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- 2021-06-16 发布
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小题标准练(三)
(40分钟 80分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|-2}.所以A∪B=R.
2.已知直线l1:ax+(a+2)y+1=0,l2:x+ay+2=0,则“l1∥l2”是“a=-1”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.由l1∥l2,可得a·a=(a+2)·1,解得a=2或a=-1,所以“l1∥l2”是“a=-1”的必要不充分条件.
3.向量a,b的夹角是60°,|a|=2,|b|=1,则|2a-b|= ( )
A.13 B. C. D.7
【解析】选B.依题意,|2a-b|2=4a2-4a·b+b2=16-4+1=13,故|2a-b|=.
4.设x,y满足约束条件则z=x-y的取值范围是
( )
A.[-3,0] B.[-3,2]
C.[0,2] D.[0,3]
【解析】选B.绘制不等式组表示的可行域,结合目标函数的几何意义可得函数在点A(0,3) 处取得最小值z=0-3=-3 . 在点B(2,0) 处取得最大值z=2-0=2.
5.已知角α的终边上的一点的坐标为,则= ( )
A.- B. C.-7 D.7
【解析】选A.由题意知tan α=,所以= ====-.
6.某程序框图如图所示,若输出的S=120,则判断框内为 ( )
A.k>4? B.k>5?
C.k>6? D.k>7?
【解析】选B.依题意,进行第一次循环时,k=1+1=2,S=2×1+2=4;进行第二次循环时,k=2+1=3,S=2×4+3=11;进行第三次循环时,k=3+1=4,S=2×11+4=26;进行第四次循环时,k=4+1=5,S=2×26+5=57;进行第五次循环时,k=5+1=6,S=2×57+6=120,
此时结束循环,因此判断框内应为“k>5?”.
7.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 ( )
A.64 B.72 C.80 D.112
【解析】选C.由三视图得该几何体为一个棱长为4的正方体与一个以正方体的一个面为底面,高为3的四棱锥的组合体,故其体积为43+×42×3=80.
8.已知等比数列{an}中,各项都是正数,且a1,a3,2a2成等差数列,则= ( )
A.1+ B.1-
C.3+2 D. 3-2
【解析】选C.因为a1,a3,2a2成等差数列,所以a3×2=a1+2a2,即a1q2=a1+2a1q,所以q2=1+2q,解得q=1+或q=1-(舍去),所以
==q2=(1+)2=3+2.
9.已知函数f(x)= 函数g(x)是周期为2的偶函数且当x∈[0,1]时,g(x)=2x-1,则函数y=f(x)-g(x)的零点个数是 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【解析】选B.在同一坐标系中作出y=f(x)和y=g(x)的图象如图所示,由图象可知当x>0时,有4 个零点,当x≤0时,有2个零点,所以一共有6个零点.
10.已知函数f(x)=ln x+(x-b)2(b∈R)在上存在单调递增区间,则实数b的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选D.由题意得f′(x)=+2(x-b)=+2x-2b,因为函数f(x)在上存在单调递增区间,所以f′(x)=+2x-2b>0在
上有解,所以b<, x∈,由函数的性质易得当x=2时,+x取得最大值,即 =+2=,所以b的取值范围为.
11.已知圆C过点(-1,0),且圆心在x轴的负半轴上,直线l:y=x+1被该圆所截得的弦长为2,则圆C的标准方程为 ( )
A.(x-3)2+y2=2 B.(x+3)2+y2=2
C.(x-3)2+y2=4 D.(x+3)2+y2=4
【解析】选D.设圆C的圆心C的坐标为(a,0),a<0,则圆C的标准方程为(x-a)2+y2=r2.圆心C到直线l:y=x+1的距离为d=,又因为该圆过点(-1,0),所以其半径为r=|a+1|.由直线l:y=x+1被该圆所截得的弦长为2知,d2+=r2,即+2=|a+1|2,解得a=-3或a=1(舍去).所以r=|a+1| =2,所以圆C的标准方程为(x+3)2+y2=4.
12.已知在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列,△ABC的面积等于,则b的取值范围为 ( )
A.[2,) B.[,)
C.[2, 6) D.[4,6)
【解析】选A.因为A,B,C成等差数列,所以2B=A+C,又A+B+C=180°,所以
3B=180°,即B=60°.
因为S=acsin B=acsin 60°=ac=,所以ac=4.
方法一:由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-2accos 60°=a2+c2-ac,又△ABC为锐角三角形,所以a2+b2>c2,且b2+c2>a2,因为b2=a2+c2-ac,所以b2+c2<(a2+c2-ac) +(a2+b2),整理得2a>c,且b2+a2<(a2+c2-ac)+(b2+c2),整理得2c>a,所以10,因此坐标平面内不存在黄金直线;
②当a=5时,|PM|+|PN|=10=|MN|,因此线段MN上的点都满足上式,因此坐标平面内有无数条黄金直线,正确;
③当a=3时,|PM|+|PN|=10>6=|MN|,黄金点的轨迹是个椭圆,正确;
④当a=0时,点M与N重合为(0,0),|PM|+|PN|=10=2|PM|,点P在以原点为圆心、5为半径的圆上,因此坐标平面内有无数条黄金直线.
答案:①②③
16.若直角坐标平面内两点P,Q满足条件:①P,Q都在函数f(x)
的图象上;②P,Q关于原点对称,则点对(P,Q)是函数f(x)的一个“友好点对”(点对(P,Q)与点对(Q,P)看作同一个“友好点对”).已知函数f(x)=则f(x)的“友好点对”的个数是____________.
【解析】设P(x,y),Q(-x,-y)(x>0)为函数f(x)的“友好点对”,则y=,-y=2(-x)2+4(-x)+1=2x2-4x+1,所以+2x2-4x+1=0,在同一坐标系中作函数y1=、y2=-2x2+4x-1的图象,y1,y2的图象有两个交点,所以f(x)有2个“友好点对”.
答案:2
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