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- 2021-06-16 发布
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一、选择题
1.圆C1:x2+y2+4x+8y-5=0与圆C2:x2+y2+4x+4y-1=0的位置关系为( )
A.相交 B.外切
C.内切 D.外离
[答案] C
[解析] 由已知,得C1(-2,-4),r1=5,C2(-2,-2),r2=3,则d=|C1C2|=2,∴d=|r1-r2|.∴两圆内切.
2.圆x2+y2-2x-5=0和圆x2+y2+2x-4y-4=0的交点为A、B,则线段AB的垂直平分线方程为( )
A.x+y-1=0 B.2x-y+1=0
C.x-2y+1=0 D.x-y+1=0
[答案] A
[解析] 直线AB的方程为:4x-4y+1=0,因此线段AB的垂直平分线斜率为-1,过圆心(1,0),方程为y=-(x-1),故选A.
规律总结:两圆相交时,公共弦的垂直平分线过两圆的圆心,故连心线所在直线就是弦AB的垂直平分线.
3.已知圆C1:(x+1)2+(y-3)2=25,圆C2与圆C1关于点(2,1)对称,则圆C2的方程是( )
A.(x-3)2+(y-5)2=25
B.(x-5)2+(y+1)2=25
C.(x-1)2+(y-4)2=25
D.(x-3)2+(y+2)2=25
[答案] B
[解析] 设⊙C2上任一点P(x,y),它关于(2,1)的对称点(4-x,2-y)在⊙C1上,∴(x-5)2+(y+1)2=25.
4.两圆x2+y2-4x+2y+1=0与x2+y2+4x-4y-1=0的公切线有( )
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
[答案] C
[解析] r1=2,r2=3,d=5,由于d=r1+r2所以两圆外切,故公切线有3条,选C.
5.若圆(x-a)2+(y-b)2=b2+1始终平分圆(x+1)2+(y+1)2=4的周长,则a、b应满足的关系式是( )
A.a2-2a-2b-3=0
B.a2+2a+2b+5=0
C.a2+2b2+2a+2b+1=0
D.3a2+2b2+2a+2b+1=0
[答案] B
[解析] 利用公共弦始终经过圆(x+1)2+(y+1)2=4的圆心即可求得.两圆的公共弦所在直线方程为:(2a+2)x+(2b+2)y-a2-1=0,它过圆心(-1,-1),代入得a2+2a+2b+5=0.
6.两圆x2+y2=16与(x-4)2+(y+3)2=r2(r>0)在交点处的切线互相垂直,则R=( )
A.5 B.4
C.3 D.2
[答案] C
[解析] 设一个交点P(x0,y0),则x+y=16,(x0-4)2+(y0+3)2=r
2,∴r2=41-8x0+6y0,
∵两切线互相垂直,
∴·=-1,∴3y0-4x0=-16.
∴r2=41+2(3y0-4x0)=9,∴r=3.
7.(2012~2013·湖南长沙模拟)若圆(x-a)2+(y-a)2=4上,总存在不同的两点到原点的距离等于1,则实数a的取值范围是( )
A.
B.
C.∪
D.
[答案] C
[解析] 圆(x-a)2+(y-a)2=4的圆心C(a,a),半径r=2,到原点的距离等于1的点的集合构成一个圆,这个圆的圆心是原点O,半径R=1,则这两个圆相交,圆心距d==|a|,则|r-R|r1+r2=3,
∴圆O和圆C外离,无公共点,∴A∩B=∅.
二、填空题
9.圆C1:x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2:x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦所在的直线方程是________.
[答案] 4x+3y-2=0
[解析] 两圆的方程相减得公共弦所在的直线方程为4x+3y-2=0.
10.若点A(a,b)在圆x2+y2=4上,则圆(x-a)2+y2=1与圆x2+(y-b)2=1的位置关系是________.
[答案] 外切
[解析] ∵点A(a,b)在圆x2+y2=4上,
∴a2+b2=4.
又圆x2+(y-b)2=1的圆心C1(0,b),半径r1=1,
圆(x-a)2+y2=1的圆心C2(a,0),半径r2=1,
则d=|C1C2|===2,
∴d=r1+r2.∴两圆外切.
11.与直线x+y-2=0和圆x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是________.
[答案] (x-2)2+(y-2)2=2
[解析] 已知圆的标准方程为(x-6)2+(y-6)2=18,则过圆心(6,6)且与直线x+y-2=0垂直的方程为x-y=0.方程x-y
=0分别与直线x+y-2=0和已知圆联立得交点坐标分别为(1,1)和(3,3)或(-3,-3).由题意知所求圆在已知直线和已知圆之间,故所求圆的圆心为(2,2),半径为,即圆的标准方程为(x-2)2+(y-2)2=2.
12.已知点P在圆x2+y2-8x-4y+11=0上,点Q在圆x2+y2+4x+2y+1=0上,则|PQ|的最小值是________.
[答案] 3-5
[解析] 两圆的圆心和半径分别为C1(4,2),r1=3,C2(-2,-1),r2=2,
∴d=|C1C2|=>r1+r2=5.∴两圆外离.
∴|PQ|min=|C1C2|-r1-r2=3-3-2=3-5.
三、解答题
13.已知圆O:x2+y2=25和圆C:x2+y2-4x-2y-20=0相交于A,B两点,求公共弦AB的长.
[解析] 两圆方程相减得弦AB所在的直线方程为4x+2y-5=0.
圆x2+y2=25的圆心到直线AB的距离d==,
∴公共弦AB的长为|AB|=2=2=.
14.求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.
[分析] →
→→
[解析] 设所求圆的方程为x2+y2+6x-4+λ(x2+y2+6y-28)=0(λ≠-1),即(1+λ)x2+(1+λ)y2+6x+6λy-28λ-4=0,
故圆心为(-,-),
将横纵坐标代入x-y-4=0得
-+-4=0,
解之,得λ=-7,
于是所求圆的方程为(1-7)x2+(1-7)y2+6x-42y+192=0,
即x2+y2-x+7y-32=0.
规律总结:本题也可利用以下方法求解:(1)求出公共弦所在直线方程,进而求出其垂直平方线方程,与直线x-y-4=0联立,求出圆心坐标,然后求出半径,可得圆的方程;(2)求出两圆的交点坐标,因为交点在所求圆上,故可利用待定系数法求解.
15.求以圆C1:x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2:x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦为直径的圆C的方程.
[解析] 方法一:联立两圆方程
相减得公共弦所在直线方程为4x+3y-2=0.
再由
联立得两圆交点坐标(-1,2),(5,-6).
∵所求圆以公共弦为直径,
∴圆心C是公共弦的中点(2,-2),半径为
=5.
∴圆C的方程为(x-2)2+(y+2)2=25.
方法二:由方法一可知公共弦所在直线方程为4x+3y-2=0.设所求圆的方程为x2+y2-12x-2y-13+λ(x2+y2+12x+16y-25)=0(λ为参数).
可求得圆心C(-,-).
∵圆心C在公共弦所在直线上,
∴4·+3·-2=0,
解得λ=.
∴圆C的方程为x2+y2-4x+4y-17=0.
16.(09·江苏文)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2:(x-4)2+(y-5)2=4
(1)若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为2,求直线l的方程;
(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和圆C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.
[解析] (1)由于直线x=4与圆C1不相交,所以直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-4),圆C1的圆心C1(-3,1)到直线l的距离为d=,
因为直线l被圆C1截得的弦长为2,
∴4=()2+d2,∴k(24k+7)=0,
即k=0或k=-,
所以直线l的方程为y=0或7x+24y-28=0
(2)设点P(a,b)满足条件,不妨设直线l1的方程为y-b=k(x-a),k≠0,则直线l2的方程为y-b=-(x-a),因为C1和C2的半径相等,及直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等,
即=
整理得:|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|,
∴1+3k+ak-b=5k+4-a-bk
或1+3k+ak-b=-5k-4+a+bk,
即(a+b-2)k=b-a+3或(a-b+8)k=a+b-5.
因为k的取值有无穷多个,所以
,或,
解得或
这样点P只可能是点P1或点P2.
经检验点P1和P2满足题目条件.