【数学】四川省遂宁市射洪中学2020届高三下学期第一次在线月考（文） 13页

四川省遂宁市射洪中学2020届 高三下学期第一次在线月考（文）‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合，，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知复数z满足为虚数单位），则z＝‎ A．2＋ B．2－ C．－2＋ D．－2－‎ ‎3．在正三角形ABC中，AB＝2，，且AD与BE相交于点O，则＝‎ A．－ B．－ C．－ D．－‎ ‎4．某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如表所示：‎ 不喜欢 喜欢 男性青年观众 ‎30‎ ‎10‎ 女性青年观众 ‎30‎ ‎50‎ 现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了6人，则 A．12 B．16 C．24 D．32‎ ‎5．函数的大致图像为 A． B． C． D．‎ ‎6．已知曲线（，）的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为 A．2 B． C．3 D．‎ ‎7．设，，，则a，b，c的大小关系是 A． B． C． D．‎ ‎8．已知函数，将其图象向左平移（＞0）个单位长度后得到的函数为偶函数，则的最小值是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎9．赵爽是我国古代数学家、天文学家大约在公元222年赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的)类比“赵爽弦图”，赵爽弦图可类似地构造如图所示的图形，它是由个3全等的等边三角形与中间的一个小等边三角形组成的一个大等边三角形，设DF=2AF，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎10．满足函数在上单调递减的一个充分不必要条件是 A． B． C． D．‎ ‎11．已知双曲线的右焦点为，直线经过点且与双曲线的一条渐近线垂直，直线与双曲线的右支交于不同两点，，若，则该双曲线的离心率为 A． B． C． D．‎ ‎12．已知四棱锥，平面，，，，，二面角的大小为，若四面体的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 A． B． C． D．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．设，满足约束条件，则的最大值是_________.‎ ‎14．已知，则＝___‎ ‎15．已知函数，，则的值为__________．‎ ‎16．记正项数列的前项和为，且当时，.若，则______.‎ 三、 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）已知a,b,c分别是DABC的内角A,B,C,所对的边，‎ ‎（I）求角B的大小；‎ ‎（II）若DABC的面积为，求DABC周长的最小值．‎ ‎18．（12分）某人经营一个抽奖游戏，顾客花费3元钱可购买一次游戏机会，每次游戏中，顾客从标有黑1、黑2、黑3、黑4、红1、红3的6张卡片中随机抽取2张，并根据摸出的卡片的情况进行兑奖，经营者将顾客抽到的卡片情况分成以下类别：：同花顺，即卡片颜色相同且号码相邻；：同花，即卡片颜色相同，但号码不相邻；：顺子，即卡片号码相邻，但颜色不同；：对子，即两张卡片号码相同；：其它，即，，，以外的所有可能情况，若经营者打算将以上五种类别中最不容易发生的一种类别对应顾客中一等奖，最容易发生的一种类别对应顾客中二等奖，其他类别对应顾客中三等奖.‎ ‎（I）一、二等奖分别对应哪一种类别？（写出字母即可）‎ ‎（II）若经营者规定：中一、二、三等奖，分别可获得价值9元、3元、1元的奖品，假设某天参与游戏的顾客为300人次，试估计经营者这一天的盈利.‎ ‎19．（12分）如图所示，在三棱柱中，，，，分别为棱，的中点.‎ ‎（I）求证：平面；‎ ‎（II）若，，，求四 棱锥的体积.‎ ‎20．（12分）已知函数． ‎ ‎（I）当时，讨论函数的单调性；‎ ‎（II）若函数有两个极值点，，证明: ．‎ ‎21．已知抛物线： （）的焦点是椭圆： （‎ ‎）的右焦点，且两曲线有公共点 ‎（I）求椭圆的方程；‎ ‎（II）椭圆的左、右顶点分别为， ，若过点且斜率不为零的直线与椭圆交于， 两点，已知直线与相较于点，试判断点是否在一定直线上？若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 已知平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）过点的直线与曲线交于，两点，且，求直线的方程.‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知，，，函数.‎ ‎（I）当时，求不等式的解集；‎ ‎（II）当的最小值为时，求的值，并求的最小值.‎ 参考答案 ‎1．B 2．A 3．B 4．C 5．D 6．A 7．B 8．B 9．B 10．D ‎ ‎11．A 12．C ‎13．5 14． 15． 16．1840‎ ‎17．（1），‎ 由得，‎ ‎，‎ ‎，；‎ ‎（2）由（1）得，，，‎ ‎ ，‎ ‎，‎ 对上述两个不等式，当且仅当时等号成立，‎ 此时周长取最小值.‎ ‎18．（Ⅰ）解：分别用A1, A2, A3, A4, B1, B3表示标有黑1，黑2，黑3，黑4，红1，红3的卡片，从6张卡片中任取2张，共有15种情况.‎ 其中，A类别包括A1 A2, A2 A3, A3 A4,则 B类别包括A1 A3, A1 A4, A2 A4, B1 B3, 则 C类别包括A2 B1, A2 B3, A4 B3, 则 D类别包括A1 B1, A3 B3, 则∴‎ ‎(1)一、二等奖分别对应类别D,B. ‎ ‎(2)∵顾客获一、二、三等奖的概率分别为 ‎∴可估计300名顾客中获一、二、三等奖的人数分别为40，80，180.‎ 则可估计经营者这一天的盈利为300×3-40×9-80×3-180×1=120元.‎ ‎19．（1）（1）在三棱柱中，，，，‎ 因为，所以，‎ 因为为的中点，所以，故，‎ 因为，为的中点，所以，‎ 因为，平面，‎ 所以平面；‎ ‎（2）作于点，‎ 因为平面，平面，所以平面平面，‎ 因为平面，平面平面，，‎ 所以平面，即为四棱锥的高，‎ 因为平面，平面，所以，‎ 因为，分别为棱，的中点，所以，且，‎ 故四边形为平行四边形，所以，且，‎ 所以，即四边形为矩形，‎ 因为，，所以矩形的面积，‎ 因为，，，所以，‎ 因为，所以，‎ 在中，，，，‎ 所以，即，‎ 所以，故，‎ 所以四棱锥的体积.‎ ‎20．（1）∵，‎ ‎∴．‎ ‎①当，即时，，‎ 所以在单调递增； ‎ ‎②当，即时，‎ 令，得，，且，，‎ 当时，；‎ 当时，；‎ ‎∴单调递增区间为，；‎ 单调递减区间为．‎ 综上所述：当时，在单调递增；‎ 时，在区间，单调递增；在区间单调递减．‎ ‎（2）由（1）得．‎ ‎∵函数有两个极值点，，‎ ‎∴方程有两个根，，‎ ‎∴，且，解得． ‎ 由题意得 ‎ ‎ ‎ ‎． ‎ 令，‎ 则，‎ ‎∴在上单调递减，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎21．（1）将代入抛物线得 ‎∴抛物线的焦点为，则椭圆中，‎ 又点在椭圆上，∴， 解得，‎ 椭圆的方程为 ‎（2）方法一 当点为椭圆的上顶点时，直线的方程为，此时点， ，则直线和直线，联立，解得，‎ 当点为椭圆的下顶点时，由对称性知： . ‎ 猜想点在直线上，证明如下：‎ 由条件可得直线的斜率存在， 设直线，‎ 联立方程，‎ 消得： 有两个不等的实根，‎ ‎， ‎ 设，则， ‎ 则直线与直线 联立两直线方程得（其中为点横坐标）‎ 将代入上述方程中可得，‎ 即，即证 将代入上式可得，此式成立 ‎∴点在定直线上.‎ 方法二 由条件可得直线的斜率存在， 设直线，‎ 联立方程，‎ 消得： 有两个不等的实根，‎ ‎， ‎ 设，则， ‎ ‎，由， ， 三点共线，‎ 有： ‎ 由， ， 三点共线，有： ‎ 上两式相比得 ‎，解得∴点在定直线上．‎ ‎22．（Ⅰ）；（Ⅱ）或.‎ ‎（Ⅰ）消去参数，可得曲线的普通方程为，‎ ‎.由 ‎ 所以曲线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅱ）显然直线的斜率存在，否则无交点.‎ 设直线的方程为，即.‎ 而，则圆心到直线的距离.‎ 又，所以，解得.‎ 所以直线的方程为或.‎ ‎23．(1) 或 (2)3‎ ‎（1）‎ 或或，‎ 解得或.‎ ‎（2）‎ ‎，‎ ‎．‎ 当且仅当时取得最小值．‎