2019届二轮复习分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件（33张）（全国通用） 33页

　 两 个计数原理 考纲下载 1. 理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理 . 2 . 会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题 . 知识复习 达标检测 题型探究 内容索引 知识复习 第十三届全运会在中国天津盛大召开，一名志愿者从上海赶赴天津为游客提供导游服务，每天有 7 个航班， 6 列火车 . 思考　 该志愿者从上海到天津的方案可分几类？共有多少种出行方法？ 答案 　 两类，即乘飞机、坐火车 . 共有 7 ＋ 6 ＝ 13( 种 ) 不同的出行方法 . 知识点一　分类加法计数原理 梳理　 (1) 完成一件事有两类不同的方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ 种 不同的方法 . (2) 完成一件事有 n 类不同的方案，在第 1 类方案中有 m 1 种不同的方法，在第 2 类方案中有 m 2 种不同的方法， … ，在第 n 类方案中有 m n 种不同的方法，则完成这件事共有 N ＝ 种 不同的方法 . m 1 ＋ m 2 ＋ … ＋ m n m ＋ n 若这名志愿者从上海赶赴天津为游客提供导游服务，但需在青岛停留，已知从上海到青岛每天有 7 个航班，从青岛到天津每天有 6 列火车 . 思考　 该志愿者从上海到天津需要经历几个步骤？共有多少种出行方法？ 答案　 两个，即先乘飞机到青岛，再坐火车到天津 . 共有 7 × 6 ＝ 42( 种 ) 不同的出行方法 . 知识点二　分步乘法计数原理 梳理　 (1) 完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方法，做第 2 步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ 种 不同的方法 . (2) 完成一件事需要 n 个步骤，做第 1 步有 m 1 种不同的方法，做第 2 步有 m 2 种不同的方法， … ，做第 n 步有 m n 种不同的方法，则完成这件事共有 N ＝ 种 不同的方法 . m 1 × m 2 ×…× m n m × n 1. 在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同 .( 　　 ) 2. 在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事 .( 　　 ) 3. 在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的 .( 　　 ) 4. 在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成的，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成 .( 　　 ) × √ √ [ 思考辨析 判断正误 ] √ 题型探究 例 1 　设集合 A ＝ {1,2,3,4} ， m ， n ∈ A ，则 方程 表示 焦点位于 x 轴上的椭圆的有 A.6 个 B.8 个 C.12 个 D.16 个 √ 解析　 因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以 m > n . 当 m ＝ 4 时， n ＝ 1,2,3 ； 当 m ＝ 3 时， n ＝ 1,2 ； 当 m ＝ 2 时， n ＝ 1 ，即所求的椭圆共有 3 ＋ 2 ＋ 1 ＝ 6( 个 ). 类型一　分类加法计数原理 答案 解析 反思与感悟　 (1) 应用分类加法计数原理时，完成这件事的 n 类方法是互不干扰的，无论哪种方案中的哪种方法，都可以独立完成这件事 . (2) 利用分类加法计数原理解题的一般思路 解析　 由已知得 ab ≤ 1. 若 a ＝－ 1 时， b ＝－ 1,0,1,2 ，有 4 种可能； 若 a ＝ 0 时， b ＝－ 1,0,1,2 ，有 4 种可能； 若 a ＝ 1 时， b ＝－ 1,0,1 ，有 3 种可能； 若 a ＝ 2 时， b ＝－ 1,0 ，有 2 种可能 . ∴ 共有 ( a ， b ) 的个数为 4 ＋ 4 ＋ 3 ＋ 2 ＝ 13. 跟踪训练 1 　 满足 a ， b ∈ { － 1,0,1,2} ，且关于 x 的方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ b ＝ 0 有实数解的有序数对 ( a ， b ) 的个数为 A.14 B.13 C.12 D.10 √ 答案 解析 例 2 　 一种号码锁有 4 个拨号盘，每个拨号盘上有从 0 到 9 共十个数字，这 4 个拨号盘可以组成多少个四位数的号码？ ( 各位上的数字允许重复 ) 解　 按从左到右的顺序拨号可以分四步完成： 第一步，有 10 种拨号方式，所以 m 1 ＝ 10 ； 第二步，有 10 种拨号方式，所以 m 2 ＝ 10 ； 第三步，有 10 种拨号方式，所以 m 3 ＝ 10 ； 第四步，有 10 种拨号方式，所以 m 4 ＝ 10. 根据分步乘法计数原理，共可以组成 N ＝ 10 × 10 × 10 × 10 ＝ 10 000( 个 ) 四位数的号码 . 类型二　分步乘法计数原理 解答 引申探究 若各位上的数字不允许重复，那么这个拨号盘可以组成多少个四位数的号码？ 解　 按从左到右的顺序拨号可以分四步完成： 第一步，有 10 种拨号方式，即 m 1 ＝ 10 ； 第二步，去掉第一步拨的数字，有 9 种拨号方式，即 m 2 ＝ 9 ； 第三步，去掉前两步拨的数字，有 8 种拨号方式，即 m 3 ＝ 8 ； 第四步，去掉前三步拨的数字，有 7 种拨号方式，即 m 4 ＝ 7. 根据分步乘法计数原理，共可以组成 N ＝ 10 × 9 × 8 × 7 ＝ 5 040( 个 ) 四位数的号码 . 解答 反思与感悟　 (1) 应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可 . (2) 利用分步乘法计数原理解题的一般思路 ① 分步：将完成这件事的过程分成若干步； ② 计数：求出每一步中的方法数； ③ 结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果 . 跟踪训练 2 　从－ 1,0,1,2 这四个数中选三个不同的数作为函数 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 的系数，可组成不同的二次函数共 ____ 个，其中不同的偶函数共 ___ 个 .( 用数字作答 ) 解析　 一个二次函数对应着 a ， b ， c ( a ≠ 0) 的一组取值， a 的取法有 3 种， b 的取法有 3 种， c 的取法有 2 种，由分步乘法计数原理知共有不同的二次函数 3 × 3 × 2 ＝ 18( 个 ). 若二次函数为偶函数，则 b ＝ 0. a 的取法有 3 种， c 的取法有 2 种，则由分步乘法计数原理知，共有不同的偶函数 3 × 2 ＝ 6( 个 ). 答案 解析 18 6 例 3 　 现有 5 幅不同的国画， 2 幅不同的油画， 7 幅不同的水彩画 . (1) 从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？ 解　 分为三类：从国画中选，有 5 种不同的选法；从油画中选，有 2 种不同的选法；从水彩画中选，有 7 种不同的选法 . 根据分类加法计数原理，共有 5 ＋ 2 ＋ 7 ＝ 14( 种 ) 不同的选法 . 类型三　辨析两个计数原理 解答 (2) 从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？ 解　 分为三步：国画、油画、水彩画各有 5 种， 2 种， 7 种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有 5 × 2 × 7 ＝ 70( 种 ) 不同的选法 . (3) 从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？ 解　 分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有 5 × 2 ＝ 10( 种 ) 不同的选法； 第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有 5 × 7 ＝ 35( 种 ) 不同的选法； 第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有 2 × 7 ＝ 14( 种 ) 不同的选法 . 所以共有 10 ＋ 35 ＋ 14 ＝ 59( 种 ) 不同的选法 . 解答 反思与感悟　 (1) 当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法 . (2) 分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律 . (3) 混合问题一般是先分类再分步 . 跟踪训练 3 　在 7 名学生中，有 3 名会下象棋但不会下围棋，有 2 名会下围棋但不会下象棋，另 2 名既会下象棋又会下围棋，现在从 7 人中选 2 人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？ 解答 解　 选参加象棋比赛的学生有两种方法，在只会下象棋的 3 人中选或在既会下象棋又会下围棋的 2 人中选；选参加围棋比赛的学生也有两种选法；在只会下围棋的 2 人中选或在既会下象棋又会下围棋的 2 人中选 . 互相搭配，可得四类不同的选法 . 从 3 名只会下象棋的学生中选 1 名参加象棋比赛，同时从 2 名只会下围棋的学生中选 1 名参加围棋比赛有 3 × 2 ＝ 6( 种 ) 选法； 从 3 名只会下象棋的学生中选 1 名参加象棋比赛，同时从 2 名既会下象棋又会下围棋的学生中选 1 名参加围棋比赛有 3 × 2 ＝ 6( 种 ) 选法 ； 从 2 名只会下围棋的学生中选 1 名参加围棋比赛，同时从 2 名既会下象棋又会下围棋的学生中选 1 名参加象棋比赛有 2 × 2 ＝ 4( 种 ) 选法； 2 名既会下象棋又会下围棋的学生分别参加象棋比赛和围棋比赛有 2 种选法 . 所以共有 6 ＋ 6 ＋ 4 ＋ 2 ＝ 18( 种 ) 选法 . 所以共有 18 种不同的选法 . 达标检测 1. 从 A 地到 B 地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发 3 次，火车发 4 次，轮船发 2 次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为 A.1 ＋ 1 ＋ 1 ＝ 3 B.3 ＋ 4 ＋ 2 ＝ 9 C.3 × 4 × 2 ＝ 24 D . 以上都不对 解析　 分三类：第一类，乘汽车，从 3 次中选 1 次有 3 种走法 ； 第二 类，乘火车，从 4 次中选 1 次有 4 种走法 ； 第三 类乘轮船，从 2 次中选 1 次有 2 种走法，所以共有 3 ＋ 4 ＋ 2 ＝ 9( 种 ) 不同的走法 . 答案 解析 √ 1 2 3 4 5 答案 解析 2. 现有 4 件不同款式的上衣和 3 条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为 A.7 B.12 C.64 D.81 解析　 要完成配套，分两步：第 1 步，选上衣，从 4 件上衣中任选一件，有 4 种不同的选法 ； 第 2 步，选长裤，从 3 条长裤中任选一条，有 3 种不同的选法 . 故共有 4 × 3 ＝ 12( 种 ) 不同的配法 . √ 1 2 3 4 5 答案 解析 3. 若 x ， y ∈ N * ，且 x ＋ y ≤ 5 ，则有序自然数对 ( x ， y ) 的个数为 A.6 B.8 C.9 D.10 解析　 当 x ＝ 1 时， y ＝ 1,2,3,4 ，共构成 4 个有序自然数对； 当 x ＝ 2 时， y ＝ 1,2,3 ，共构成 3 个有序自然数对； 当 x ＝ 3 时， y ＝ 1,2 ，共构成 2 个有序自然数对； 当 x ＝ 4 时， y ＝ 1 ，共构成 1 个有序自然数对 . 根据分类加法计数原理，共有 N ＝ 4 ＋ 3 ＋ 2 ＋ 1 ＝ 10( 个 ) 有序自然数对 . √ 1 2 3 4 5 答案 解析 4.5 名乒乓球队员中，有 2 名老队员和 3 名新队员 . 现从中选出 3 名队员参加团体比赛，则入选的 3 名队员中至少有一名老队员的选法有 ____ 种 .( 用数字作答 ) 解析 　 分为两类：两名老队员、一名新队员时，有 3 种选法 ； 两 名新队员、一名老队员时，有 2 × 3 ＝ 6( 种 ) 选法，即共有 9 种不同选法 . 1 2 3 4 5 9 解答 5. 某校高中三年级一班有优秀团员 8 人，二班有优秀团员 10 人，三班有优秀团员 6 人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地 . (1) 推选 1 人为总负责人，有多少种不同的选法？ 解　 分三类，第一类是从一班的 8 名优秀团员中产生，有 8 种不同的选法 ； 第二 类是从二班的 10 名优秀团员中产生，有 10 种不同的选法 ； 第三 类是从三班的 6 名优秀团员中产生，有 6 种不同的选法 . 由分类加法计数原理可得，共有 N ＝ 8 ＋ 10 ＋ 6 ＝ 24( 种 ) 不同的选法 . 1 2 3 4 5 解答 (2) 每班选 1 人为小组长，有多少种不同的选法？ 解　 分三步，第一步从一班的 8 名优秀团员中选 1 名小组长，有 8 种不同的选法 ， 第二 步从二班的 10 名优秀团员中选 1 名小组长，有 10 种不同的选法 . 第三 步是从三班的 6 名优秀团员中选 1 名小组长，有 6 种不同的选法 . 由分步乘法计数原理可得，共有 N ＝ 8 × 10 × 6 ＝ 480( 种 ) 不同的选法 . 1 2 3 4 5 解答 (3) 从他们中选出 2 个人管理生活，要求这 2 个人不同班，有多少种不同的选法？ 解　 分三类：每一类又分两步 ， 第 一类是从一班、二班的优秀团员中各选 1 人，有 8 × 10 种不同的选法 ； 第二 类是从二班、三班的优秀团员中各选 1 人，有 10 × 6 种不同的选法 ； 第三 类是从一班、三班的优秀团员中各选 1 人，有 8 × 6 种不同的选法 . 因此，共有 N ＝ 8 × 10 ＋ 10 × 6 ＋ 8 × 6 ＝ 188( 种 ) 不同的选法 . 1 2 3 4 5 1. 使用两个原理解题的本质 规律与方法 2. 利用两个计数原理解决实际问题的常用方法