【数学】吉林省长春外国语学校2019-2020学年高二下学期期末考试（理） 8页

吉林省长春外国语学校2019-2020学年高二下学期期末考试（理）‎ ‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。考试结束后，将答题卡交回。‎ 注意事项：‎ ‎ 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信 ‎ 息条形码粘贴区。‎ ‎ 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书 ‎ 写，字体工整、笔迹清楚。‎ ‎3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；‎ ‎ 在草稿纸、试题卷上答题无效。‎ ‎4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。‎ ‎5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1. 已知集合，,那么等于( )‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 复数（其中为虚数单位）在复平面内对应的点位于( )‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反证假设正确的是( )‎ A．假设三内角都不大于60° B．假设三内角都大于60°‎ C．假设三内角至多有一个大于60° D．假设三内角至多有两个小于60°‎ ‎4. 直线（t为参数）的倾斜角是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎5. 的展开式中的系数是（ ）‎ A． B． C．120 D．210‎ ‎6. 已知函数满足，，则函数在处的瞬时变化率为（ ）‎ A．1 B．2 C．e D．2e ‎7．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8. 小明的妈妈为小明煮了 个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件=“取到的两个是同一种馅”，事件=“取到的两个都是豆沙馅”，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9. 有下列四个命题，其中真命题是（ ）‎ A.， B.，，‎ C.，， D.，‎ ‎10. 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）‎ ‎（附：，则，．）‎ A．2718 B．3413 C．340 D．906‎ ‎11. 点是曲线上任意一点，则点到直线的最短距离为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12. 已知函数在上可导且满足，则下列一定成立的为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题5分。‎ ‎13. __________． ‎ ‎14．若z＝4＋3i，则＝ . ‎ ‎15．有甲、乙、丙、丁四位同学竞选班长，其中只有一位当选．有人走访了四位同学，甲说：“是乙或丙当选”，乙说：“甲、丙都未当选”，丙说：“我当选了”，丁说：“是乙当选了”，若四位同学的话只有两句是对的，则当选的同学是 .‎ ‎16. 已知函数（为自然对数的底数），若在上有解，则实数的取值范围是________.‎ 三、解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出必要证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（10分）己知 ‎（1）若是真命题，求对应的取值范围；‎ ‎（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围.‎ ‎18.（12分）已知曲线 在处的切线与平行 ‎（1）求的解析式； ‎ ‎（2）求由曲线 与，，所围成的平面图形的面积.‎ ‎19.（12分) 已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）当时，求函数的最大值与最小值.‎ ‎20．（12分）甲，乙两人进行定点投篮活动，已知他们每投篮一次投中的概率分别是和，每次投篮相互独立互不影响．‎ ‎（1）甲乙各投篮一次，记“至少有一人投中”为事件A，求事件A发生的概率；‎ ‎（2）甲乙各投篮一次，记两人投中次数的和为X，求随机变量X的分布列及数学期望；‎ ‎（3）甲投篮5次，投中次数为ξ，求ξ＝2的概率和随机变量ξ的数学期望．‎ ‎21. （12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）写出的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点的直角坐标为，直线与曲线交于，两点，求的值.‎ ‎22.（12分）已知函数.‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；‎ ‎（3）设函数，其中.证明：的图象在图象的下方.‎ 参考答案 一、选择题 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ A B B D B C D B B C D A 二、填空题 ‎13. 14. 15.丙 16. ‎ 三、解答题 ‎17.（1）为真命题，即，解得 ‎ ‎（2）根据（1）知：，‎ 是的必要不充分条件 当时，，故满足，即；‎ 当时，，满足条件；‎ 当时，，故满足，即.‎ 综上所述：‎ ‎18.（1）由已知得：f'(1)=2,求得a=1，所以 f(x)=x2+2‎ ‎ ‎ ‎19. （1） ‎ 当时，单调递增；‎ 当时，单调递减；‎ 当时，单调递增；‎ 所以的递增区间是和；递减区间是 ‎ ‎（2）由（1）知，在上单调递增，在区间上单调递减 ‎ 所以的极大值为极小值为- ‎ 又因为 ，所以的最大值是77，最小值是 ‎20. （1）设甲投中为事件B，乙投中为事件C，则，‎ 所以． ‎ ‎（2）随机变量的可能取值为，‎ 则， ，，‎ 所以随机变量的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 所以数学期望． ‎ ‎（3）甲投篮5次，投中次数为ξ，可得随机变量，‎ 所以，‎ 所以随机变量数学期望． ‎ ‎ 21. （1）曲线的参数方程为（为参数），‎ 的普通方程为.‎ 直线的极坐标方程为，即.‎ 由，得直线的直角坐标方程.‎ ‎（2）直线的参数方程为（为参数），‎ 代入的普通方程，得.‎ 设，两点对应的参数分别为，，.‎ ‎22.（1）求导，得，又因为 所以曲线在点处的切线方程为 ‎（2）设函数，求导，得，‎ 因为函数在区间上为单调函数，‎ 所以在区间上，恒成立，即恒成立.‎ 又因为函数在在区间上单调递减，，‎ 所以.‎ ‎(3）证明：设.‎ 求导，得.‎ 设，则（其中）.‎ 所以当时，（即）为增函数.‎ 又因为，所以，存在唯一的，使得 且与在区间上的情况如下：‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↘‎ ‎↗‎ 所以，函数在上单调递减，在上单调递增，所以 .‎ 又因为，，‎ 所以，‎ 所以，即的图象在图象的下方.‎