学选修板块中重要的部分，应用广泛，教材中重点介绍了利用导数求切线、判断单调性、求极值、最值等基础知识，但是高考数学是以能力立意，所以往往以数列、方程、不等式为背景，综合考察学生转化和化归、分类讨论、数形结合等数学思想的应用能力，面对这种类型的题目，考生会有茫然，无所适从的感觉，究其原因是没有认真分析总结这种题目的特点和解题思路，本文介绍利用导数解决不等式问题的思路，以飨读者.‎ ‎1.利用导数证明不等式 在初等数学中，我们学习过好多种证明不等式的方法，比如综合法、分析法、比较法、反证法、数学归纳法等，有些不等式，用初等方法是很难证明的，但是如果用导数却相对容易些，利用导数证明不等式，主要是构造函数，通过研究函数的性质达到证明的目的.‎ 1.1 利用单调性证明不等式 ‎ 构造函数，利用函数的单调性证明不等式 例1. 【2018广西贺州桂梧高中联考】已知函数.‎ ‎（1）若在上递增，求的取值范围；‎ ‎（2）证明： .‎ 思路分析：（1）要使在上递增，只需，且不恒等于0，所以先求得函数的增区间， 是增区间的子区间.（2）当时， ， 显然成立. 当时，即证明 ，令（），即求，由导数可证.‎ ‎ ‎ ‎，∴，从而在上递减，∴，∴，即.综上， .‎ 点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数最值以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.‎ ‎1.2 通过求函数的最值证明不等式 ‎ 在对不等式的证明过程中，可以依此不等式的特点构造函数，进而求函数的最值，当该函数的最大值或最小值对不等式成立时，则不等式是永远是成立的，从而可将不等式的证明转化到求函数的最值上 .‎ 例2. 【甘肃省张掖市2018届第一次质量检测】已知函数.‎ ‎（1）若函数在区间上单调递增，求的取值范围；‎ ‎（2）设函数，若存在，使不等式成立，求的取值范围.‎ 思路分析：（1）由，得，所以在上单调递增，可得，从而得；（2）存在，使不等式成立，等价于，令，利用导数研究函数的单调性，求出，只需即可得结果.‎ 点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及极值和最值，考查了函数的思想和考生的发散思维能力，属于中档题.利用导数研究函数的单调性，首先求出函数的定义域，忽略定义域是最常见的错误；证明不等式通过构造新函数，研究新函数的单调性，求得其最值是最常用的思想方法，本题解答的难点是（3）中通过构造新函数并求得其极值点，从而判断的范围是解题的关键. ‎ ‎ 1.3多元不等式的证明 含有多元的不等式，可以通过对不等式的等价变形，通过换元法，转化为一个未知数的不等式，或可选取主元，把其中的一个未知数作为变量，其他未知数作为参数，再证明之.‎ 例3．已知函数.‎ ‎（1)已知函数f(x)在点（l ，f（1））处与x轴相切，求实数m的值；‎ ‎（2）求函数f (x)的单调区间；‎ ‎ (3)在(1)的结论下，对于任意的0