四川省成都市双流区棠湖中学2020届高三上学期期中考试数学（文）试题 24页

‎2019-2020学年度秋四川省棠湖中学高三期中考试 文科数学试题 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解分式不等式求出集合，根据交集定义求出结果.‎ ‎【详解】‎ 则 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.‎ ‎2.若（，i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简可得，根据两复数相等的原则，解出a，b，即可得结果 ‎【详解】由题意得，‎ 所以，‎ 所以，所以复数在复平面内对应的点为（3，-2）在第四象限 ‎【点睛】本题考查两复数相等概念，即两复数实部与实部相等，虚部与虚部相等，属基础题。‎ ‎3.已知实数，满足不等式组，则的最大值为（ ）‎ A. 3 B. 9 C. 22 D. 25‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据约束条件，做出可行域，利用目标函数的几何意义，找到最优解，从而得到最值 详解】‎ 做出可行域，如图所示，做出直线：，平移直线，由图可知，当过点A（2,1）时，截距最大，此时z最小，所以，故选B ‎【点睛】本题考查简单的线性规划问题，属基础题 ‎4.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）‎ A. ， B. ， C. ， D. ，‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由题意知，样本容量为，其中高中生人数为，‎ 高中生的近视人数为，故选A.‎ ‎【考点定位】本题考查分层抽样与统计图，属于中等题.‎ ‎5.“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先考虑充分性，再考虑必要性得解.‎ ‎【详解】先考虑充分性. ‎ ‎,‎ ‎=，‎ 因为，所以，‎ 所以“”是“”的充分条件.‎ 再考虑必要性.‎ ‎,‎ ‎=，‎ 不能推出. 如：a=-3,b=-1.‎ 所以“”是“”的非必要条件.‎ 所以“”是“”的充分不必要条件.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎6.已知在上有最小值，则实数t的取值范围可以是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据x的范围，可求出的范围，结合的图像与性质，即可求解。‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 因为有最小值，结合的图像与性质可得，即，‎ 故t的范围可以是，故选D ‎【点睛】本题考查三角函数的图像与性质，考查分析推理的能力，属基础题 ‎7.已知，，，则，，的大小关系为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先比较的大小，再比较的大小，进而可得答案．‎ ‎【详解】由题得，‎ ‎∴．‎ 又，‎ 设，‎ 则，‎ ‎∴当时，单调递减；‎ 当时，单调递增。‎ ‎∵，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，因此，‎ ‎∴．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查实数大小的比较和考查导数在研究函数中的应用，考查学生对知识的理解掌握水平和分析推理能力，解题的关键是通过通过构造函数并利用函数的单调性解决问题，属于中档题．‎ ‎8.已知圆,在圆中任取一点,则点的横坐标小于的概率为（ ）‎ A B. C. D. 以上都不对 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：画出满足条件的图像，计算图形中圆内横坐标小于的面积，除以圆的面积。‎ 详解：‎ 由图可知，点的横坐标小于的概率为，故选C 点睛：几何概型计算面积比值。‎ ‎9.已知函数为定义在上的奇函数，是偶函数，且当时，，则（ ）‎ A. -3 B. -2 C. -1 D. 0‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先通过分析求出函数f(x)的周期，再利用函数的周期求值得解.‎ ‎【详解】因为函数是偶函数，‎ 所以 所以函数f(x)的图像关于直线x=2对称，‎ 所以 所以，‎ 所以，‎ 所以函数的周期为8，‎ 所以.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、对称性和周期性应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎10.已知平面内的两个单位向量，，它们的夹角是60°，与、向量的夹角都为30°，且，若，则值为（ ）‎ A. B. C. 2 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由在的角平分线上，得到，即，再由，根据向量的数量积的运算列出方程，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，可得在的角平分线上，所以,‎ 再由可得，即，‎ 再由，‎ 得，‎ 解得，故，所以，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，以及向量的数量积运算，其中解答中熟记平面向量的基本定理，得到，再利用向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎11.已知F是抛物线的焦点，点P在抛物线上，点，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过点P做PM垂直于准线，垂足为M，由抛物线的定义可得,则 ‎，为锐角。即当PA和抛物线相切时，最小。再利用导数的几何意义求切点坐标，即可求解。‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，抛物线的焦点F（0,1），准线方程为 过点P做PM垂直于准线，垂足为M，‎ 由抛物线的定义可得,则，为锐角。‎ 故当最小时，最小，‎ 即当PA和抛物线相切时，最小。‎ 设切点，由，得，‎ 则PA的斜率为 解得，即，‎ 此时，，‎ 所以，故选A ‎【点睛】本题考查抛物线的定义，导数的几何意义，考查分析推理，化简求值的能力，综合性较强，属中档题。‎ ‎12.已知函数，若方程有3个不同的实根，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数和，则函数的图象过定点，画出函数的图象，求出直线与相切时的值，然后结合图象可判断出所求的取值范围．‎ ‎【详解】令和，则函数的图象过定点．‎ 画出函数的图象，如下图所示．‎ 由消去整理得.‎ 令，解得或（舍去）.‎ 又易知曲线在处的切线的斜率为1．‎ 结合图象可得：‎ 当时，和图象有两个不同的交点，所以方程 有3个不同的实根；‎ 当时，和的图象有两个不同的交点，所以方程有2个不同的实根；‎ 当时，和的图象有两个不同的交点，所以方程有1个实根或没有实根；‎ 当时，和的图象有两个不同的交点，所以方程有2个不同的实根．‎ 综上可得所求的范围为．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】解答本题的关键有两个：一个是运用转化的思想方法，将方程根的个数的问题转化为两函数图象公共点个数的问题；二是运用数形结合的思想进行求解，以增强解题的直观性．解题时的注意点是确定两图象公共点个数变化时的临界位置．‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13.某校有高一学生名，其中男生数与女生数之比为，为了解学生的视力情况，现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为的样本，若样本中男生比女生多人，则_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依题意可得，解之即得解.‎ ‎【详解】依题意可得，解得.‎ 故答案为：1320‎ ‎【点睛】本题主要考查分层抽样，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎14.设向量，，且，则________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用向量平行的坐标表示求解.‎ ‎【详解】由题得2x-(x+1)=0,‎ 所以x=1.‎ 故答案为：1‎ ‎【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎15.已知中，，，，则该三角形的面积是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用余弦定理求出a的值，再利用三角形的面积公式求面积得解.‎ ‎【详解】由题得 所以三角形的面积为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形和三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎16.已知函数，，其中，若恒成立，则当取最小值时，______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把不等式变形为：，因此可以考虑直线与 相切的情况。设出切点的坐标为，根据导数的几何意义，得出的方程，构造函数，利用导数，求出的最小值，也就能求出的值。‎ ‎【详解】由，可得，设直线与相切于点，， ，‎ 所以有， ，设，‎ 构造函数 ，，‎ 所以当时，有最小值，也就有当时，有最小值，此时 所以.‎ ‎【点睛】本题考查了不等式恒成立问题,解决本题的关键是转化为函数问题，利用导数得出最值.‎ 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）‎ ‎17.某学校为调查高三年级学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取100名学生，得到男生身高情况的频率分布直方图（图（1））和女生身高情况的频率分布直方图（图（2））.已知图（1）中身高在的男生人数有16人.‎ ‎（1）试问在抽取的学生中，男，女生各有多少人？‎ ‎（2）根据频率分布直方图，完成下列的列联表，并判断能有多大（百分之几）的把握认为“身高与性别有关”？‎ 总计 男生身高 女生身高 总计 ‎（3）在上述100名学生中，从身高在之间的男生和身高在之间的女生中间按男、女性别分层抽样的方法，抽出6人，从这6人中选派2人当旗手，求2人中恰好有一名女生的概率.‎ 参考公式：‎ 参考数据：‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）40,60；（2）列联表见解析，有的把握认为身高与性别有关；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据直方图求出男生的人数为40，再求女生的人数；（2）完成列联表，再利用独立性检验求出有的把握认为身高与性别有关；（3）利用古典概型的概率公式求出2人中恰好有一名女生的概率.‎ ‎【详解】（1）直方图中，因为身高在的男生的频率为0.4，‎ 设男生数为，则，得.‎ 由男生的人数为40，得女生的人数为.‎ ‎（2）男生身高的人数，‎ 女生身高的人数，‎ 所以可得到下列列联表：‎ 总计 男生身高 ‎30‎ ‎10‎ ‎40‎ 女生身高 ‎6‎ ‎54‎ ‎60‎ 总计 ‎36‎ ‎64‎ ‎100‎ ‎，‎ 所以能有的把握认为身高与性别有关；‎ ‎（3）在之间的男生有12人，在之间的女生人数有6人.‎ 按分层抽样的方法抽出6人，则男生占4人，女生占2人.‎ 设男生为，，，，女生为，.‎ 从6人任选2名有：，，，，，，，，，，，，，，共15种可能，‎ ‎2人中恰好有一名女生：，，，，，，，共8种可能，‎ 故所求概率.‎ ‎【点睛】本题主要考查频率分布直方图的计算，考查独立性检验解决实际问题，考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎18.已知的内角，，的对边分别为，，，.‎ ‎（Ⅰ）求角；‎ ‎（Ⅱ）若，，求及的面积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ），‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据正弦定理将所给条件变形、并结合三内角的关系可得，于是得到，故．（Ⅱ）由余弦定理求出，进而可得三角形的面积．‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题意及正弦定理可得．‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 即，‎ 又，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理可得，‎ 即，‎ 整理得，‎ 解得或（舍去）.‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】根据正余弦定理求三角形的内角时，在求出内角的三角函数值后容易忽视角的范围，从而造成失分．另外，三角形的面积常与解三角形结合在一起考查，在应用余弦定理时要注意整体思路的运用，以简化解题的过程．‎ ‎19.如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，在平面上的射影为的中点是边长为的正三角形，直线与平面所成角为.‎ ‎（I）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若，且，求该五面体的体积.‎ ‎【答案】(I)见证明；(Ⅱ) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）记的中点为，连接，，先证明平面，再证；（Ⅱ）‎ 先证明棱柱为直棱柱. 再求,‎ 即得该五面体的体积.‎ ‎【详解】证明：（I）记的中点为，连接，，‎ 由在平面上的射影为中点，得平面，‎ ‎∴，，又，，‎ ‎∴，∴.‎ 由直线与平面所成角为，易得，‎ 又由，得，又，‎ 得.‎ 由，，，‎ 得平面，平面，‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ）由（I），平面，‎ ‎∵，平面，平面，‎ ‎∴平面，平面平面，‎ ‎∴，，由题意，‎ ‎∴棱柱为直棱柱. ‎ ‎∵，‎ ‎，‎ ‎∴该五面体的体积为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查空间几何元素垂直关系的证明，考查几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对a分三种情况讨论求出函数的单调性；（2）对a分三种情况，先求出每一种情况下函数f(x)的最小值，再解不等式得解.‎ ‎【详解】（1），‎ 当时，，在上单调递增；‎ 当时，，，，，‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增；‎ 当时，，，，，‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增.‎ 综上：当时，在上单调递增；‎ 当时，在上单调递减，在上单调递增；‎ 当时，在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎（2）由（1）可知：‎ 当时，，∴成立.‎ 当时，，‎ ‎，∴.‎ 当时，‎ ‎，‎ ‎，∴，即.‎ 综上.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎21.已知椭圆的离心率为，椭圆经过点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设点是椭圆上的任意一点，射线与椭圆交于点，过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与椭圆交于两个相异点，证明：面积为定值.‎ ‎【答案】（1）； （2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据椭圆的离心率和把过的点代入椭圆方程，根据得到的式子求出.‎ ‎（2）当直线斜率不存在时，易得的面积，当直线斜率存在时，设为，与椭圆相切，得到和的关系，再由直线和椭圆联立方程组，得到、，‎ 利用弦长公式表示出，再得到和的关系，由到的距离，得到到的距离，从而计算出的面积.得到结论为定值.‎ ‎【详解】（1）解：因为的离心率为，‎ 所以，‎ 解得.①‎ 将点代入，整理得.②‎ 联立①②，得，，‎ 故椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）证明：①当直线的斜率不存在时，‎ 点为或，由对称性不妨取，‎ 由（1）知椭圆的方程为，所以有.‎ 将代入椭圆的方程得，‎ 所以 .‎ ‎②当直线的斜率存在时，设其方程为，‎ 将代入椭圆的方程 得，‎ 由题意得，‎ 整理得.‎ 将代入椭圆的方程，‎ 得.‎ 设，，‎ 则，，‎ 所以 .‎ 设，，，则可得，.‎ 因为，所以，‎ 解得（舍去），‎ 所以，从而.‎ 又因为点到直线的距离为，‎ 所以点到直线的距离为，‎ 所以 ，‎ 综上，的面积为定值.‎ ‎【点睛】本题考查求椭圆的方程，直线与椭圆相切和相交，设而不求的方法表示弦长和三角形面积等，涉及知识点较多，对计算要求较高，属于难题.‎ ‎（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的极坐标为．‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）过作曲线的切线，切点为，过作曲线的切线，切点为，求．‎ ‎【答案】（1）（2）2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）曲线C的参数方程消去参数，能求出曲线C的普通方程，由此能求出曲线C的极坐标方程．‎ ‎（2）由圆的切线长公式，先求，再利用勾股定理求得，作比即可.‎ ‎【详解】（1）由，得，‎ 即，‎ 故曲线的极坐标方程为.‎ ‎（2）由（1）知，曲线表示圆心为，半径为的圆.‎ 因为A（0，3），所以，‎ 所以.‎ 因为，‎ 所以.‎ 故.‎ ‎【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆相切的性质、切线长的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎23.[选修4-5：不等式选讲] ‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若对于任意的实数恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）分情况讨论，去掉绝对值，分情况解不等式即可；（Ⅱ）不等式等价于，画出两侧的函数图像，通过图像得到结果.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由可得，‎ 若，则或或，‎ 解得或或，‎ 所以不等式的解集为.‎ ‎（Ⅱ）不等式等价于.‎ 设，.‎ 由题意，的图象应在的图象上方（可以有交点），‎ 作图可判断，即实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及不等式的恒成立问题，其中解答中根据绝对值的定义，合理去掉绝对值号，及合理转化恒成立问题是解答本题的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用.‎ ‎ ‎