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- 2021-06-16 发布
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甘肃省兰州市第一中学2020届高三冲刺模拟考试(二)
数学试题(文)
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={x|x2﹣x﹣6<0},集合B={x|x﹣1>0},则(∁RA)∩B=( )
A.(1,3) B.(1,3] C.[3,+∞) D.(3,+∞)
2.设复数z满足(z+2i)•i=3﹣4i,则复数 在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.若非零实数a,b满足 ,则下列式子一定正确的是( )
A.b>a B.b<a C.|b|<|a| D.|b|>|a|
4.已知α为锐角,,则 =( )
A. B. C.2 D.3
5.已知f(k)=k+(﹣1)k,执行如图所示的程序框图,若输出k的值为4,则判断框内可
填入的条件是( )
A.s>3? B.s>5?
C.s>15? D.s>10?
6. 在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,﹣2),N(1,0).若动点M满足,则的取值范围是( )
A.[0,2] B.[0,2] C.[﹣2,2] D.[﹣2,2]
7.中国古代十进制的算筹计数法,在数学史上是一个伟大的创造,算筹实际上是一根根同
长短的小木棍.如图,是利用算筹表示数1~9的一种方法.例如:3可表示为“≡”,26
可表示为“=⊥”.现有6根算筹,据此表示方法,若算筹不能剩余,则可以用1~9这9
个数字表示两位数的个数为( )
A.16 B.15 C.14 D.13
8.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2﹣4x,则不等式f(x+2)
<5的解集为( )
A.(﹣3,7) B.(﹣4,5) C.(﹣7,3) D.(﹣2,6)
9.已知双曲线C:,O为坐标原点,直线x=a与双曲线C的两条渐近线交于
A,B两点,若△OAB是边长为2的等边三角形,则双曲线C的方程为( )
A. B. C. D.
10.甲、乙二人玩数字游戏,先由甲任意想一个数字,记为m,再由乙猜想甲刚才想的数字,
把猜出的数字记为n,且m,n∈{1,2,3},若|m﹣n|≤1,则称二人“心有灵犀”,现任意找
二人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为( )
A. B. C. D.
11.已知函数,若方程的解为,则
=( )
A. B. C. D.
12.已知函数f(x)=kx,g(x)=2lnx+2e(≤x≤e2),若f(x)与g(x)的图象上分别
存在点M,N,使得M,N关于直线y=e对称,则实数k的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.
13.已知多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7,则f(5) =____________.
14.设m,n为正数,且m+n=2,则的最小值为= .
15.设f(x)是定义在R上的函数,其导函数为f'(x),若f(x)+f'(x)>1,f(0)=2020,
则不等式exf(x)>ex+2019(其中e为自然对数的底数)的解集为 .
16.已知点A是以BC为直径的圆O上异于B,C的动点,P为平面ABC外一点,且平面
PBC⊥平面ABC,BC=3,PB=2,PC=,则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为 .
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考
题,每个试题学生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分。
17.(本小题12分)
如图,在四棱锥中,是等边三角形,侧面底面,其中,,,.
(1)是上一点,求证:平面平面;
(2)求三棱锥的体积.
18.(本小题12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn,.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若.
19.(本小题12分)
根据某电子商务平台的调查统计显示,参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如图.
(1)已知、,三个年龄段的上网购物者人数成等差数列,
求,的值;
(2)该电子商务平台将年龄在之间的人群定义为高消费人群,其他的年龄段定义为潜在消费人群,为了鼓励潜在消费人群的消费,该平台决定发放代金券,高消费人群每人发放50元的代金券,潜在消费人群每人发放100元的代金券.已经采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取了5人,现在要在这5人中随机抽取3人进行回访,求此三人获得代金券总和为200元的概率.
20.(本小题12分)
已知抛物线的焦点为F,点,点B在抛物线C上,且满足(O为坐标原点).
(1)求抛物线C的方程;
(2)过焦点F任作两条相互垂直的直线l与,直线l与抛物线C交于P,Q两点,直线与抛物线C交于M,N两点,的面积记为,的面积记为,求证:为定值.
21.(本小题12分)
已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)证明当时,关于的不等式恒成立;
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。[选修4-4:坐标系与参数方程]
22.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为为参数),以
坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ.
(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程;
(2)已知曲线C3的极坐标方程为θ=α(0<α<π,ρ∈R),点A是曲线C3与C1的交点,点B是曲线C3与C2的交点,A、B均异于原点O,且|AB|=2,求实数α的值.
[选修4-5:不等式选讲]
23.已知函数f(x)=|x﹣m|﹣|x+2|(m∈R),不等式f(x﹣2)≥0的解集为(﹣∞,4].
(1)求m的值;
(2)若a>0,b>0,c>3,且a+2b+c=2m,求(a+1)(b+1)(c﹣3)的最大值.
参考答案
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.C
2.B
3.C
4.D
5.D
6.D
7.A
8.C
9.A
10.D
11.B
12.B
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.
13. 2677
14.
15.(0,+∞)
16. 10π
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题学生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。
17. (Ⅰ)证明:在中,,,
又平面平面,平面平面,
平面 平面
平面平面
(Ⅱ)解:取中点,由为等边三角形得
平面平面,平面,
又因为 中,,在中,边上的高
三棱锥的体积为.
18.解:(1)
19.解:(1)由于五个组的频率之和等于1,故:
,且,
联立解出,.
(2)由已知高消费人群所占比例为,潜在消费人群的比例为0.4,由分层抽样的性质知抽出的5人中,高消费人群有3人,潜在消费人群有2人,令高消费的人为A,B,C,潜在消费的人为a,b,从中抽取的三人总共有:ABC,ABa,ABb,ACa,ACb,BCa,BCb,Aab,Bab,Cab共10种,其中ABa,ABb,ACa,ACb,BCa,BCb共6种是获得代金券总和为200元的情况,因此三人获得代金券总和为200元的概率为3/5
20.解:(1)设
因为点B在抛物线C上,
(2)由题意得直线l的斜率存在且不为零,设,代入得,所以
因此,同理可得
因此
21.解:(1) ,由,得.
又,所以,所以的单调递减区间为,函数的单增区间为.
(2)令,所以,因为,所以,令,得,所以当,当时,因此函数在是增函数,在是减函数,故函数的最大值为,令,因为,又因为在是减函数,所以当时,,即对于任意正数总有,所以关于的不等式恒成立.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。[选修4-4:坐标系与参数方程]
22.解:(1)由曲线C1的参数方程为参数),得曲线C1的普通方程
为,
由曲线C2的极坐标方程ρ=2cosθ,得C2的直角坐标方程为(x﹣1)2+y2=1;
(2)曲线C1化为极坐标方程为,
设A(ρ1,α),B(ρ2,α),则,
∴,
由知,,
∵,∴或,
∴或
[选修4-5:不等式选讲](10分)
23.解:(1)∵f(x)=|x﹣m|﹣|x+2|,∴f(x﹣2)=|x﹣m﹣2|﹣|x|≥0的解集为(﹣∞,4],
∴|x﹣m﹣2|≥|x|,解得m+2=8,即m=6.
(2)∵m=6,∴a+2b+c=12.
又∵a>0,b>0,c>3,
,
当且仅当a+1=2b+2=c﹣3,结合a+2b+c=12解得a=3,b=1,c=7时,等号成立,
∴(a+1)(b+1)(c﹣3)的最大值为32.