河南省非凡联盟2020届高三调研考试数学（理）试题 Word版含解析 23页

www.ks5u.com 非凡联盟2019-2020学年高三年级调研考试 数学（理）卷 一、选择题 ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解分式不等式求得集合，由此求得.‎ ‎【详解】由得，‎ 解得或.‎ ‎∵或，，∴.‎ 故选：D ‎【点睛】本小题主要考查分式不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.‎ ‎2.若复数在复平面内对应的点关于实轴对称，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两个复数对应点的对称关系，求得，由此利用复数除法运算，化简求得正确结果.‎ ‎【详解】由于复数在复平面内对应的点关于实轴对称，且，所以，故 - 23 -‎ ‎.‎ 故选：D ‎【点睛】本小题主要考查复数对应点、实轴等概念，考查复数除法运算，属于基础题.‎ ‎3.为了庆祝第一个农民丰收节，西部山区某村统计了自2011年以来每年的年总收入，其中2018年统计的是1月到8月的总收入，统计结果如图所示.根据图形，下列四个判断中，错误的是（ ）‎ A. 从2012年起，年总收入逐年增加 B. 2017年的年总收入在2016年的基础上翻了番 C. 年份数与年总收入成正相关 D. 由图可预测从2014年起年总收入增长加快 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条形图，对选项逐一分析，由此确定判断错误的选项.‎ ‎【详解】从图形可以看出，从2012年起，年总收入逐年增加，A是正确的；年份数与年总收入成正相关，C是正确的；从2014年起总收入增长加快，D是正确的；2017年的年总收入比2016年增加了万元，并没有翻一番，所以选项B是错误的.‎ 故选：B ‎【点睛】本小题主要考查条形图的分析，属于基础题.‎ ‎4.已知是等差数列的前项和，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C - 23 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将已知条件转化为的形式列方程组，解方程组求得的值，进而求得.‎ ‎【详解】由题知，，解得，所以.‎ 故选：C ‎【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前项和公式的基本量计算，属于基础题.‎ ‎5.已知双曲线与的渐近线相同，则曲线的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得的渐近线，然后根据的渐近线相同列方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】的渐近线方程为，的渐近线方程为，所以，即，∴.‎ 故选：A ‎【点睛】本小题主要考查同双曲线渐近线有关计算，属于基础题.‎ ‎6.甲、乙、丙、丁、戊、己人参加、、社团的纳新，其中甲、乙、丙均只报名了社团，丁、戊、己均报名了、、三个社团，若这三个社团都只纳入一名新成员，则所有的方案的种数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ - 23 -‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据甲社团在“甲、乙、丙三人中选一人”和“不在甲、乙、丙三人中选，在丁、戊、己中选一人”分成两者情况进行分类讨论，由此求得所有方案的种数.‎ ‎【详解】若社团在甲、乙、丙三人中选一人，则所有的情况为种；若社团不在甲、乙、丙三人中选，在丁、戊、己中选一人，则所有的情况为种，故所有的方案有种.‎ 故选：C ‎【点睛】本小题主要考查分类加法计数原理，考查实际生活中的计数问题，属于基础题.‎ ‎7.如图，在中，，，点为的中点，，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量的线性运算化简，结合数量积的运算，求得的值.‎ ‎【详解】.‎ 故选：A ‎【点睛】本小题主要考查平面向量线性运算和数量积运算，属于基础题.‎ ‎8.函数的图象在处的切线过点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D - 23 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得切点坐标，然后求得切线的斜率，写出切线方程，并将点代入，由此求得的值.‎ ‎【详解】当时，，故切点为.，斜率，所以切线方程为，因为切线过点，所以，解得.‎ 故选：D ‎【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程，考查根据切线经过点的坐标求参数值，属于基础题.‎ ‎9.十五巧板，又称益智图，为清朝浙江省德清知县童叶庚在同治年间所发明，它能拼出草木、花果、鸟兽、鱼虫、文字等图案.十五巧板由十五块板组成一个大正方形（如图1），其中标号为的小板为等腰直角三角形，图是用十五巧板拼出的2019年生肖猪的图案，则从生肖猪图案中任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得大正方形的面积以及阴影部分的面积，然后利用几何概型概率计算公式，计算出所求概率.‎ ‎【详解】设图1中大正方形的边长为，则大正方形的面积为，由图2可知，阴影部分中的图案是由图1中的标号为组成的，其中标号为与的图案组成一个边长为的正方形，其面积为；标号为的图案可视为长为、宽为 - 23 -‎ 的长方形面积一半，即面积为；标号为的三角形面积为；标号为的图案可视为长为，宽为的长方形面积一半，即面积为，所以阴影部分面积为.由几何概型的概率公式得所求概率为.‎ 故选：C ‎【点睛】本小题主要考查面积型几何概型概率的计算，考查中国古代数学文化，属于中档题.‎ ‎10.如图是某圆锥的三视图，A，B为圆锥表面上两点在正视图中的位置，其中B为所在边中点，则在该圆锥侧面上A，B两点最短的路径长度为（ ）‎ A. B. C. D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图求出圆锥母线长，并将圆锥侧面展开，在展开图中两点距离，即为所求.‎ ‎【详解】设圆锥的顶点为，由三视图可得母线，‎ 将圆锥沿展开如下图所示扇形，‎ 扇形圆心角为，所以圆锥的侧面展开图为半圆，‎ 连，长为圆锥侧面上A，B两点最短路径，‎ 为母线中点，，‎ ‎.‎ 故选:A.‎ - 23 -‎ ‎【点睛】本题考查圆锥表面上两点距离的最小值，应用侧面展开图是解题的关键，属于中档题.‎ ‎11.已知数列满足，，则数列的前10项和（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对已知条件变形可得，进而可得，利用裂项相消法可求.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 所以数列是首项为3、公差为4的等差数列，所以，所以，‎ 所以，‎ 所以，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查裂项相消法求和，根据条件求解出数列的通项公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎12.已知函数（其中）的图像经过点，令，则 - 23 -‎ A. 2019 B. C. 6057 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意易得，进而得，分别计算，观察规律即可得解.‎ ‎【详解】由 的图象经过点，‎ 则，所以，结合可得，‎ ‎，‎ 所以，，，‎ 所以，所以，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了数列的周期性，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13.已知函数是定义在上的偶函数，且则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合函数的奇偶性，利用分段函数解析式，求得所求表达式的值.‎ ‎【详解】.‎ - 23 -‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查分段函数求函数值，考查函数的奇偶性，属于基础题.‎ ‎14.已知变量满足，则的最小值为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出不等式组表示的平面区域，由表示点与定点连线的斜率，结合图象可得最优解,利用斜率公式,即可求解.‎ ‎【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中，‎ 又由表示点与定点连线的斜率，‎ 当过点B时,此时直线斜率最小为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义,其中求目标函数的最值的一般步骤为：一画、二找、三求，其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义是解答的关键．‎ ‎15.已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为为抛物线上的一点，且满足，则点到直线的距离为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ - 23 -‎ ‎【分析】‎ 利用抛物线的定义，求得，由此求得，进而求得到直线的距离.‎ ‎【详解】由抛物线，可得，设点到准线的距离为.由抛物线定义可得.‎ 因为，由题意得，‎ 所以.‎ 所以点到的距离为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎16.已知正方体中，，点在线段上，若直线与直线所成角的正切值为，则平面截正方体所得的截面面积为______.‎ - 23 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出截面，根据直线与直线所成的角的正切值求得的长，求得截面等腰梯形的高，由此求得截面面积.‎ ‎【详解】如图，过作，则.直线与直线所成的角为，，，所以，截面是等腰梯形，，，所以等腰梯形的高为，所以截面面积为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查正方体截面面积的计算，考查根据线线角求边长，属于中档题.‎ 三、解答题 - 23 -‎ ‎17.在中，角，，的对边分别为，，且.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，的面积为，求的周长.‎ ‎【答案】（1）；（2）30.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理将边化角，结合展开化简可得，从而得解；‎ ‎（2）由面积公式可得，结合余弦定理可得，从而得解.‎ ‎【详解】(1)由及正弦定理可得，‎ 即,‎ 整理得，‎ 因为,,‎ 所以,‎ ‎ ‎ ‎（2）由及△ABC的面积为 ，得，所以.‎ 由，‎ 由余弦定理可得：=，‎ 所以，所以△ABC的周长为30.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角形的正余弦定理及面积公式的应用，属于基础题.‎ ‎18.已知平行四边形中，，，，是线段的中点，现沿进行翻折，使得与重合，得到如图所示的四棱锥.‎ - 23 -‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若是等边三角形，求平面和平面所成的锐二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用余弦定理求得的长，由此利用勾股定理证得，从而得到、，由此证得平面.‎ ‎（2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，求得二面角的余弦值.‎ ‎【详解】（1）证明：∵是线段的中点，∴，‎ 在中，由余弦定理得，‎ ‎，‎ ‎∴，∵，‎ ‎∴，∴，，，‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎（2）取的中点，以为坐标原点，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系.‎ 设轴与交于点，‎ - 23 -‎ ‎∵，∴，‎ 易知，∴，‎ 则，，，，‎ ‎，，，，‎ ‎∵平面，‎ ‎∴可取平面的法向量，‎ 设平面的法向量，平面和平面所成的锐二面角为，‎ 则，∴，得，‎ 令，则，从而，‎ 故平面和平面所成的锐二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.‎ ‎19.淘汰落后产能，对生产设备进行升级改造是企业生存发展的重要前提.某企业今年对旧生产设备的一半进行了升级，剩下的一半在今后的两年内完成升级.为了分析新旧设备的生产质量，从新旧设备生产的产品中各抽取了件作为样本，对最重要的一项质量指标进行检测，该项质量指标值落在内的产品为合格品，否则为不合格品.检测数据如下：‎ 表1：日设备生产的产品样本频数分布表 质量指标 频数 ‎3‎ ‎16‎ ‎44‎ ‎12‎ ‎22‎ ‎3‎ 表2：新设备生产的产品样本频数分布表 - 23 -‎ 质量指标 频数 ‎1‎ ‎20‎ ‎52‎ ‎16‎ ‎10‎ ‎1‎ ‎（1）根据表1和表2提供的数据，试从产品合格率的角度对新旧设备的优劣进行比较；‎ ‎（2）面向市场销售时，只有合格品才能销售，这时需要对合格品的品质进行等级细分，质量指标落在内的定为优质品，质量指标落在或内的定为一等品，其它的合格品定为二等品.完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与新旧设备有关；‎ 旧设备 新设备 合计 优质品及一等品 二等品及不合格品 合计 ‎（3）优质品每件售价元，一等品每件售价元，二等品每件售价元根据表1和表2中的数据，用该组样本中优质品、一等品、二等品各自在合格品中的频率代替从合格产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为（单位：元），求的分布列和数学期望（结果保留整数）.‎ 附：‎ ‎0.150‎ ‎0100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎，.‎ ‎【答案】（1）新设备的性能更高.（2）见解析，有（3）见解析，347‎ ‎【解析】‎ - 23 -‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别计算出新、旧设备生产的产品的合格率，由此确定新设备的性能更高.‎ ‎（2）填写列联表，计算的值，由此判断有的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关.‎ ‎（3）利用相互独立事件概率计算公式，计算出的分布列，并由此求得数学期望.‎ ‎【详解】（1）由表1可知，旧设备生产的产品合格率约为，‎ 由表2可知，新设备生产的合格率约为.‎ 新设备生产的产品合格率更高，所以新设备的性能更高.‎ ‎（2）由表1和表2，得列联表 旧设备 新设备 合计 优质品及一等品 ‎72‎ ‎88‎ ‎160‎ 二等品及不合格品 ‎28‎ ‎12‎ ‎40‎ 合计 ‎100‎ ‎100‎ ‎200‎ 将列联表中的数据代入公式计算得：，‎ 因为，‎ 所以有的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关.‎ ‎（3）将表1和表2合并，得 质量指标 频数 ‎4‎ ‎36‎ ‎96‎ ‎28‎ ‎32‎ ‎4‎ 由表可知，从合格品中随机抽取一件产品，是优等品的频率（即概率）是，‎ - 23 -‎ 从合格品中随机抽取一件产品，是一等品的频率（即概率）是，‎ 从合格品中随机抽取一件产品，是二等品的频率（即概率）是.‎ 由已知得随机变量的可能取值为.‎ ‎，，，‎ ‎，.‎ 所以随机变量的分布列为：‎ ‎240‎ ‎280‎ ‎320‎ ‎360‎ ‎400‎ 所以.‎ ‎【点睛】本小题主要考查列联表独立性检验，考查随机变量分布列和数学期望的计算，考查数据分析与处理的能力，属于中档题.‎ ‎20.设椭圆的右焦点为，以原点为圆心，短半轴长为半径的圆恰好经过椭圆的两焦点，且该圆截直线所得的弦长为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过定点的直线交椭圆于两点、，椭圆上的点满足，试求的面积.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据圆和椭圆的位置关系得到，根据圆截直线所得的弦长求得 - 23 -‎ ‎，由此求得，进而求得椭圆的标准方程.‎ ‎（2）设过点的直线方程为，联立直线的方程和椭圆的方程，消去并写出判别式和根与系数关系，由求得点坐标，将点坐标代入椭圆方程，结合根与系数关系进行化简，由此求得的值，从而求得的值，进而求得三角形的面积.‎ ‎【详解】（1）以原点为圆心，短半轴长为半径的圆的方程为.‎ ‎∵圆过椭圆的两焦点，∴.‎ ‎∵圆截直线所得的弦长为.‎ ‎∴，解得 ‎∴.‎ ‎∴椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）设过点的直线方程为.两点的坐标分别为，，‎ 联立方程，得，，‎ ‎∴，，‎ ‎∵，∴点，‎ ‎∵点在椭圆上，∴有，‎ 即，‎ ‎∴，‎ 即，解得，‎ ‎∴，‎ - 23 -‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据直线和圆相交所得弦长求参数，考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中三角形面积问题，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎21.已知函数，.‎ ‎（1）若函数有一正一负两个极值点，求实数的范围；‎ ‎（2）当时，证明：对，.‎ ‎【答案】（1）.（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求得函数的导函数，构造函数，结合有一正一负两个极值点则有一正一负两个零点列不等式，解不等式求得的取值范围.‎ ‎（2）利用导数求得的最大值为；通过结合导数，对进行分类讨论，求得的最小值大于零，由此证得对，.‎ ‎【详解】（1）对求导，‎ 得，‎ 令，‎ 因为函数有一正一负两个极值点，‎ 所以函数有一正一负两个零点，‎ 则，解得.‎ ‎（2）对于，求导得，‎ 当时，；时，，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减，‎ - 23 -‎ 所以时，取得最大值，.‎ 由（1）知，‎ 令，‎ 解得或.‎ ‎①当时，，‎ 则时，，单调递增；‎ 时，，单调递减；‎ 时，，单调递增.‎ 所以时，取得极大值，，‎ 因为，所以.‎ 时，取得极小值，，‎ 因为，所以.‎ 又当时，，，所以，‎ 当时，，，所以 因为，所以.‎ ‎②当时，恒成立，‎ 综上知，当时，对，.‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据极值点求参数，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，已知直线过且倾斜角为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）已知直线与曲线交于，求.‎ - 23 -‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）结合二倍角公式以及极坐标和直角坐标转化公式，求得曲线的直角坐标方程.‎ ‎（2）求得直线的参数方程，代入曲线的直角坐标方程，写出根与系数关系，根据直线参数的几何意义，求得.‎ ‎【详解】（1）∵，∴，即，‎ 将，代入上式得，‎ ‎，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）由题知直线的参数方程为（为参数），代入整理得 ‎，‎ 设点对应的参数分别为，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，，∴.‎ ‎【点睛】本小题主要考查极坐标方程转化为直角坐标系，考查利用直线参数方程中参数的几何意义求值，属于中档题.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ - 23 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对不等式利用零点分段法去绝对值，由此求得不等式的解集.‎ ‎（2）先利用绝对值三角不等式，求得的最小值为，由此通过解不等式求出的取值范围.‎ ‎【详解】（1）不等式即为，‎ 等价于或或，‎ 解得或，‎ ‎∴原不等式的解集为.‎ ‎（2）∵，当且仅当，即时，取最小值，‎ ‎∴，‎ 解得，‎ ‎∴实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查根据绝对值不等式求参数的取值范围，属于中档题.‎ - 23 -‎ - 23 -‎