高中数学（人教A版，必修5）教师用书（预学+导学+固学+思学）：第三章 不等式 91页

知识点 新课程标准的要求 层次要求 领域目标要求 不等关系与不等式 ‎1.通过具体情景,了解不等式(组)的实际背景,借助数轴,能从“形”和“数”两个方面来认识不等式 ‎2.理解不等式的性质,能运用不等式的性质证明简单不等式以及解不等式 ‎1.通过具体情境,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,体会不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值 ‎2.体会线性规划的基本思想,借助几何直观解决一些简单的线性规划问题 ‎3.通过实例,体验数学与日常生活的联系,感受数学的实用价值,增强应用意识,提高实践能力 一元二次不等式 ‎1.掌握求解一元二次不等式的基本方法 ‎2.掌握一元二次不等式在实际问题中的应用 ‎3.了解简单的一元高次不等式和分式不等式的解法 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题 ‎1.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组 ‎2.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决 基本不等式 ‎1.学会推导并掌握基本不等式 ‎2.掌握基本不等式的一些重要变形 ‎3.能用基本不等式解决简单的最大(小)值问题 本章的教学重点有:了解不等式和不等关系的实际背景,掌握常用不等式的基本性质,会将一些基本性质结合应用;一元二次不等式的解法;二元一次不等式组表示的平面区域及线性规划问题;利用基本不等式进行不等式证明与求函数的最值等.‎ 在教学时要注意以下几点:‎ ‎1.注重基础,要求学生深刻理解不等式的性质是解、证不等式的基础.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理及其变形在不等式的证明和解决有关不等式的实际问题中发挥着重要的作用.解不等式是研究方程和函数的主要工具.‎ ‎2.线性规划问题有着丰富的实际背景,且作为最优化方法之一又与人们日常生活密切相关,所以对于这部分内容要求学生能用平面区域表示二元一次不等式组,能解决简单的线性规划问题,同时注意数形结合的思想在线性规划中的运用,让学生经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程,提高数学建模能力.‎ ‎3.引导学生通过本章学习掌握用基本不等式求解最值问题,能用基本不等式证明简单的不等式.利用基本不等式求最值时一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件.一元二次不等式是一类重要的不等式,要掌握一元二次不等式的解法,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系和相互转化.‎ ‎4.本章学习是学生对不等式认知的一次飞跃,要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明,从而进一步突破难点.变式练习的设计可加深学生对定理的理解,并为以后实际问题的研究奠定基础.基本不等式的证明要注重严密性,老师要帮助学生分析每一步的理论依据,培养学生良好的数学品质.‎ 第1课时　不 等 关 系 ‎1.了解现实世界和日常生活中存在的不等关系.‎ ‎2.了解不等式的意义,会列不等式表示数量关系.‎ ‎3.会用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.‎ ‎4.掌握作差比较大小的基本步骤,并且能灵活应用来解决一些实际问题.‎ 重点:理解不等式的意义、列不等式表示数量关系、比较大小的基本步骤及其应用.‎ 难点:正确理解题意列出不等式,准确理解实数运算的符号法则及一些代数式的恒等变形.‎ 咖啡馆配制两种饮料,甲种饮料每杯分别用奶粉9 g,咖啡4 g,糖3 g;乙种饮料每杯分别用奶粉4 g,咖啡5 g,糖10 g.已知每天使用原料限额为奶粉3600 g,咖啡2000 g,糖3000 g,设每天应配制甲种饮料x杯,乙种饮料y杯,你能写出满足上述条件的所有不等式吗?‎ 问题1:上述情境中的x,y满足的不等式分别为:　9x+4y≤3600　,　4x+5y≤2000　,　3x+10y≤3000　,x≥0,y≥0. ‎ 问题2:作差法比较大小的依据是什么?‎ ‎(1)a>b⇔　a-b>0　;(2)a=b⇔　a-b=0　;(3)a0,b>0.(1)a>b⇔ >1　;(2)a=b⇔ =1　;(3)a120　　　　　　B.x+y<120‎ C.x+y≥120 D.x+y≤120‎ ‎【解析】A是表示总量大于120吨,B表示总量小于120吨,D表示总量不多于120吨(即至多120吨),因为甲、乙两种材料总量至少需要120吨,故应为x+y≥120.‎ ‎【答案】C ‎2.设a=3x2-x+1,b=2x2+x,x∈R,则(　　).‎ A.a>b　　B.a0,b>0,则+　　　 (填上适当的等号或不等号).‎ ‎【解析】∵a>0,b>0,∴(+)2=a+b+2,‎ ‎()2=a+b,∴(+)2>()2,即+>.‎ ‎【答案】>‎ ‎4.比较x2+3与3x的大小,其中x∈R.‎ ‎【解析】∵(x2+3)-3x=x2-3x+3=[x2-3x+()2]-()2+3=(x-)2+≥>0,‎ ‎∴x2+3>3x.‎ 用作差法比较大小 比较a4-b4与4a3(a-b)的大小.‎ ‎【方法指导】通过作差比较大小.‎ ‎【解析】a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)‎ ‎=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]‎ ‎=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)‎ ‎=-(a-b)2[(a+)2+]≤0(当且仅当a=b时取等号).‎ ‎∴a4-b4≤4a3(a-b).‎ ‎【小结】作差法是比较大小的常用方法,其具体步骤是:作差——变形——判断符号,其中,“变形”是解题的关键,而因式分解、配方、凑成若干个平方和等都是“变形”的常用方法.‎ 用作商法比较大小 已知a>b>0,比较aabb与abba的大小.‎ ‎【方法指导】通过作商法比较大小 ‎【解析】∵==()a-b,又a>b>0,故>1,a-b>0,‎ ‎∴()a-b>1,即>1,又abba>0,∴aabb>abba,‎ ‎∴aabb与abba的大小关系为:aabb>abba.‎ ‎【小结】作商法是比较大小的常用方法,其具体步骤是:作商——变形——判断与1的大小,其中变形是关键.通常指数、幂的形式常用此法.‎ 用不等关系解决实际问题 六一节日期间,某商场儿童柜台打出广告:儿童商品按标价的80%出售;同时,当顾客在该商场内消费满一定金额后,按如下方案获得相应金额的奖券:(如表所示)‎ 消费金额 ‎(元)‎ ‎[200,‎ ‎400]‎ ‎[400,‎ ‎500]‎ ‎[500,‎ ‎700]‎ ‎[700,‎ ‎900]‎ ‎…‎ 获奖券的金额 ‎(元)‎ ‎30‎ ‎60‎ ‎100‎ ‎130‎ ‎…‎ ‎　　依据上述方法,顾客可以获得双重优惠.(优惠率=(优惠金额+奖券金额)÷总标价)‎ 试问:(1)若购买一件标价为1000元的商品,顾客得到的优惠率是多少?(2)对于标价在[500,800]内的商品,顾客购买标价为多少元的商品,可得到不小于的优惠率?‎ ‎【方法指导】(1)了解双重优惠的定义易解;(2)分别算出优惠金额和奖券金额,利用优惠率不小于得到不等式,求得标价的范围.‎ ‎【解析】(1)=33%,故顾客得到的优惠率为33%.‎ ‎(2)设商品的标价为x元,则500≤x≤800,由已知得 或 ‎[问题]上述解法正确吗?‎ ‎[结论]上述解法不正确.商品的标价为x元,而消费额在[500×0.8,800×0.8]之间,‎ 而不是500~800之间.‎ 于是,正确解答为:(1)同上.‎ ‎(2)设商品的标价为x元,则500≤x≤800,消费额:400≤0.8x≤640.‎ 由已知得:‎ ‎①或②‎ 解不等式①无解,②得:625≤x≤750.‎ ‎【小结】运用不等式解决实际问题时,首先将实际问题转化为函数不等式的问题,然后解不等式求解.‎ ‎(1)试比较(x+1)(x+5)与(x+3)2的大小;‎ ‎(2)已知00,‎ ‎∴(a-b)(a+b)2<0,‎ ‎∴a3-b30,N>0,且==<1,∴M+>0,∴M5时,y1y2.‎ 因此当单位去的人数为5时,两车队收费相同;多于5人时,选甲车队更优惠;少于5人时,选乙车队更优惠.‎ ‎1.某夏令营有48人,出发前要从A,B两种型号的帐篷中选择一种.A型号的帐篷比B型号的帐篷少5顶,若只选A型号的,每顶帐篷住4人,则帐篷不够;每顶帐篷住5人,则有一顶帐篷没住满.若只选B型号的,每顶帐篷住3人,则帐篷不够;每顶帐篷住4人,则有帐篷多余.设A型号的帐篷有x顶,则下列选项中,不需要x满足的条件是(　　).‎ A.0<5x-48<5　　　　　　B.3(x+5)<48‎ C.4(x+5)<48 D.4x<48‎ ‎【解析】设A型号的帐篷有x顶,则B型号的帐篷有x+5顶,‎ 所以故A、B、D正确,C错误.‎ ‎【答案】C ‎2.设P=,Q=-,R=-,则P、Q、R的大小顺序是(　　).‎ A.P>Q>R B.P>R>Q C.Q>P>R D.Q>R>P ‎【解析】∵P2=2,Q2=10-2,R2=8-4,‎ ‎∴P2-Q2=2-8>0,P2-R2=4-6>0,Q2-R2=2+4-2<0.‎ 又∵P>0,Q>0,R>0,∴P>R>Q.‎ ‎【答案】B ‎3.已知a<0且a≠-1,则比较大小:(a+1)2　　　　(a+1)3.(用“>”或“<”填空) ‎ ‎【解析】∵(a+1)2-(a+1)3=(a+1)2(-a)>0,‎ ‎∴(a+1)2>(a+1)3.‎ ‎【答案】>‎ ‎4.已知P=,Q=a2-a+1,比较P、Q的大小.‎ ‎【解析】P-Q=-a2+a-1‎ ‎===,‎ ‎∵a2+a+1=(a+)2+>0,-a2(a2+1)≤0,‎ ‎∴≤0,∴P≤Q.‎ ‎　　(2013年·新课标全国Ⅱ卷)设a=log36,b=log510,c=log714,则(　　).‎ A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c ‎【解析】令f(x)=logx(2x)(x>1),则f(x)=logx2+1=1+,故函数f(x)=logx(2x)在x>1上单调递减,则a>b>c.‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎1.已知a>b>c>0,若P=,Q=,则(　　).‎ A.P≥Q　　　　　　　B.P≤Q C.P>Q D.Pb>c>0,‎ 所以P-Q<0,即Pn B.m0,∴m>n.‎ ‎【答案】A ‎3.如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km,那么在8天内它的行程就超过2200 km,如果它每天行驶的路程比原来少12 km,那么它行驶同样的路程得花9天多的时间,这辆汽车原来每天行驶的路程(km)的范围是　　　　. ‎ ‎【解析】设这辆汽车原来每天行驶的路程为x km,则 解得2560,b>0,a≠b),则(　　).‎ A.A≥B B.A≤B C.A>B D.A0,b>0,a≠b,∴A-B>0,故选C.‎ ‎【答案】C ‎7.在正方向向右的数轴上,实数(其中a2≠3)对应的点为A,实数1对应的点为B,那么A是在B的　　　　边.(填“左”或“右”) ‎ ‎【解析】∵-1=<0,∴<1,∴A在B的左边.‎ ‎【答案】左 ‎8.甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点,甲有一半时间以速度m行走,另一半时间以速度n行走;乙有一半路程以速度m行走,另一半路程以速度n行走,如果m≠n,问:甲乙两人谁先到达指定地点?‎ ‎【解析】设甲、乙两人所走路程都是s,所用时间分别为t1和t2,依题意得 m+n=s,解得t1=,又t2=+=,‎ 因为t2-t1=-=>0,所以t10,a3=b3>0,a1≠a3,则a5　　　　b5.(填等号或不等号) ‎ ‎【解析】设等比数列{an}的公比为q,等差数列{bn}的公差为d,∵a1=b1>0,a3=a1q2,b3=b1+2d,又a3=b3,∴a1q2=a1+2d,∴2d=a1(q2-1).∵a1≠a3,∴q2≠1.而b5-a5=(a1+4d)-a1q4=a1+2a1(q2-1)-a1q4=-a1q4+2a1q2-a1=-a1(q2-1)2<0,∴b5‎ ‎10.设f(x)=1+logx3,g(x)=2logx2,其中x>0且x≠1,试比较f(x)与g(x)的大小.‎ ‎【解析】f(x)-g(x)=(1+logx3)-2logx2=logx(3x)-logx4=logx.‎ ‎(1)当x>时,logx>0,故f(x)>g(x);‎ ‎(2)当x=时,logx=0,故f(x)=g(x);‎ ‎(3)当10,所以f(x)>g(x).‎ 综上知:当x>或0g(x);‎ 当10　,比较与的大小,可得 >　,所以采光条件变　好　了. ‎ 问题2:不等式的基本性质 ‎(1)对称性:a>b⇔b　<　a; ‎ ‎(2)传递性:a>b,b>c⇒a　>　c; ‎ ‎(3)可加性:a>b⇒a+c　>　b+c; ‎ ‎(4)a>b,c>d⇒a+c　>　b+d; ‎ ‎(5)可乘性:a>b,c>0⇒ac　>　bc; ‎ ‎(6)a>b>0,c>d>0⇒ac　>　bd; ‎ ‎(7)a>b,c<0⇒ac　<　bc; ‎ ‎(8)乘方性:a>b>0⇒an　>　bn(n∈N,n≥2); ‎ ‎(9)开方性:a>b>0⇒　> (n∈N,n≥2); ‎ ‎(10)a>b,ab>0⇒　< . ‎ 问题3:证明不等式的方法有(1)　作差法　;(2)　作商法　;(3)　分析法　;(4)　综合法　;(5)　反证法　; ‎ ‎(6)　构造函数法　. ‎ 问题4:使用不等式的性质求取值范围时的注意事项:要注意不等式性质中哪些是　不可逆　的,如同向不等式　相加　、同向不等式　相乘　的性质都是不可逆的,明确这些性质,才能避免错用性质. ‎ 糖水不等式 a克糖水中有b克糖(a>0,b>0,且a>b),则糖的质量和糖水的质量比为:,若再添加c克糖(c>0),则糖的质量和糖水的质量比为:.生活经验告诉我们,添加糖后,糖水会更甜,于是得出一个不等式:<,趣称之为“糖水不等式”.‎ ‎1.若a>b,ab≠0,则下列不等式恒成立的是(　　).‎ A.<　　　　　　　B.<1‎ C.2a>2b D.lg(a-b)>0‎ ‎【解析】函数y=2x是增函数,∵a>b,∴2a>2b.‎ ‎【答案】C ‎2.已知四个条件:‎ ‎①b>0>a;‎ ‎②0>a>b;‎ ‎③a>0>b;‎ ‎④a>b>0.能推出<成立的有(　　).‎ A.1个　　　B.2个　　　C.3个　　　D.4个 ‎【解析】运用倒数法则,a>b,ab>0⇒<,②④正确.又正数大于负数知①对③错,故选C.‎ ‎【答案】C ‎3.实数a、b、c、d满足下列两个条件:①d>c;②a+dc,∴d-c>0,又∵a+dd-c>0,∴b>a.‎ ‎【答案】b>a ‎4.已知120;③(a-d)(b-d)<0,试比较a,b,c,d四者的大小.‎ ‎【方法指导】先由条件②③分析出a、b与c、d的关系,根据条件利用数轴比出大小.‎ ‎【解析】∵(a-c)(b-c)>0,∴a、b在c的同一侧,∵(a-d)(b-d)<0,∴a、b在d的两侧.‎ ‎∵ab>1,c<0,试比较logb(a-c)与loga(b-c)的大小.‎ ‎【解析】∵a-c>b-c>1-c>1且a>1,b>1,‎ ‎∴logb(a-c)>logb(b-c)>loga(b-c).‎ 已知a>b>0,c>d>0.求证:>.‎ ‎【解析】-=‎ ‎=‎ ‎∵a-b>0,c-d>0,‎ ‎∴->0,即>.‎ 已知1≤4a-2b≤2,且3≤a+b≤4,求4a+2b的取值范围.‎ ‎【解析】设4a+2b=x(4a-2b)+y(a+b)‎ ‎=(4x+y)a+(y-2x)b,‎ ‎∴ 解得 ‎ ‎∴4a+2b=(4a-2b)+(a+b).‎ ‎∵1≤4a-2b≤2,∴≤(4a-2b)≤.‎ 又∵3≤a+b≤4,∴8≤(a+b)≤,‎ ‎∴≤(4a-2b)+(a+b)≤,‎ 即≤4a+2b≤.‎ ‎1.设a,b是非零实数,若a=,∴cb,给出下面三个不等式:①ac2>bc2;②<;③a-c>b-c.其中成立的是　　　　. ‎ ‎【解析】当c=0时,①不成立;当a>0,b<0时,②不成立;③相当于在a>b两边同时加实数-c,由不等式的基本性质可知成立.‎ ‎【答案】③‎ ‎4.比较大小:(1)(x+5)(x+7)与(x+6)2;‎ ‎(2)lo与lo.‎ ‎【解析】(1)∵(x+5)(x+7)-(x+6)2=(x2+12x+35)-(x2+12x+36)=-1<0,‎ ‎∴(x+5)(x+7)<(x+6)2.‎ ‎(2)(法一:作差法)‎ ‎∵lo-lo=-=-==>0,‎ ‎∴lo>lo.‎ ‎(法二:中间值法)‎ ‎∵函数y=lox和y=lox在(0,+∞)上是减函数且>,‎ ‎∴lo>lo=1,lolo.‎ ‎　　(2013年·北京卷)设a,b,c∈R,且a>b,则(　　).‎ A.ac>bc　　　　　　　B.<‎ C.a2>b2 D.a3>b3‎ ‎【解析】D项可根据幂函数y=x3在定义域R上单调递增得出,对于其他选项可根据不等式性质排除或者采用特值法排除.‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎1.已知a　　B.>　　C.<　　D.a3不成立,故选A.‎ ‎【答案】A ‎2.若a B.2a>2b C.|a|>|b| D.()a>()b ‎【解析】由a0,因此a·成立;‎ 由a-b>0,因此|a|>|b|>0成立;‎ 又函数y=()x是减函数,所以()a>()b成立;‎ 故不成立的是B.‎ ‎【答案】B ‎3.给出下列命题:‎ ‎①a>b⇒ac2>bc2;‎ ‎②a>|b|⇒a2>b2;‎ ‎③a>b⇒a3>b3;‎ ‎④|a|>b⇒a2>b2.其中正确的命题是　　　　. ‎ ‎【解析】当c=0时,ac2=bc2,则①不正确;‎ a>|b|≥0,a2>|b|2=b2,则②正确;‎ a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=(a-b)·[(a+b)2+b2]>0,则③正确;‎ 取a=2,b=-3,则|a|>b,但a2=42sin α B.sin 2α<2sin α C.sin 2α=2sin α D.无法确定 ‎【解析】 sin 2α=2sin αcos α<2sin α.‎ ‎【答案】B ‎6.已知f(x)在R上是增函数且a+b>0,则(　　).‎ A.f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)‎ B.f(a)+f(b)f(-b)+f(b)‎ D.f(-a)+f(a)0,∴a>-b,又f(x)在R上是增函数,所以f(a)>f(-b).又由a+b>0得b>-a,同理可得f(b)>f(-a),同向不等式相加得f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b).故选A.‎ ‎【答案】A ‎7.若a,b∈R,且a>b,则下面三个不等式:①>;②(a+1)2>(b+1)2;③(a-1)2>(b-1)2中,不成立的是　　　　. ‎ ‎【解析】①中-==,因为a(a-1)符号不定,所以的符号不能确定,所以①不成立;②中,若a=-1,b=-2,则(a+1)2=0,(b+1)2>0,所以②不成立;③中,若a=-1,b=-2,则(a-1)2=4,(b-1)2=9,所以③不成立.‎ ‎【答案】①②③‎ ‎8.设m∈R,x∈R,比较x2-x+1与-2m2-2mx的大小.‎ ‎【解析】(法一)(x2-x+1)-(-2m2-2mx)=x2+(2m-1)x+(2m2+1).‎ 关于x的二次三项式x2+(2m-1)x+(2m2+1)的判别式为Δ=(2m-1)2-4(2m2+1)=-4m2-4m-3=-(2m+1)2-2<0,∴Δ<0恒成立.‎ ‎∴(x2-x+1)-(-2m2-2mx)>0,即x2-x+1>-2m2-2mx.‎ ‎(法二)∵(x2-x+1)-(-2m2-2mx)=x2+(2m-1)x+(2m2+1)=x2+(2m-1)x+()2+2m2+1-()2=(x+)2+m2+m+=(x+)2+[m2+m+()2]+-()2=(x+)2+(m+)2+≥>0,‎ ‎∴x2-x+1>-2m2-2mx.‎ ‎9.已知1≤a+b≤4,-1≤a-b≤2,则4a-2b的取值范围是　　　　. ‎ ‎【解析】设u=a+b,v=a-b,得a=,b=,所以4a-2b=2u+2v-u+v=u+3v.‎ 又因为1≤u≤4,-1≤v≤2,所以-3≤3v≤6.‎ 则-2≤u+3v≤10,即-2≤4a-2b≤10.‎ ‎【答案】[-2,10]‎ ‎10.已知函数f(x)=|log2(x+1)|,实数m、n在其定义域内,且m0;(2)f(m2)0.‎ ‎(2)当x>0时,f(x)=|log2(x+1)|=log2(x+1)在(0,+∞)上为增函数.‎ 由(1)知m2-(m+n)=m2+mn=m(m+n),且m<0,m+n>0,∴m(m+n)<0,‎ ‎∴m2-(m+n)<0,00);方案②:一次性降价2x%,问哪套方案降价幅度大?‎ 问题1:一元二次不等式 一般地,含有　一个　未知数,且未知数的最高次数为　二次　的不等式,叫作一元二次不等式. ‎ 使某个一元二次不等式　成立的实数　叫作这个一元二次不等式的解. ‎ 一元二次不等式的　解　组成的集合,叫作这个一元二次不等式的解集. ‎ 问题2:二次函数、二次方程、二次不等式间的关系如下表,设f(x)=ax2+bx+c(a>0).‎ Δ=b2-4ac Δ>0‎ Δ=0‎ Δ<0‎ y=f(x)的 示意图 f(x)=0的根 x1,x2‎ x0=-‎ 没有实数根 f(x)>0的解集 ‎(-∞,x1)∪‎ ‎(x2,+∞)‎ ‎(-∞,-)∪‎ ‎(-,+∞)‎ ‎(-∞,+∞)‎ f(x)<0的解集 ‎(x1,x2)‎ ‎⌀‎ ‎⌀‎ ‎　　问题3:解含参数的一元二次不等式的一般步骤 对字母系数分类讨论时,要注意确定分类的标准,而且分类时要不重不漏.一般方法是:‎ ‎(1)当二次项系数不确定时,按二次项系数　大于零　、　等于零　、　小于零　三种情况进行分类. ‎ ‎(2)判别式大于零时,还需要讨论两根的　大小　. ‎ ‎(3)判别式不确定时,按判别式　大于零　、　等于零　、　小于零　三种情况讨论.结合方程的根、函数的图象得到解集. ‎ 问题4:(1)函数f(x)=ax2+bx+c>0在R上恒成立,则　a>0　且　Δ<0　. ‎ ‎(2)若函数f(x)=logm(ax2+bx+c)的定义域为R,则 　或者 　. ‎ ‎(3)若函数f(x)=logm(ax2+bx+c)的值域为R,则 　或者 　. ‎ 猴子分桃问题:海滩上有一堆桃子,是两只猴子的共有财产,猴子性急,有时也很正直,第一只猴子来到海滩后想要取走自己的一份,于是便把桃子均分为两堆,发现还多一个,便把多余的一个扔进大海,取走自己应得的一份,第二只猴子来到海滩后也想取走自己的一份,猴子总归是猴子,它无法知道伙伴已取走一份,于是第二只猴子又把桃子均分为两堆,发现还多一个,便把多余的一个扔进大海,取走自己应得的一份,如果原有的桃子数不少于100,那么第一只猴子至少可以取走多少个桃子呢?‎ ‎1.不等式x-x2+2>0的解集是(　　).‎ A.(-2,1)　　　　　　　 B.(-1,2)‎ C.(-∞,-2)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(2,+∞)‎ ‎【解析】原不等式可化为x2-x-2<0,‎ 即(x-2)(x+1)<0.‎ ‎∴原不等式的解集为(-1,2).‎ ‎【答案】B ‎2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则不等式ax2+bx+c≤0的解集为(　　).‎ A.(-∞,-1]　　　B.[-1,1]‎ C.[-1,2] D.[-1,3]‎ ‎【解析】观察图象可发现方程两根是-1,3,所以选D.‎ ‎【答案】D ‎3.已知不等式x2+ax+4<0的解集为空集,则a的取值范围是　　　　. ‎ ‎【解析】欲使不等式x2+ax+4<0的解集为空集,则Δ=a2-16≤0,∴-4≤a≤4.‎ ‎【答案】[-4,4]‎ ‎4.已知x=1是不等式k2x2-6kx+8≥0(k≠0)的解,求k的取值范围.‎ ‎【解析】由条件可知:k2×12-6k×1+8≥0,‎ 即k2-6k+8≥0,解得k≥4或k≤2且k≠0.‎ 即k的取值范围为(-∞,0)∪(0,2]∪[4,+∞).‎ 解一元二次不等式 解下列不等式:(1)x2+2x-15>0;(2)x2>2x-1;(3)x2<2x-2.‎ ‎【方法指导】按解不等式的步骤求解.‎ ‎【解析】(1)x2+2x-15>0⇔(x+5)(x-3)>0⇔x<-5或x>3,‎ ‎∴不等式的解集是{x|x<-5或x>3}.‎ ‎(2)x2>2x-1⇔x2-2x+1>0⇔(x-1)2>0⇔x≠1,‎ ‎∴不等式的解集是{x|x≠1}.‎ ‎(3)x2<2x-2⇔x2-2x+2<0.‎ ‎∵Δ=(-2)2-4×2=-4<0,‎ ‎∴方程x2-2x+2=0无解,‎ ‎∴不等式x2<2x-2的解集是⌀.‎ ‎【小结】解一元二次不等式可先将二次项系数化为正,再求对应方程的根,并根据根的情况画出草图,观察图象写出解集.‎ 含参型的一元二次不等式 已知a≠0,解关于x的一元二次不等式ax2+(a+2)x+2>0.‎ ‎【方法指导】先解相应的关于x的一元二次方程,再运用分类讨论思想判断方程的根的大小,最后判断二次项的系数的符号.‎ ‎【解析】由ax2+(a+2)x+2=0得方程的根为x=-,x=-1.‎ 若->-1,则>0,解得a<0或a>2,‎ ‎∴当a<0时,->-1,不等式的解集为(-1,-);‎ 当02时,->-1,不等式的解集为(-∞,-1)∪(-,+∞).‎ ‎【小结】解含参数的一元二次不等式,尤其注意根的大小判断,若二次项系数含有参数,要注意对二次项系数正、负和零的讨论.‎ 一元二次不等式与函数的综合 已知函数f(x)=log2(mx2+mx+3)的定义域为R,求实数m的取值范围.‎ ‎【方法指导】注意到对数的真数一定是正数,于是原式转化为mx2+mx+3>0恒成立问题.‎ ‎【解析】依题意有mx2+mx+3>0对任意x∈R都成立,‎ 即mx2+mx+3>0的解集为R,‎ ‎∴m>0且Δ=m2-12m<0,‎ 解得:00一定是一元二次不等式吗?‎ ‎[结论]不一定是.要对字母m进行讨论.‎ 于是,正确解答如下:‎ 依题意有mx2+mx+3>0对任意x∈R都成立,‎ 即mx2+mx+3>0的解集为R,‎ 当m=0时,上述不等式恒成立,解集为R,‎ 当m≠0时,上述不等式是一元二次不等式,‎ ‎∴m>0且Δ=m2-12m<0,‎ 解得:06;‎ ‎(3)-x2+6x-9>0.‎ ‎【解析】(1)4x2-4x+1≤0,即(2x-1)2≤0,‎ ‎∴x=.∴4x2-4x+1≤0的解集为{x|x=}.‎ ‎(2)由-x2+7x>6,得x2-7x+6<0,‎ 而x2-7x+6=0的两个根是x=1或x=6.‎ ‎∴不等式x2-7x+6<0的解集为{x|10,‎ ‎∴当a<-1,即-<1时,不等式的解集为(-∞,-)∪(1,+∞);‎ 当a=-1,即-=1时,不等式的解集为;‎ 当-11时,不等式的解集为(-∞,1)∪(-,+∞);‎ 当a>0时,-<1,不等式的解集为(-,1).‎ 已知函数f(x)=log2[mx2+(m+3)x+m+3]的值域为R,求实数m的取值范围.‎ ‎【解析】因为f(x)的值域为R,所以mx2+(m+3)x+m+3能取到所有的正数.‎ 令g(x)=mx2+(m+3)x+m+3,则g(x)的值域包含了(0,+∞).‎ 当m=0时,g(x)=3x+3,值域为R,符合,‎ 当m≠0时,要使得g(x)的值域包含(0,+∞),‎ 则解得00的解集是(-,),则a-b的值等于(　　).‎ A.-14　　　B.14　　　　C.-10　　　D.10‎ ‎【解析】由条件可知解得 ‎∴a-b=-12-(-2)=-10.‎ ‎【答案】C ‎3.若关于x的不等式x2-ax-a≤-3的解集不是空集,则实数a的取值范围是　　　　. ‎ ‎【解析】∵x2-ax-a≤-3的解集不是空集,‎ ‎∴y=x2-ax-a+3的图象与x轴有交点,‎ 则Δ=(-a)2-4×1×(-a+3)≥0,‎ 解得a≤-6或a≥2.‎ ‎【答案】(-∞,-6]∪[2,+∞)‎ ‎4.已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是{x|x<-2或x>-},求不等式ax2-bx+c>0的解集.‎ ‎【解析】由题意可知,-2和-是方程ax2+bx+c=0的两根,且a<0,‎ ‎∴-=-2-,∴b=a,‎ ‎=-2×(-),∴c=a,‎ ‎∴ax2-bx+c>0,‎ 即ax2-ax+a>0,‎ ‎∴x2-x+1<0,‎ ‎∴(x-)(x-2)<0,‎ ‎∴0的解集为{x|0的解集是{x|-30的解集为{x|-30恒成立,‎ 所以解得a>.‎ 综上,所求实数a的取值范围为(,+∞).‎ ‎5.不等式(1+x)(1-|x|)>0的解集是(　　).‎ A.{x|0≤x<1} B.{x|x<0且x≠-1}‎ C.{x|-10,‎ ‎∴(x+1)(x-1)<0,∴⇒0≤x<1.‎ ‎(2)当x<0时,原不等式化为(1+x)(1+x)>0⇒(1+x)2>0,∴x≠-1.‎ ‎∴x<0且x≠-1.‎ 综上,不等式的解集为{x|x<1且x≠-1}.‎ ‎【答案】D ‎6.如果ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>4},那么对于函数f(x)=ax2+bx+c有(　　).‎ A.f(5)0的解集为{x|x<-2或x>4},‎ 则a>0且-2和4是方程ax2+bx+c=0的两根,‎ ‎∴-=2,=-8.‎ ‎∴函数f(x)=ax2+bx+c的图象开口向上,对称轴为x=-=1,‎ ‎∴f(5)>f(-1)>f(2),故选C.‎ ‎【答案】C ‎7.若0t,∴不等式(x-t)(x-)<0的解集为{x|t0的解集为{x|-30的解集为{x|-30,即x2-2x-15<0,解得-30用　穿针引线法　(或称数轴穿根法,根轴法,区间法)求解,其步骤是: ‎ ‎(1)将f(x)最高次项的系数化为　正　数; ‎ ‎(2)将f(x)分解为若干个一次因式的积或者若干个　二次不可分解因式　之积; ‎ ‎(3)将每一个一次因式的根标在数轴上,从　右上方　依次穿过每一点画曲线(注意重根情况,偶次方根穿而不过,奇次方根既穿又过); ‎ ‎(4)根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律,写出　不等式的解集　. ‎ 由上归纳出重要步骤:①化标(化成标准形式);②找根;③标根;④串根(奇透偶不透).‎ 问题2:分式不等式:先整理成标准型>0(<0)或≥0(≤0),再化成整式不等式来解.‎ ‎(1)>0⇔f(x)·g(x)>0.‎ ‎(2)<0⇔f(x)·g(x)<0.‎ ‎(3)≥0⇔‎ ‎(4)≤0⇔‎ 问题3:一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根的分布问题:记f(x)=ax2+bx+c,其根的情况、图象情况、不等式的三者关系如下:‎ 根的 分布 k1-1,i=1,2,…,n(n≥2),且同号,则 ‎(1+x1)(1+x2)…(1+xn)>1+x1+x2+…+xn;‎ ‎(2)设x>-1,则①当0<α<1时,有(1+x)α≤αx;‎ ‎②当α>1或α<0时,有(1+x)α≥1+αx,上两式当且仅当x=0时等号成立.‎ 不等式(1)的一个重要特例是(1+x)n>1+nx(x>-1,x≠0,n∈N,且n≥2).‎ ‎1.下列不等式中与不等式≥0解集相同的是(　　).‎ A.(2-x)(x-1)≥0‎ B.(x-2)(x-1)≥0且x≠1‎ C.(x-2)(x-1)≤0且x≠1‎ D.(2-x)(x-1)≤0‎ ‎【解析】≥0⇔(2-x)(x-1)≥0且x-1≠0⇔(x-2)·(x-1)≤0且x≠1,故选项C正确.‎ ‎【答案】C ‎2.已知集合A={x|3x-2-x2<0},B={x|x-a<0}且B⊆A,则a的取值范围是(　　).‎ A.a≤1　　　　　　　　B.12 D.a≤2‎ ‎【解析】由题意得A={x|x<1或x>2},B={x|x0恒成立,∴mx2+2(m+1)x+9m+4<0需恒成立.‎ 当m=0时,2x+4<0并不恒成立;‎ 当m≠0时,则有解得∴m<-.‎ 简单的高次不等式解法 解不等式:(x-1)(3-x)(x+)<0.‎ ‎【方法指导】本题考查高次不等式的解法,可采用“穿针引线法”求解.‎ ‎【解析】将原不等式化为(x-1)(x-3)(x+)>0,‎ 令y=(x-1)(x-3)(x+),则y=0的根为1,3,-,将其分别标在数轴上,如图所示.‎ ‎　　‎ ‎∴不等式的解集是{x|-3}.‎ ‎【小结】利用“穿针引线法”解一元高次不等式时,要注意前提条件:最高次项系数为正,使用时要注意“奇穿偶回”的原则.‎ 分式不等式的解法 解下列分式不等式:‎ ‎(1)≥0;‎ ‎(2)>1(a≠1且a为常数).‎ ‎【方法指导】(1)先化为整式不等式,注意分母不为0,再用“穿针引线法”求解;‎ ‎(2)可转化为含参的一元二次不等式,要注意分类讨论.‎ ‎【解析】(1)原不等式⇔⇔‎ 把各因式的根在数轴上标出.‎ ‎∴原不等式的解集为{x|x≤-2或0≤x<3}.‎ ‎(2)原不等式等价于>0,‎ ‎∵a≠1,‎ ‎∴上式等价于>0(*).‎ 当a>1时,(*)式等价于>0,∵=1-<1,∴x<或x>2;‎ 当a<1时,(*)式等价于<0,由2-=知:当02,∴21时,原不等式的解集为(-∞,)∪(2,+∞).‎ ‎【小结】(1)解分式不等式首先要把不等式化为整式不等式,然后把最高次项的系数化为正数,最后利用穿针引线法求解.‎ ‎(2)解含参的不等式,必须注意参数取值对解集的影响,掌握分类讨论的思想,做到不重不漏.‎ 一元二次不等式的实际应用 一个服装厂生产风衣,月销售量x(件)与售价p(元/件)之间的关系为p=160-2x,生产x件的成本R=500+30x(元).‎ ‎(1)该厂月产量多大时,月利润不少于1300元?‎ ‎(2)当月产量为多少时,可获得最大利润,最大利润是多少?‎ ‎【方法指导】根据题意得到利润函数,再求函数的最大值.‎ ‎【解析】(1)由题意知,月利润y=px-R,‎ 即y=(160-2x)x-(500+30x)‎ ‎=-2x2+130x-500,‎ 由月利润不少于1300元,得-2x2+130x-500≥1300,‎ 即x2-65x+900≤0,解得20≤x≤45.‎ 故该厂月产量20~45件时,月利润不少于1300元.‎ ‎(2)由(1)得,y=-2x2+130x-500=-2(x-)2+,‎ 由题意知,x为正整数,‎ 故当x=32或33时,y取最大值1612.‎ 所以当月产量为32或33件时,可获最大利润,最大利润为1612元.‎ ‎【小结】解应用题时要注意:审清题,列对式子,解对方程,最后符合实际问题.‎ 解不等式(x+2)(x+1)2(x-1)3(x-2)≤0.‎ ‎【解析】由题意得各因式的根为-2,-1,1,2,利用穿针引线法(奇穿偶不穿),如图,原不等式的解集为{x|x≤-2或x=-1或1≤x≤2}.‎ 已知关于x的不等式<0的解集为M.‎ ‎(1)当a=4时,求集合M;‎ ‎(2)若3∈M且5∉M,求实数a的取值范围.‎ ‎【解析】(1)当a=4时,原不等式可化为<0,‎ 即4(x-)(x-2)(x+2)<0,∴x∈(-∞,-2)∪(,2),‎ 故M为(-∞,-2)∪(,2).‎ ‎(2)由3∈M得<0,∴a>9或a<,　①‎ 由5∉M得≥0,∴1≤a<25,　②‎ 由①、②得1≤a<或90,∴00.‎ ‎(1)当a=2时,求此不等式的解集;‎ ‎(2)当a>-2时,求此不等式的解集.‎ ‎【解析】(1)当a=2时,不等式可化为>0,‎ 所以不等式的解集为{x|-22}.‎ ‎(2)当a>-2时,不等式可化为>0.‎ 当-21};‎ 当a=1时,不等式的解集为{x|x>-2且x≠1};‎ 当a>1时,不等式的解集为{x|-2a}.‎ ‎　　(2013年·上海卷)甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每小时可获得的利润是100(5x+1-)元.‎ ‎(1)求证:生产a千克该产品所获得的利润为100a(5+-);‎ ‎(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求最大利润.‎ ‎【解析】(1)因为每小时生产x千克产品,获利100(5x+1-),‎ 所以生产a千克该产品所用时间为,所获利润为100(5x+1-)·=100a(5+-).‎ ‎(2)因为生产900千克该产品,所获利润为90000(5+-)=90000[-3(-)2+],‎ 所以当x=6时,最大利润为90000×=457500元.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎1.不等式(x-1)≥0的解集是(　　).‎ A.{x|x>1}　　　　 　　　B.{x|x≥1}‎ C.{x|x≥1或x=-2} D.{x|x≥-2且x≠-1}‎ ‎【解析】由(x-1)≥0,可知或x+2=0,‎ 解得x≥1或x=-2.‎ ‎【答案】C ‎2.关于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式>0的解集是(　　).‎ A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-1,2)‎ C.(1,2) D.(-∞,1)∪(2,+∞)‎ ‎【解析】由ax-b>0的解集为(1,+∞)得 ‎∴>0⇔>0⇔x<-1或x>2.‎ ‎【答案】A ‎3.已知不等式x2+ax+4<0的解集不是空集,则实数a的取值范围是　　　　. ‎ ‎【解析】由题意可得Δ=a2-16>0,即a>4或a<-4.‎ ‎【答案】{a|a>4或a<-4}‎ ‎4.当k为何值时,能使不等式<1恒成立?‎ ‎【解析】原不等式可化为>0恒成立,而4x2+6x+3>0恒成立,‎ ‎∴原不等式等价于2x2+(6-2k)x+(3-k)>0恒成立,∴有Δ=(6-2k)2-4×2×(3-k)<0,解得12}‎ C.{x|-11}‎ ‎【解析】原式可变为|x|2-|x|-2<0,‎ ‎∴-1<|x|<2,∴<2,解得-20对x∈R恒成立,则关于t的不等式a2t+1<<1的解集为　　　　. ‎ ‎【解析】若不等式x2-2ax+a>0对x∈R恒成立,‎ 则Δ=4a2-4a<0,所以0t2+2t-3>0,‎ 即所以10恒成立,则m的取值范围是　　　　. ‎ ‎【解析】当m+1=0,即m=-1时,不等式化为4>0恒成立;当m+1≠0时,要使不等式恒成立需 即解得-11,解关于x的不等式f(x)<.‎ ‎【解析】(1)将x1=3,x2=4分别代入方程-x+12=0,‎ 得方程组⇒‎ ‎∴f(x)=(x≠2).‎ ‎(2)不等式即为<⇒<0.‎ 即(x-2)(x-1)(x-k)>0.‎ ‎①当10,‎ ‎∴解集为(1,2)∪(2,+∞);‎ ‎③当k>2时,解集为(1,2)∪(k,+∞).‎ 第5课时　二元一次不等式(组)与平面区域 ‎1.经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程,提高数学建模的能力.‎ ‎2.了解二元一次不等式的几何意义,会作出二元一次不等式(组)表示的平面区域.‎ ‎3.能利用二元一次不等式(组)所表示的平面区域解决简单的实际问题.‎ 重点:怎样根据所给二元一次不等式(组)画出平面区域.‎ 难点:能由不等式(组)画出平面区域和从实际问题中列出不等式(组).‎ 如图,点P1(-1,0)与点P2(0,-1)都在直线上,都满足x+y+1=0,点P3(0,0)与点P4(1,1)都在直线右上方,满足x+y+1>0,点P5(-2,0)与点P6(-1,-1)都在直线左下方,满足x+y+1<0.‎ 问题1:直线l:ax+by+c=0把直角坐标平面分成了三个部分:‎ ‎(1)直线l上的　点(x,y)的坐标　满足ax+by+c=0. ‎ ‎(2)直线l　一侧　的平面区域内的点(x,y)的坐标都满足ax+by+c>0. ‎ ‎(3)直线l　另一侧　的平面区域内的点(x,y)的坐标都满足ax+by+c<0. ‎ 所以,只需在直线l的某一侧的平面区域内,任取一　特殊点(x0,y0)　,从a0x+b0y+c值的正负,即可判断不等式表示的平面区域.通常直线不经过原点就选原点,直线经过原点就选其他点. ‎ 问题2:画平面区域的步骤是:①　画线　——画出不等式所对应的方程所表示的直线(如果原不等式带等号,则画成实线,否则,画成虚线);②　定侧　——将某个区域位置明显的特殊点的坐标代入不等式,根据“同侧同号、异侧异号”的规律确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧;③　求“交”　——如果平面区域是由不等式组决定的,则在确定了各个不等式所表示的区域后,再求这些区域的公共部分,这个公共部分就是不等式组所表示的平面区域.俗称“直线定界,特殊点定域”. ‎ 问题3:二元一次不等式所表示的平面区域与系数之间的关系:‎ ‎①当B>0时,Ax+By+C>0表示的区域在直线Ax+By+C=0的　上方　. ‎ 当B<0时,Ax+By+C>0表示的区域在直线Ax+By+C=0的　下方　. ‎ ‎②当A>0时,Ax+By+C>0表示的区域在直线Ax+By+C=0的　右侧　. ‎ 当A<0时,Ax+By+C>0表示的区域在直线Ax+By+C=0的　左侧　. ‎ 对于Ax+By+C<0,也有类似的结论.‎ 归结出一句话:　B与不等式同号在上方,A与不等式同号在右侧(异号相反)　. ‎ 问题4:用二元一次不等式组表示实际问题的步骤:‎ ‎(1)根据问题需求,选取具有　关键作用　的两个量用字母表示; ‎ ‎(2)把问题中的　所有量　都用这两个字母表示出来; ‎ ‎(3)把实际问题中的　限制条件　写成不等式; ‎ ‎(4)把这些不等式　组成的不等式组　用平面区域表示出来. ‎ 同直线一样,二次函数y=ax2+bx+c的图象也将平面分成了三个部分,抛物线上的点(x0,y0)满足等式y0-(a+bx0+c)=0,抛物线上方的点(x0,y0)满足不等式y0-(a+bx0+c)>0,抛物线下方的点(x0,y0)满足不等式y0-(a+bx0+c)<0.‎ ‎1.不等式3x+2y-6≤0表示的平面区域是(　　).‎ ‎【解析】可取(0,0)点验证.‎ ‎【答案】D ‎2.不等式组表示的平面区域是(　　).‎ ‎【解析】先画直线x=2和x-y+3=0(虚线),x>2在直线x=2的右侧,‎ 把原点代入x-y+3=3>0,不在区域内,故选D.‎ ‎【答案】D ‎3.若点A(3,3),B(2,-1)在直线x+y-a=0的两侧,则a的取值范围是　　　　. ‎ ‎【解析】∵点A,B在直线两侧,∴(3+3-a)(2-1-a)<0,即(a-6)(a-1)<0.‎ 解得10,代入x+2y+1得1>0,代入2x+y+1得1>0.‎ 结合图形可知,三角形区域用不等式组可表示为 ‎【答案】‎ 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4 t,硝酸盐18 t;生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1 t,硝酸盐15 t,现库存磷酸盐10 t、硝酸盐66 t,在此基础上生产两种混合肥料.用不等式组将甲、乙两种肥料的车皮数表示出来,并画出相应的平面区域.‎ ‎　　【解析】设x,y分别为计划生产甲,乙两种混合肥料的车皮数,于是满足以下条件:‎ 在直角坐标系中可表示成如图的平面区域(阴影部分).‎ 求不等式组表示的平面区域的面积.‎ ‎【解析】不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.‎ 平面区域为四边形形状,设顶点分别为A、B、C、D,如图.‎ ‎　　‎ 可知A(0,3)、B(,)、C(3,)、D(3,4),‎ ‎∴S四边形ABCD=S梯形AOED-S△COE-S△AOB ‎=(OA+DE)·OE-OE·CE-OA·xB ‎=(3+4)×3-×3×-×3×=6.‎ ‎1.不等式x2-y2≥0表示的平面区域是(　　).‎ ‎【解析】不等式x2-y2≥0可写成(x+y)(x-y)≥0,‎ ‎∴或 ‎【答案】B ‎2.已知A(-3,-1)和B(4,-6)在直线3x-2y-a=0的同侧,则a的取值范围为(　　).‎ A.(-24,7)‎ B.(-7,24)‎ C.(-∞,-7)∪(24,+∞)‎ D.(-∞,-24)∪(7,+∞)‎ ‎【解析】∵A、B在同侧,∴(-9+2-a)(12+12-a)>0,∴a<-7或a>24.‎ ‎【答案】C ‎3.若不等式组表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是　　　　. ‎ ‎【解析】如图所示,由区域可知,若为三角形,则5≤a<7.‎ ‎【答案】[5,7)‎ ‎4.在平面直角坐标系中,不等式组所表示的平面区域的面积是9,求实数a的值.‎ ‎【解析】画出平面区域可知图形为三角形,面积为·(2+a)·(2a+4)=9,解得a=1或a=-5(舍去).‎ ‎∴a=1.‎ ‎　　(2008年·山东卷)设二元一次不等式组所表示的平面区域为M,使函数y=ax(a>0,a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是(　　).‎ A.[1,3]　　　　　　B.[2,]‎ C.[2,9] D.[,9]‎ ‎　　‎ ‎【解析】画出不等式组表示的平面区域如右图,‎ 当y=ax的图象过图中的A(3,8)时,得a=2,‎ 当y=ax的图象过图中的B(1,9)时,得a=9,‎ 观察图形可得,当2≤a≤9时,‎ y=ax的图象经过区域M.‎ ‎【答案】C ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎1.以下四个命题中,正确的是 (　　).‎ A.原点与点(2,3)在直线2x+y-3=0的同侧 B.点(3,2)与点(2,3)在直线x-y=0的同侧 C.原点与点(2,1)在直线2y-6x+1=0的异侧 D.原点与点(2,1)在直线2y-6x+1=0的同侧 ‎【解析】代入验证即可.‎ ‎【答案】C ‎2.图中阴影部分表示的平面区域满足不等式(　　).‎ A.2x+y-2≥0‎ B.2x+y-2≤0‎ C.2x-y-2≥0‎ D.2x-y-2≤0‎ ‎【解析】由截距式得直线方程为+=1,‎ 即2x+y-2=0,把(0,0)代入2x+y-2,‎ 得2×0+0-2<0,且(0,0)不在图中平面区域内,故不等式为2x+y-2≥0.‎ ‎【答案】A ‎3.不等式组表示的平面区域内的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)共有　　　　个. ‎ ‎【解析】(1,1),(1,2),(2,1),共3个.‎ ‎【答案】3‎ ‎4.已知不等式组表示的平面区域是一个直角三角形,求该三角形的面积.‎ ‎【解析】有两种情形:‎ ‎(1)直角由y=2x与kx-y+1=0形成,则k=-,三角形的三个顶点为(0,0),(0,1),(,),面积为;‎ ‎(2)直角由x=0与kx-y+1=0形成,则k=0,三角形的三个顶点为(0,0),(0,1),(,1),面积为.‎ 综上所知,所求三角形的面积为或.‎ ‎5.(x-2y+1)(x+y-3)<0表示的平面区域为(　　).‎ ‎【解析】将点(0,0)代入不等式,符合题意,否定A、B,代入(0,4)点,C符合题意,舍去D,故选C.‎ ‎【答案】C ‎6.若S为不等式组表示的平面区域,则当a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过的S中的那部分区域的面积为(　　).‎ A.　　　B.1　　　C.　　　D.5‎ ‎【解析】由题意可画图如图所示,则有点D的坐标为(-,),‎ ‎∴S阴=S△OAB-S△BCD=×2×2-××1=.‎ ‎【答案】C ‎7.在平面直角坐标系中,若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2,则a的值为　　　　. ‎ ‎【解析】因为ax-y+1=0恒过定点(0,1),‎ 当a=0时,不等式组 所表示的平面区域的面积为,不合题意;‎ 当a<0时,所围成的区域面积小于,所以a>0,此时所围成的区域为三角形(如上图),其面积为S=×1×(a+1)=2,解之得a=3.‎ ‎【答案】3‎ ‎8.投资生产A产品时,每生产100吨需要资金200万元,需场地200平方米;投资生产B产品时,每生产100吨需要资金300万元,需场地100平方米.现某单位可使用资金1400万元,场地900平方米,用数学关系式和图形表示上述要求.‎ ‎【解析】设生产A产品x百吨,生产B产品y百吨,则 用图形表示上述限制条件,得其表示的平面区域如图所示(阴影部分).‎ ‎9.已知集合A={(x,y)||x|+|y|≤1},B={(x,y)|(y-x)·(y+x)≤0},M=A∩B,则M的面积为　　　　. ‎ ‎【解析】集合A表示的平面区域是一正方形,B={(x,y)|(y-x)(y+x)≤0}={(x,y)||y|≤|x|},‎ 如图M=A∩B为图中阴影部分,且是两个边长为的小正方形区域.‎ ‎【答案】1‎ ‎10.如果由约束条件所确定的平面区域的面积为S=f(t),试求f(t)的表达式.‎ ‎【解析】由约束条件所确定的平面区域是五边形ABCEP,如图所示,‎ 其面积S=f(t)=S△OPD-S△AOB-S△ECD,‎ 而S△OPD=×1×2=1,‎ S△OAB=t2,‎ S△ECD=(1-t)2,‎ 所以S=f(t)=1-t2-(1-t)2=-t2+t+.‎ 第6课时　简单的线性规划问题 ‎1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.‎ ‎2.掌握线性规划问题的图解法,并能应用它解决一些简单的实际问题.‎ ‎3.能从实际情境中抽象出简单的线性规划问题.‎ 重点:用图解法解决简单的线性规划问题.‎ 难点:准确求得线性规划问题的最优解.‎ 世界杯冠军意大利足球队营养师布拉加经常遇到这样一类营养调配问题:‎ 甲、乙、丙三种食物的维生素A、B的含量及成本如下表:‎ 甲 乙 丙 维生素A(单位/千克)‎ ‎400‎ ‎600‎ ‎400‎ 维生素B(单位/千克)‎ ‎800‎ ‎200‎ ‎400‎ 成本(元/千克)‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎　　布拉加想购这三种食物共10千克,使之所含维生素A不少于4400单位,维生素B不少于4800单位.‎ 问题1:(1)假设布拉加购买了甲种食物x千克,乙种食物y千克,则按照布拉加对维生素A、B的含量要求,x,y应该满足的条件是即形如这样的由变量x,y组成的不等式(组)或等式叫作　约束条件　,由变量x,y组成的一次不等式(组)或等式叫作　线性约束条件　. ‎ ‎(2)设布拉加购买三种食物的成本为z,则z=　2x+y+50　,像z这样的关于x、y的函数叫作　目标函数　,关于x、y的一次函数叫作　线性目标函数　,目的是求z的最大值或最小值. ‎ ‎(3)满足线性约束条件的解(x,y)叫作　可行解　;由所有可行解组成的集合叫作　可行域　;使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的　最优解　. ‎ 问题2:用图解法解决线性规划问题的一般步骤: ‎ ‎(1)画出　可行域　; ‎ ‎(2)令z=0作出直线l0:ax+by=0;‎ ‎(3)作一组与直线l0　平行　的直线系或平移直线l0; ‎ ‎(4)找到　最优解　; ‎ ‎(5)解方程组;‎ ‎(6)写出答案,并检验.‎ 问题3:图解法可概括为“画、移、求、答”.即 ‎(1)画:画出可行域和直线ax+by=0(目标函数是z=ax+by);‎ ‎(2)移:　平行　移动直线ax+by=0,确定使z=ax+by取得最大值或最小值的点; ‎ ‎(3)求:求出使z取得最大值或最小值的点的　坐标　(解方程组)及z的最大值或最小值; ‎ ‎(4)答:给出正确答案,并检验.‎ 问题4:在求线性目标函数的最值时,我们可以归纳出如下结论:‎ ‎(1)线性目标函数的最值一般在　可行域的顶点　处取得. ‎ ‎(2)线性目标函数的最值也可能在可行域的边界上取得,即满足条件的最优解有　无数个　. ‎ 在数学最优化问题中,拉格朗日乘数法(以数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名)是一种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数的极值的方法.这种方法将一个有n 个变量与k 个约束条件的最优化问题转换为一个有n+k个变量的方程组的极值问题,其变量不受任何约束.这种方法引入了一种新的标量未知数,即拉格朗日乘数:约束方程的梯度(gradient)的线性组合里每个向量的系数.此方法的证明牵涉到偏微分,全微分或链法,从而找到能让设出的隐函数的微分为零的未知数的值.‎ ‎1.若则目标函数z=x+2y的取值范围是(　　).‎ A.[2,6]　　　　　　　　B.[2,5]‎ C.[3,6] D.[3,5]‎ ‎【解析】画出可行域,可知选A.‎ ‎【答案】A ‎2.若x,y满足约束条件,则目标函数z=x+2y取最小值时所对应点的坐标为(　　).‎ A.(0,1) B.(1,0)‎ C.(1,1) D.(3,4)‎ ‎【解析】画出可行域,平移直线x+2y=0,在点(1,0)处取得最小值,故选B. ‎ ‎　　【答案】B ‎3.已知变量x、y满足约束条件则z=x+y的最大值为　　　　. ‎ ‎【解析】如图作出可行域,令z=0作出直线l0:x+y=0,平移l0知,当l0与直线BC重合时zmax=1.‎ ‎【答案】1‎ ‎4.购买8角和2元的邮票若干张,并要求每种邮票至少有两张.如果小明带有10元钱,问有多少种买法?‎ ‎【解析】设购买8角和2元邮票分别为x张、y张,则 即 ‎∴2≤x≤7,2≤y≤4,‎ 当y=2时,2x≤15,∴2≤x≤7,有6种;‎ 当y=3时,2x≤10,∴2≤x≤5,有4种;‎ 当y=4时,2x≤5,∴2≤x≤2,∴x=2有一种.‎ 综上可知,不同买法有:6+4+1=11种.‎ 线性目标函数的最值问题 已知变量x、y满足下列条件:试求:z=4x-y的最大值.‎ ‎【方法指导】解答本题时求z的最大值就转化为求直线在y轴上的截距的最小值.要注意理解线性目标函数中z的几何意义.‎ ‎【解析】作出满足条件的可行域,如图所示.‎ ‎　　‎ 由每条直线的方程可以求出点A(1,1)、B(2,4)、C(3,5)、D(5,5)、E(5,3).‎ 目标函数z=4x-y可化为y=4x-z,欲求z的最大值,只需求直线y=4x-z在y轴上的截距的最小值.由图知,当直线y=4x-z过点E时,直线在y轴上的截距最小,z取得最大值17.‎ ‎【小结】求目标函数z=ax+by+c(ab≠0,c≠0)的最值,与求目标函数t=ax+by(ab≠0)的最值的方法是一样的.因为在z=ax+by+c中,c为非零常数,故仍然可设t=ax+by,只要求出t=ax+by的最值,则z=ax+by+c的最值即可求得.‎ 线性目标函数最值整数点问题 已知x,y满足不等式组求使x+y取最大值时的整数x,y.‎ ‎【方法指导】先画出平面区域,然后在平面区域内寻找使z=x+y取最大值时的整点.‎ ‎【解析】不等式组的解集为三直线l1:2x-y-3=0,l2:2x+3y-6=0,l3:3x-5y-15=0所围成的三角形内部(不含边界),设l1与l2,l1 与l3,l2与l3交点分别为A,B,C,则坐标分别为A(,),B(0,-3),C(,-),作一组平行线l:x+y=t平行于l0:x+y=0,当l往l0右上方移动时,t随之增大,∴当l过C点时x+y最大为,但不是整数解,又由00)取得最大值的最优解有无穷多个,则a的值是(　　).‎ A. B.‎ C.2 D.‎ ‎【解析】由z取得最大值的最优解有无穷多个可知,目标函数y=-ax+z(a>0)在可行域内与直线AC重合或平行即可,又kAC==-,∴a=,故选B.‎ ‎【答案】B ‎3.已知实数x,y满足不等式组则z=2x+y的取值范围为　　　　. ‎ ‎【解析】据线性约束条件画出可行域如图所示,当直线z=2x+y经过点(0,1)时,取最小值1;当直线z=2x+y经过点(1,4)时,取最大值6.‎ ‎【答案】[1,6]‎ ‎4.在平面直角坐标系中,不等式组(a为正常数)表示的平面区域的面积是4,求2x+y的最大值.‎ ‎【解析】如图,作出可行域,由题意得:A(a,a),B(a,-a),‎ ‎∴S=×2a×a=4,∴a=2.‎ 设目标函数z=2x+y,‎ ‎∴y=-2x+z,‎ 由图可知,当直线y=-2x+z过点A时,直线在y轴上的截距最大,即z在(2,2)处取得最大值6.‎ ‎1.(2013年·天津卷)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=y-2x的最小值为(　　).‎ A.-7　　　B.-4　　　C.1　　　　D.2‎ ‎　　‎ ‎【解析】作出可行域(如图),可行域为△ABC内部及边界,将l0:y-2x=0在可行域内平移,当l0经过B点时,z取得最小值,由得B(5,3),故zmin=3-2×5=-7.‎ ‎【答案】A ‎2.(2013年·湖南卷)若变量x,y满足约束条件则x+2y的最大值是(　　).‎ A.- B.0 C. D.‎ ‎【解析】可行域如图所示,则当x=,y=时,zmax=+2×=,故选C.‎ ‎【答案】C ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎1.已知变量x,y满足约束条件若目标函数z=x+y,z取得最大值时,则其最优解为(　　).‎ A.(3,0)　　　B.(4,0)　　　C.(5,0)　　　D.(6,0)‎ ‎【解析】画图可知,在(3,0)点处z取得最大值,故最优解为(3,0).‎ ‎【答案】A ‎2.已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定.若M(x,y)为D上的动点,点A的坐标为(,1),则z=·的最大值为(　　).‎ A.4 B.3 C.4 D.3‎ ‎【解析】z=·=(x,y)·(,1)=x+y,画出不等式组表示的区域(如图),显然当z=x+y经过B(,2)时,z取最大值,即zmax=2+2=4.‎ ‎【答案】C ‎3.当x、y满足不等式组时,则目标函数k=3x-2y的最大值为　　　　. ‎ ‎　　‎ ‎【解析】由画出线性区域如图所示.‎ 求k=3x-2y的最大值,即求与3x-2y=0平行且经过线性区域的直线的截距的最小值的相反数的两倍,过点(4,3)的直线l2为所求的直线,‎ ‎∴目标函数k的最大值为6.‎ ‎【答案】6‎ ‎4.已知求z=的取值范围.‎ ‎【解析】z=2·表示可行域内任一点(x,y)与定点P(-1,-2)连线的斜率的两倍.作出可行域如图,‎ ‎∵kPA=,kPO=2,‎ ‎∴≤z≤4.‎ ‎5.设z=x+y,其中x,y满足若z的最大值为6,则z的最小值为(　　). ‎ A.-2.　　　 B.-3　　　 C.-4　　 D.-5‎ ‎【解析】由线性约束条件画出可行域如图,‎ 由题意知当y=-x+z过点A(k,k)时,zmax=k+k=6,k=3,z=x+y在点B处取得最小值,由直线x+2y=0与y=3可得 B(-6,3),∴zmin=-6+3=-3. ‎ ‎【答案】 B ‎6.如图,目标函数u=ax-y的可行域为四边形OACB(含边界).若点C(,)是该目标函数的最优解,则a的取值范围是 (　　).‎ A.[-,-]‎ B.[-,-]‎ ‎ C.[,]‎ D.[-,]‎ ‎【解析】由题意知直线y=ax-u应在过点C时取最优解,所以kAC≤a≤kBC,故选B.‎ ‎【答案】B ‎7.若线性目标函数z=x+y在线性约束条件下取得最大值时的最优解只有一个,则实数a的取值范围是　　　　. ‎ ‎【解析】作出可行域如图所示.‎ 由图可知直线y=-x与y=-x+3平行,若最大值只有一个,则直线y=a必须在直线y=2x与y=-x+3的交点(1,2)的下方,故a≤2.‎ ‎【答案】 (-∞,2]‎ ‎8.已知O为坐标原点,A(2,1),P(x,y)满足求||·cos∠AOP的最大值.‎ ‎【解析】在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的可行域(如图),‎ 由于||·cos∠AOP==,而=(2,1),=(x,y),所以||·cos∠AOP=,‎ 令z=2x+y,则y=-2x+z,‎ 即z表示直线y=-2x+z在y轴上的截距,由图形可知,当直线经过可行域中的点M时,z取到最大值,‎ 由得M(5,2),这时zmax=12,此时,‎ ‎||·cos∠AOP==,‎ 故||·cos∠AOP的最大值为.‎ ‎9.已知变量x、y满足约束条件1≤x+y≤4,-2≤x-y≤2.若目标函数z=ax+y(其中a>0)仅在点(3,1)处取得最大值,则a的取值范围是　　　　. ‎ ‎【解析】由约束条件可知可行域为矩形的内部及其边界,(3,1)为其中一个顶点.z最大时,即平移y=-ax时,使直线在y轴上的截距最大,∴-a<-1,即a>1.‎ ‎【答案】(1,+∞)‎ ‎10.设实数x,y满足求u=的最小值.‎ ‎【解析】 如图,实数x,y的区域是△ABC,其中点A的坐标是(3,1),点C的坐标是(1,2),设t=,t∈[,2],故u===,关于t的函数f(t)=t+在[,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,故其最小值为1+=2,最大值为两个端点值中较大的一个,即3+=,故u的取值范围是[,],即最小值是.‎ 第7课时　简单线性规划的应用 ‎1.了解线性规划的实际意义,能把实际问题转化成线性规划问题.‎ ‎2.掌握线性规划问题的图解法,并能应用它解决一些简单的实际问题.‎ 重点:用线性规划解决实际问题.‎ 难点:从实际问题中构造平面区域和目标函数.‎ 上一课时我们共同学习了简单线性规划的基本概念,了解了图解法的步骤等,线性规划是一种重要的数学工具,是函数、不等式、解析几何等知识的综合交汇点,地位重要,这一讲我们将共同探究线性规划的综合应用.‎ 问题1:用　线性规划　的方法解决实际问题中的最值问题是线性规划的实际应用. ‎ 问题2:线性规划常见的具体问题 ‎(1)物资调配问题;(2)产品安排问题;(3)下料问题;(4)利润问题;(5)饲料、营养等问题.‎ 问题3:解线性规划应用题的步骤:‎ ‎(1)列表转化为线性规划问题;(2)设出相关变量,列出线性约束条件对应的不等式(组),写出　目标函数　;(3)正确画出可行域,求出目标函数的最值及相应的变量值;(4)写出实际答案. ‎ 问题4:线性规划的整数解问题:‎ 线性规划实际应用中常常碰到的实际问题是一些整数解问题,这要求在解题时取值应该找到符合条件的整数点,即　整点　,不是整点应该找出　最优解　旁边的整点.  ‎ 艾尔多斯—莫迪尔不等式 设P为△ABC内部或边界上一点,P到三边距离分别为PD,PE,PF,则PA+PB+PC≥2(PD+PE+PF),当且仅当△ABC为正三角形,且P为三角形中心时上式取等号.‎ 这是用于几何问题的证明和求最大(小)值时的一个重要不等式.‎ ‎1.某班计划用少于100元的钱购买单价分别为2元和1元的大小彩球装点联欢晚会的会场,根据需要,大球数不少于10个,小球数不少于20个,请你给出几种不同的购买方案?‎ ‎【解析】设可购买大球x个,小球y个.‎ 依题意有 其整数解为…,都符合题目要求(满足2x+y-100<0即可).‎ ‎2.某厂拟生产甲、乙两种适销产品,每件销售收入分别为 3000 元、2000 元.甲、乙产品都需要在 A、B 两种设备上加工,在每台 A、B 设备上加工 1 件甲产品所需工时分别为1 h、2 h,加工 1 件乙产品所需工时分别为 2 h、1 h,A、B 两种设备每月有效使用工时数分别为 400 h 和 500 h.如何安排生产可使收入最大?‎ ‎【解析】设每月生产甲产品x件,生产乙产品y件,每月收入为z千元,目标函数为z=3x+2y,需要满足的条件是 ‎ 作直线z=3x+2y,如图.‎ 当经过点A(200,100)时取得最大值80万元.即当生产甲产品200件、乙产品100件,每月收入为80万元.‎ ‎3.某企业生产A、B两种产品,生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表:‎ 产品品种 劳动力(个)‎ 煤(吨)‎ 电(千瓦)‎ A产品 ‎3‎ ‎9‎ ‎4‎ B产品 ‎10‎ ‎4‎ ‎5‎ 已知生产A产品每吨的利润是7万元,生产B产品每吨的利润是12万元,现因条件限制,该企业仅有劳动力300个,煤360吨,并且供电局只能供电200千瓦,试问该企业生产A、B两种产品各多少吨,才能获得最大利润?‎ ‎【解析】设生产A、B两种产品各x、y吨,利润为z万元,则z=7x+12y,且满足以下条件:‎ 作出可行域如图阴影所示.‎ 当直线7x+12y=0向右上方平行移动时,经过M(20,24)时,z取最大值.‎ ‎∴该企业生产A、B两种产品分别为20吨和24吨时,才能获得最大利润.‎ ‎4.某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?‎ ‎【解析】设为该儿童分别预订x,y个单位的午餐和晚餐,共花费z元,则z=2.5x+4y,且满足以下条件:‎ 即 作直线l:2.5x+4y=0,平移直线l至l0,当l0经过C点时,可使z达到最小值.‎ 由 解得即C(4,3),此时,z=2.5×4+4×3=22.‎ 答:午餐和晚餐分别预定4个单位和3个单位,花费最少,且为22元.‎ 下料问题 某车间有一批长250 cm的坯料,现因产品需要,要将它截成长为130 cm和110 cm两种不同木料,生产任务规定:长130 cm木料100根,长110 cm木料150根,问如何开料,使总的耗坯数最少?‎ ‎【方法指导】这是下料问题.‎ ‎【解析】有两种截料方法.‎ ‎　　‎ ‎130 cm木料 ‎110 cm木料 余料 第一种方法 ‎1‎ ‎1‎ ‎10‎ 第二种方法 ‎0‎ ‎2‎ ‎30‎ 需要量 ‎100‎ ‎150‎ ‎　　设第一种方法截x根,第二种方法截y根,总的耗坯数为z,‎ 则 z=x+y.‎ ‎　　‎ 画出可行域如图所示,由图可知在点(100,25)处取得最小值.‎ 答:用100根截成130 cm木料和110 cm木料各一根,另用25根截成两根110 cm木料.‎ ‎【小结】本题是一道用线性规划求解的实际应用问题,注意是求目标函数的最优整数解.‎ 物资调配问题 某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180 t支援物资的任务.该公司有8辆载重6 t的A型卡车与4辆载重为10 t的B型卡车,有10名驾驶员,每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次,B型卡车3次;每辆卡车每天往返的成本费为A型卡车320元,B型卡车504元.请为公司安排一下,应如何调配车辆,才能使公司所花的成本费最低?‎ ‎【方法指导】这是物资分配问题.‎ ‎【解析】设需A型、B型卡车分别为x辆和y辆.列表分析数据.‎ A型车 B型车 限量 车辆数 x y ‎10‎ 运物吨数 ‎24x ‎30y ‎180‎ 费用 ‎320x ‎504y z ‎　　由表可知,x,y满足的线性条件为:‎ 且z=320x+504y.‎ 作出线性区域,如图所示,可知当直线z=320x+504y过A(7.5,0)时,z最小,但A(7.5,0)不是整点,继续向上平移直线z=320x+504y可知,(5,2)是最优解.这时zmin=320×5+504×2=2608,即用5辆A型车,2辆B型车,成本费最低.‎ ‎【小结】(1)解线性规划应用题的一般步骤:①设出未知数;②列出约束条件(要注意考虑数据、变量、不等式的实际含义及计量单位的统一);③建立目标函数;④求最优解.‎ ‎(2)对于有实际背景的线性规划问题,可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域,此时,变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点.‎ 产品安排问题 预算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子,并希望桌椅的总数尽可能多,但椅子数不能少于桌子数,且不多于桌子数的1.5倍.问:桌、椅各买多少才合适?‎ ‎【方法指导】首先应用字母设出相应量,然后确定目标函数及线性约束条件,画出可行域,最后通过平移目标函数求得最终答案.‎ ‎【解析】设桌、椅分别买x、y张,‎ 由题意得,‎ 且z=x+y.‎ 画出可行域如图所示,‎ 由 解得 ‎∴点A的坐标为(,).‎ 由解得 ‎∴点B的坐标为(25,).以上不等式所表示的区域即以A(,),B(25,),O(0,0)为顶点的△AOB及其内部.‎ 对△AOB内的点P(x,y),由x+y=z,有y=-x+z,这是斜率为-1,y轴上截距为z的平行直线系.‎ 只有点P与B重合,即取x=25,y=时,z取最大值.‎ ‎∵y∈N,∴y=37,‎ 故买桌子25张,椅子37张时,是最优选择.‎ ‎【小结】要注意结合实际问题,确定未知数x,y等是否有限制,如探究三中必须x≥0,y≥0且x,y∈N.‎ 要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格,每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示:‎ ‎　　　规格类型 钢板类型　　　‎ A规格 B规格 C规格 第一种钢板 ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ 第二种钢板 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎　　今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块,问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品,且使所用钢板张数最少?‎ ‎【解析】设需截第一种钢板x张,第二种钢板y张,则 且x,y都是整数.‎ 求目标函数z=x+y取得最小值时的x,y的值.‎ 如图,当x=3,y=9或x=4,y=8时,z取得最小值.‎ ‎∴需截第一种钢板3张,第二种钢板9张或第一种钢板4张,第二种钢板8张时,可得所需三种规格成品,且使所用钢板张数最少.‎ 有粮食和石油两种物资,可用轮船与飞机两种方式运输,每天每艘轮船和每架飞机的运输效果见表.‎ 方式效果种类 轮船运输量/t 飞机运输量/t 粮食 ‎300‎ ‎150‎ 石油 ‎250‎ ‎100‎ ‎　　现在要在一天内运输至少2000 t粮食和1500 t石油,需至少安排多少艘轮船和多少架飞机?‎ ‎【解析】设需安排x艘轮船和y架飞机,则 即 目标函数为z=x+y.‎ 作出可行域,如图所示.‎ ‎　　作出在一组平行直线x+y=t(t为参数)中经过可行域内某点且和原点距离最小的直线,此直线经过直线6x+3y-40=0和y=0的交点A(,0),直线方程为x+y=.‎ 由于不是整数,而最优解(x,y)中x,y必须都是整数,所以可行域内点(,0)不是最优解.经过可行域内的整点(横、纵坐标都是整数的点)且与原点距离最近的直线经过的整点是(7,0),即为最优解,则至少要安排7艘轮船和0架飞机.‎ 投资生产A产品时,每生产100吨需要资金200万元,需场地200平方米,可获利润300万元;投资生产B产品时,每生产100吨需要资金300万元,需场地100平方米,可获利润200万元.现某单位可使用资金1400万元,场地900平方米,问:应作怎样的组合投资,可使获利最大?‎ ‎【解析】设生产A产品x百吨,生产B产品y百吨,利润为S百万元,‎ 则约束条件为 目标函数为S=3x+2y.‎ 作出可行域(如图),‎ 将目标函数变形为y=-x+,它表示斜率为-,在y轴上截距为的直线,平移直线y=-x+,当它经过直线2x+y=9与2x+3y=14的交点(,)时,最大,也即S最大,此时,S=3×+2×=14.75.‎ 因此,生产A产品325吨,B产品250吨,利润最大,且为1475万元.‎ ‎1.在“家电下乡”活动中,某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇.现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用为400元,可装洗衣机20台;每辆乙型货车运输费用为300元,可装洗衣机10台.若每辆车至多运一次,则该厂所花的最少运输费用为(　　).‎ A.2000元　B.2200元　C.2400元　D.2800元 ‎【解析】设需使用甲型货车x辆,乙型货车y辆,运输费用z元,根据题意,得线性约束条件:‎ 线性目标函数z=400x+300y,画出可行域如图所示,解得当x=4,y=2时,zmin=2200.‎ ‎【答案】B ‎2.某公司生产甲、乙两种桶装产品,已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克;生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A,B原料都不超过12千克,通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是(　　).‎ A.1800元　　B.2400元　　C.2800元　　D.3100元 ‎【解析】设该公司每天生产甲产品x桶,乙产品y桶,‎ 则 利润函数z=300x+400y,‎ 如图,在的交点(4,4)处取得最大值.‎ zmax=300×4+400×4=2800元.‎ ‎【答案】C ‎3.某实验室需购某处化工原料106千克,现在市场上该原料有两种包装,一种是每袋35千克,价格为140元;另一种是每袋24千克,价格是120元.在满足需要的条件下,最少需花费　　　　元. ‎ ‎【解析】设需要35千克的x袋,24千克的y袋,则总的花费为z元,则 求z=140x+120y的最小值.‎ 由图解法求出zmin=500,此时,x=1,y=3.‎ ‎【答案】500‎ ‎4.要将甲、乙两种长短不同的钢管截成A、B、C三种规格,两种钢管可同时截得三种规格的钢管的根数如下表所示:‎ ‎　　　规格类型 钢管类型　　　‎ A规格 B规格 C规格 甲种钢管 ‎2‎ ‎1‎ ‎4‎ 乙种钢管 ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ 今需A、B、C三种规格的钢管各13、16、18根,问各截这两种钢管多少根可得所需三种规格钢管,且使所用钢管根数最少?‎ ‎【解析】设需截甲种钢管x根,乙种钢管y根,则 作出可行域(如图):‎ 目标函数为z=x+y,作出一组平行直线x+y=t(t为参数)中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线,此直线经过直线4x+y=18和直线x+3y=16的交点A(,),直线方程为x+y=.由于和都不是整数,所以可行域内的点(,)不是最优解,经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x+y=8,经过的整点是B(4,4),它是最优解.‎ 答:要截得所需三种规格的钢管,且使所截两种钢管的根数最少的方法是截甲种钢管、乙种钢管各4根.‎ ‎1.(2013年·山东卷)在平面直角坐标系xOy 中,M为不等式组所表示的区域上一动点,则直线OM斜率的最小值为(　　).‎ A.2 B.1 C.- D.-‎ ‎【解析】不等式组所表示的线性区域如图所示,易知当点M落在点A处时,OM的斜率最小.由可知点A(3,-1),故OM的斜率最小值为-.‎ ‎【答案】C ‎2.(2013年·广西卷)记不等式组所表示的平面区域为D.若直线y=a(x+1)与D有公共点,则a的取值范围是　　　　. ‎ ‎【解析】根据不等式组画出可行域,又直线y=a(x+1)过定点(-1,0),a表示经过(-1,0)和可行域一点直线的斜率,所以当取点(0,4)时,amax=4;当取点(1,1)时,amin=.‎ ‎【答案】[,4]‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎1.某厂生产的甲、乙两种产品每件可获利润分别为30元、20元,生产甲产品每件需用A原料2 kg、B原料4 kg,生产乙产品每件需用A原料3 kg、B原料2 kg.A原料每日供应量限额为60 kg,B原料每日供应量限额为80 kg.要求每天生产的乙种产品不能比甲种产品多过10件,则合理安排生产可使该厂每日获得的最大利润为(　　).‎ A.500元　　B.700元　　C.400元　　D.650元 ‎【解析】设每天生产甲、乙两种产品分别为x、y件,则利润z=30x+20y.‎ 不等式组所表示的平面区域如图所示,根据目标函数的几何意义,在直线2x+3y=60和直线4x+2y=80的交点B处取得最大值,解方程组得B(15,10),代入目标函数得zmax=30×15+20×10=650.‎ ‎【答案】D ‎2.如图所示表示阴影区域的不等式是(　　).‎ A.y≤x B.|y|≤|x|‎ C.x(y-x)≤0‎ D.y(y-x)≤0‎ ‎【解析】由平面区域及结合选项可得,D选项转化为对应不等式组为 或 ‎ ‎【答案】D ‎3.铁矿石A和B的含铁率a,冶炼每万吨铁矿石的CO2排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表所示:‎ a b(万吨)‎ c(百万元)‎ A ‎50%‎ ‎1‎ ‎3‎ B ‎70%‎ ‎0.5‎ ‎6‎ 某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁,要求CO2的排放量不超过2(万吨),则购买铁矿石的最少费用为　　　　(百万元). ‎ ‎【解析】设购买铁矿石A、B的数量分别为x,y万吨,则购买铁矿石的费用为z=3x+6y,且 画出不等式组表示的平面区域(如图),‎ 由得A(1,2).‎ 易知当x=1,y=2时,zmin=3×1+6×2=15.‎ ‎【答案】15‎ ‎4.某人准备投资 1200万兴办一所中学,招生班数在20~30之间,对教育市场进行调查后,他得到了下面的数据表格(以班级为单位):‎ 学段 班级学生人数 配备教师数 硬件建设/万元 教师年薪/万元 初中 ‎45‎ ‎2‎ ‎26/班 ‎2/人 高中 ‎40‎ ‎3‎ ‎54/班 ‎2/人 分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件.‎ ‎【解析】设开设初中班x个,开设高中班y个,根据题意,总共招生班数应限制在20~30之间,所以有20≤x+y≤30,考虑到所投资金的限制,得26x+54y+2×2x+2×3y≤1200,即x+2y≤40,另外,开设的班数不能为负,则x≥0,y≥0,‎ 把上面的四个不等式合在一起,得到且x,y∈N.‎ 用图形表示这个限制条件,得到如图的平面区域(阴影部分).‎ ‎5.满足条件的可行域中共有整点的个数为(　　).‎ A.3　　　 B.4　　　 C.5　　　 D.6‎ ‎【解析】画出可行域,由可行域知有4个整点,分别是(0,0),(0,-1),(1,-1),(2,-2).‎ ‎【答案】B ‎6.已知点M(a,b)在由不等式组确定的平面区域内,则点N(a+b,a-b)所在平面区域的面积是(　　).‎ A.1 B.2 C.4 D.8‎ ‎【解析】令则有由点M(a,b)在由不 等式组确定的平面区域内,得所以点N所在平面区域为图中的阴影部分,所以该平面区域的面积为S=×4×2=4.‎ ‎【答案】C ‎7.完成一项装修工程,请木工需付每人工资50元,请瓦工需付每人工资40元,现有工人工资预算2000元,设木工x人,瓦工y人,请工人所满足的数学关系式是　　　　. ‎ ‎【答案】‎ ‎8.医院用两种原料为手术后的病人配制营养食品,甲种原料每10克含5单位蛋白质和10单位铁质,售价3元;乙种原料每10克含7单位蛋白质和4单位铁质,售价2元,若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质,问应如何配置食品,既满足营养要求,又使费用最省?‎ ‎【解析】设食品配方中,需甲种原料10x克,乙种原料10y克,所需费用z元.‎ 由题意得z=3x+2y.‎ 作出可行域如图所示.‎ 画直线l0:3x+2y=0,平行移动直线l0到直线l,使l过可行域内的某点,容易看出当l过点M时,得所求,点M是直线5x+7y=35与直线10x+4y=40的交点.‎ 解方程组得M(2.8,3),即在食品配方中,用甲种原料28克,乙种原料30克,可使费用最省.‎ ‎9.某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%,可能的最大亏损率为30%和10%,投资人计划投资不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.投资人对甲、乙两个项目的盈利最大值是　　　　万元. ‎ ‎【解析】设投资人分别将x万元、y万元投资于甲、乙两个项目,‎ 由题意知目标函数为z=x+0.5y.‎ ‎　　‎ 上述不等式组表示的平面区域如图所示,阴影部分(含边界)即为可行域.‎ 将z=x+0.5y变为y=-2x+2z,则当直线y=-2x+2z过点M时,在y轴上的截距最大,即z取得最大值.‎ 解得 此时,zmax=1×4+0.5×6=7>0.‎ 当x=4,y=6时,z取得最大值为7.‎ ‎【答案】7‎ ‎10.某工艺品加工厂准备生产具有收藏价值的伦敦奥运会会徽“2012”和奥运会吉祥物“文洛克”.该厂所用的主要原料为A、B两种贵重金属,已知生产一套奥运会会徽需用原料A和原料B的量分别为4盒和3盒,生产一套奥运会吉祥物需用原料A和原料B的量分别为5盒和10盒.若奥运会会徽每套可获利700元,奥运会吉祥物每套可获利1200元,该厂月初一次性购进原料A、B的量分别为200盒和300盒.问该厂生产奥运会会徽和奥运会吉祥物各多少套才能使该厂月利润最大?最大利润为多少?‎ ‎【解析】设该厂每月生产奥运会会徽和奥运会吉祥物分别为x,y套,月利润为z元,由题意得 目标函数为z=700x+1200y,作出可行域如图所示.‎ 目标函数可变形为y=-x+,‎ ‎∵-<-<-,‎ ‎∴当y=-x+通过图中的点A时,最大,这时z最大.‎ 解方程组得点A的坐标为(20,24),‎ 将点A(20,24)代入z=700x+1200y得zmax=700×20+1200×24=42800.‎ 答:该厂生产奥运会会徽和奥运会吉祥物分别为20套,24套时月利润最大,最大利润为42800元.‎ 第8课时　基本不等式 ‎1.掌握基本不等式,能借助几何图形说明基本不等式的意义.‎ ‎2.能够利用基本不等式求最大(小)值.‎ ‎　　3.利用基本不等式求最值时要注意“一正二定三相等”.‎ 重点:基本不等式的实质由此加深学生对算术平均数、几何平均数的概念及相互关系的理解.‎ 难点:用基本不等式求最值要注意等号成立的条件,当等号不成立时,考虑用函数的单调性解决最值问题.‎ 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形,设直角三角形的两条直角边长分别为a,b,那么正方形的边长为.‎ 问题1:上述情境中,正方形的面积为　a2+b2　,4个直角三角形的面积的和　2ab　,由于4个直角三角形的面积之和不大于正方形的面积,于是就可以得到一个不等式:　a2+b2≥2ab　,我们称之为重要不等式,即对于任意实数a,b,都有　a2+b2≥2ab　当且仅当　a=b　时,等号成立. ‎ 我们也可以通过作差法来证明:　a2+b2　-　2ab　=(a-b)2≥0, ‎ ‎∴　a2+b2≥2ab　,当且仅当a=b时取等号. ‎ 问题2:基本不等式 若a,b∈(0,+∞),则　≥ ,当且仅当　a=b　时,等号成立. ‎ 问题3:对于基本不等式,请尝试从其他角度予以解释.‎ ‎(1)基本不等式的几何解释:‎ 在直角三角形中,直角三角形斜边上的　中线不小于　斜边上的　的高　.在圆中,半径不小于半弦长. ‎ ‎(2)如果把看作正数a、b的　等差中项　,看作正数a、b的　等比中项　,那么该定理可以叙述为:两个正数的　等差中项　不小于它们的　等比中项　. ‎ ‎(3)在数学中,我们称为a、b的　算术平均数　,称为a、b的　几何平均数　.因此,两个正数的　算术平均数　不小于它们的　几何平均数　. ‎ 问题4:由基本不等式我们可以得出求最值的结论:‎ ‎(1)已知x,y∈(0,+∞),若积x·y=p(定值),则和x+y有最　小　值　2　,当且仅当x=y时,取“=”. ‎ ‎(2)已知x,y∈(0,+∞),若和x+y=s(定值),则积x·y有最　大　值 　,当且仅当x=y时,取“=”. ‎ 即“积为常数,　和有最小值　;和为常数,　积有最大值　”. ‎ 概括为:一正二定三相等四最值.‎ 调和平均数是总体各单位标志值倒数的算术平均数的倒数,也称倒数平均数,是平均数的一种.但统计调和平均数,与数学调和平均数不同.在数学中调和平均数与算术平均数都是独立的自成体系的,计算结果前者恒小于等于后者,因而数学调和平均数定义为:数值倒数的平均数的倒数.但统计加权调和平均数则与之不同,它是加权算术平均数的变形,附属于算术平均数,不能单独成立体系,且计算结果与加权算术平均数完全相等,主要是用来解决在无法掌握总体单位数(频数)的情况下,只有每组的变量值和相应的标志总量,而需要求得平均数的情况下使用的一种数据方法.‎ ‎1.在下列不等式的证明过程中,正确的是(　　).‎ A.若a,b∈R,则+≥2=2‎ B.若a,b∈R+,则lg a+lg b≥2‎ C.若x为负实数,则x+≥-2=-2‎ D.若x为负实数,则3x+3-x≥2=2‎ ‎【解析】对于A,若+≥2,则须a,b同号;对于B,应有a>1,b>1;对于C,因x为负实数,则x+=-[(-x)+]≤-2;只有D正确.‎ ‎【答案】D ‎2.下列不等式一定成立的是(　　).‎ A.lg(x2+)>lg x(x>0)‎ B.sin x+≥2(x≠kπ,k∈Z)‎ C.>(b>a>0)‎ D.>1(x∈R)‎ ‎【解析】对于A,x2+≥2=x,可以取“=”;对于B,当sin x<0时不成立;对于C,∵(a+2)b-(b+2)a=2(b-a)>0,∴>,正确;对于D,当x=0时,=1,不成立.∴只有C正确.‎ ‎【答案】C ‎3.已知x>0,y>0,4x+9y=1,则+的最小值为　　　　. ‎ ‎【解析】∵x>0,y>0,4x+9y=1,‎ ‎∴+=(+)(4x+9y)‎ ‎=++13≥12+13=25,‎ 当且仅当=且4x+9y=1时等号成立,‎ 得:x=,y=.‎ 故当x=,y=时,(+)min=25.‎ ‎【答案】25‎ ‎4.已知a>0,b>0,c>0,d>0,求证:+≥4.‎ ‎【解析】+=+++‎ ‎=(+)+(+)≥2+2=4(当且仅当a=b且c=d时,取“=”).‎ 基本不等式求最值 ‎(1)已知x>,求函数y=4x-2+的最小值.‎ ‎(2)已知正数a,b满足ab=a+b+3,求ab的取值范围.‎ ‎【方法指导】对已知函数进行变形,再运用均值不等式与换元法,注意等号的取舍.‎ ‎【解析】(1)∵x>,∴4x-5>0,‎ ‎∴y=4x-5++3.‎ ‎∵4x-5+≥2=2,‎ 当且仅当4x-5=,即x=时,等号成立.‎ ‎∴y≥2+3=5.‎ 故当x=时,函数y=4x-2+取得最小值5.‎ ‎(2)∵ab-3=a+b≥2,∴ab-2-3≥0且ab>0,即(-1)2≥4,∴≥3,即ab≥9(当且仅当a=b时取等号),‎ ‎∴ab的取值范围是[9,+∞).‎ ‎【小结】使用基本不等式时要注意“一正二定三相等”.‎ 利用基本不等式证明不等式 已知x、y都是正数,求证:(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.‎ ‎【方法指导】在运用基本不等式≥时,注意条件a、b均为正数,结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件),进行变形.‎ ‎【解析】∵x,y都是正数,‎ ‎∴x2>0,y2>0,x3>0,y3>0.‎ ‎∵x+y≥2>0,x2+y2≥2>0,x3+y3≥2>0,‎ ‎∴(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥2·2·2=8x3y3,‎ 即(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.当且仅当“x=y”时取“=”.‎ ‎【小结】多次利用基本不等式证明时,一定要注意是否每次都能保证等号成立,并且取等号的条件应当一致.‎ 单调性与基本不等式 设函数f(x)=x+,x∈[0,+∞).‎ ‎(1)当a=2时,求函数f(x)的最小值;(2)当00,>0,‎ 所以f(x)≥2-1,当且仅当x+1=,即x=-1时,f(x)取得最小值2-1.‎ ‎(2)因为f(x)=x+=x+1+-1.‎ 当且仅当x+1=时等式成立,即x=-1<0,又x∈[0,+∞),所以基本不等式等号取不到.‎ 设x1>x2≥0,则f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)·[1-].‎ 由于x1>x2≥0,所以x1-x2>0,x1+1>1,x2+1≥1,所以(x1+1)(x2+1)>1,而00,即f(x1)>f(x2),‎ 所以f(x)在[0,+∞)上单调递增.‎ 所以f(x)min=f(0)=a.‎ ‎【小结】本题第(2)问要从函数的单调性或结合双勾函数来考虑,因为基本不等式等号取不到,这是用基本不等式经常碰到的问题.‎ ‎(1)设00,‎ ‎∴y=4x(3-2x)=2·2x(3-2x)≤2()2=,当且仅当2x=3-2x,即x=∈(0,)时等号成立,‎ ‎∴ymax=.‎ ‎(2)=·=[(x-1)+]=-[-(x-1)+],‎ ‎∵-40,所以t+≥2,当且仅当t=1时取等号,显然不在区间[2,+∞)内,即等号不成立,故考虑其单调性.‎ 易证y=t+在区间[2,+∞)上单调递增,故y≥.‎ 所以,所求函数的值域为[,+∞).‎ ‎1.下列不等式中恒成立的是(　　).‎ A.≥　　　　　B.x+≥2‎ C.≥3 D.2-3x-≥2‎ ‎【解析】A:=≥,恒成立.‎ B:当x=-1时,x+=-2,不恒成立.‎ C:=-,当x=0时最小,最小值为,∴不恒成立.‎ D:当x>0时,2-3x-=2-(3x+)≤2-2×=2-4,不恒成立,选A.‎ ‎【答案】A ‎2.当点(x,y)在直线x+3y-2=0上移动时,表达式3x+27y+1的最小值为(　　).‎ A.3　　　　B.5　　　　C.1　　　　D.7‎ ‎【解析】由x+3y-2=0得3y=-x+2,‎ ‎∴3x+27y+1=3x+33y+1=3x+3-x+2+1‎ ‎=3x++1≥2+1=7.‎ 当且仅当3x=,即x=1时取得等号.‎ ‎【答案】D ‎3.已知08abc.‎ ‎【解析】∵a,b,c都是正数,‎ ‎∴a+b≥2>0(当且仅当a=b时等号成立),‎ b+c≥2>0(当且仅当b=c时等号成立),‎ c+a≥2>0(当且仅当a=c时等号成立),‎ ‎∵a、b、c是不全相等的正数,‎ ‎∴上述三式中至少有一个等号不成立,‎ ‎∴(a+b)(b+c)(c+a)>2·2·2=8abc,‎ 即(a+b)(b+c)(c+a)>8abc.‎ ‎　　(2011年·重庆卷)若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取最小值,则a等于(　　).‎ A.1+ B.1+‎ C.3 D.4‎ ‎【解析】∵x>2,∴f(x)=x+=(x-2)++2≥2+2=4,当且仅当x-2=,即x=3时取等号.∴a=3.‎ ‎【答案】C ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎1.下列结论正确的是(　　).‎ A.当x>0且x≠1时,lg x+≥2‎ B.当x≥2时,x+的最小值为2‎ C.当x>0时,+≥2‎ D.当00;选项B中最小值为2时,x=1;选项D中的函数在(0,2]上单调递增,有最大值;只有选项C中的结论正确.‎ ‎【答案】C ‎2.已知a>0,b>0,A为a,b的等差中项,正数G为a,b的等比中项,则ab与AG的大小关系是(　　).‎ A.ab=AG　　　　　　　B.ab≥AG C.ab≤AG D.不能确定 ‎【解析】依题意得A=,G=,故AG=·≥·=ab.‎ ‎【答案】C ‎3.已知不等式(x+y)(+)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为　　　　. ‎ ‎【解析】(x+y)(+)=1+a++≥1+a+2,因此1+a+2≥9,即(+1)2≥9,故a≥4.‎ ‎【答案】4‎ ‎4.已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,求x+2y的最小值.‎ ‎【解析】∵2xy≤()2,∴x+2y+2xy≤x+2y+()2,∴x+2y+≥8(x,y>0),得x+2y≥4,即x+2y的最小值为4.‎ ‎5.若lg x+lg y=2,则+的最小值是(　　).‎ A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.2‎ ‎【解析】由已知x,y∈R+,又lg x+lg y=2,∴xy=102.‎ ‎∴+≥2=,故选B.‎ ‎【答案】B ‎6.对于使f(x)≤M恒成立的所有常数M中,我们把M的最小值叫作f(x)的上确界.若a>0,b>0且a+b=1,则--的上确界为(　　).‎ A. B.- C. D.-4‎ ‎【解析】--=-(a+b)(+)=-(+2++)≤-(+2+2)=-.‎ ‎【答案】B ‎7.在“+=1”中的“　”处分别填上一个自然数,使它们的和最小,且其和的最小值为　　　　. ‎ ‎【解析】设这两个自然数分别为x,y,‎ 则有x+y=(x+y)(+)=13++≥13+2=25,‎ 当且仅当=,且+=1,即x=10,y=15时,等号成立,故分别填10和15,其和的最小值为25.‎ ‎【答案】10　15　25‎ ‎8.已知基本不等式可推广:若a,b,c∈R+,则a+b+c≥3,abc≤()3,当且仅当a=b=c时取“=”.‎ ‎(1)x>0,求x2+的最小值.‎ ‎(2)x>0,求2x(3-x)2的最大值.‎ ‎【解析】(1)x2+=x2++≥3=3,当且仅当x2=,即x=时取等号.‎ ‎∴x2+的最小值为3.‎ ‎(2)2x(3-x)2=2x(3-x)(3-x)≤[]3=8,当且仅当2x=3-x, 即x=1时取等号.‎ ‎∴2x(3-x)2的最大值为8.‎ ‎9.函数y=在x>1的条件下的最小值为　　　　,此时x=　　　　.  ‎ ‎【解析】y==x+=(x-1)++1≥5,当且仅当x=3时等号成立.‎ ‎【答案】5　3‎ ‎10.某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36张,每批都购入x张(x是正整数),且每批均需付运费4元,储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比,若每批购入4张,则该月需用去运费和保管费共52元,现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费.‎ ‎(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f(x);‎ ‎(2)能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由.‎ ‎【解析】(1)设题中比例系数为k,若每批购入x张,则共需分批,每批价值为20x元,‎ 由题意知f(x)=·4+k·20x,由x=4时,f(x)=52得k==,‎ ‎∴f(x)=+4x(00),x+≤-2(x<0);‎ ‎(2)+≥2(a,b同号),+≤-2(a,b异号);‎ ‎(3)a+b≥2,()2　≥　ab; ‎ ‎(4)ab≤,()2≤,当且仅当a=b时取等号.‎ 问题2:基本不等式的推广 已知a,b是正数,则有 ‎(调和平均数)≤(几何平均数)≤(算术平均数)≤(平方平均数),当且仅当a=b时取等号.‎ 问题3:基本不等式的推广的推导 ‎∵a,b是正数,∴≤=,‎ 而≤,又a2+b2≥2ab,‎ ‎∴2(a2+b2)≥(a+b)2,∴≤.‎ 故≤≤≤.‎ 问题4:若a,b,c∈R+,则≥,当且仅当a=b=c时等号成立,则关于n个正数a1,a2,a3,…,an的基本不等式为:≥ 　,当且仅当a1=a2=a3=…=an时等号成立,其中叫作这n个数的　算术平均数　,叫作这n个数的　几何平均数　. ‎ 契比雪夫不等式 ‎(1)若a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn,则(a1b1+a2b2+…+anbn)≥·;‎ ‎(2)若a1≤a2≤…≤an,b1≥b2≥…≥bn,则(a1b1+a2b2+…+anbn)≤·.‎ ‎1.四个不相等的正数a,b,c,d成等差数列,则(　　).‎ A.>　　　　　　B.<‎ C.= D.≤‎ ‎【解析】∵a+d=b+c,又∵a、b、c、d均是正数,且不相等,‎ ‎∴=>.‎ ‎【答案】A ‎2.已知a>1,b>1,且lg a+lg b=6,则lg a·lg b的最大值为(　　).‎ A.6　　　　 B.9　　　　 C.12　　　 D.18‎ ‎【解析】∵a>1,b>1,∴lg a>0,lg b>0,‎ 又lg a+lg b=6,∴lg a·lg b≤()2=()2=9,故选B.‎ ‎【答案】B ‎3.已知a,b为正实数,如果ab=36,那么a+b的最小值为　　　　;如果a+b=18,那么ab的最大值为　　　　. ‎ ‎【解析】根据基本不等式a+b≥2=2=12,得a+b的最小值为12.根据≤=9,即ab≤81,得ab的最大值为81.‎ ‎【答案】12　81‎ ‎4.已知a,b,c为两两不相等的实数,求证:a2+b2+c2>ab+bc+ca.‎ ‎【解析】∵a,b,c为两两不相等的实数,‎ ‎∴a2+b2>2ab,b2+c2>2bc,c2+a2>2ca,‎ 以上三式相加:2(a2+b2+c2)>2ab+2bc+2ca,‎ ‎∴a2+b2+c2>ab+bc+ca.‎ 利用基本不等式判断不等关系 若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是　　　　(写出所有正确命题的编号). ‎ ‎①ab≤1;②+≤;③a2+b2≥2;④a3+b3≥3;⑤+≥2.‎ ‎【方法指导】根据已知条件依次判断命题.‎ ‎【解析】令a=b=1,排除命题②④;‎ 由2=a+b≥2⇒ab≤1,命题①正确;‎ a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab≥2,命题③正确;‎ ‎+==≥2,命题⑤正确.‎ 故填①③⑤.‎ ‎【答案】①③⑤‎ ‎【小结】基本不等式常用于有条件的不等关系的判断、比较代数式的大小等.一般地,结合所给代数式的特征,将所给条件进行转换(利用基本不等式可将整式和根式相互转化),使其中的不等关系明晰即可解决问题.‎ 基本不等式在证明题中的应用 已知a,b,c都是正数,求证:++≥a+b+c.‎ ‎【方法指导】所证不等式的左边为分式,右边为整式,根据左边式子的特点,若要用基本不等式可在左边添项,变为(+b)+(+c)+(+a)的形式.‎ ‎【解析】∵a>0,b>0,c>0,∴+b≥2=2a.‎ 同理:+c≥2b,+a≥2c,‎ 三式相加得:++≥a+b+c.‎ ‎【小结】本题的求解关键是分析出要证不等式左、右两边都为和的形式,且左边为分式形式,联想x+≥2,需添上相应分母形式,即a,b,c三项,这也正是本题的思维障碍点,需要有较强的观察、分析能力.‎ 利用基本不等式求最值 已知正数x,y满足x2+=1,求x的最大值.‎ ‎【方法指导】所求的最值是一个积式的形式,因此,应将条件转化为和的定值的形式,然后利用基本不等式建立待求和的关系.‎ ‎【解析】∵x2+=1,∴2x2+y2=2,‎ ‎∴x=x·‎ ‎≤·‎ ‎=·=,‎ 当且仅当⇒时等号成立,‎ ‎∴x的最大值是.‎ ‎【小结】本题解题的关键是紧扣已知条件中和为定值展开思路,把代数式中的积利用不等式转化为和,解题障碍在于利用已知条件凑好系数.当然,本题也可利用函数思想求解.‎ 已知正数02,a2+b2>2ab,所以最大的只能是a2+b2与a+b之一.‎ 而a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1),又00,b>0,c>0,求证:++≥++.‎ ‎【解析】∵+≥,+≥,+≥,‎ ‎∴2(++)≥++,‎ 即++≥++.‎ 下列说法:‎ ‎①对任意x>0,lg x+≥2;‎ ‎②对任意x∈R,ax+≥2;‎ ‎③对任意x∈(0,),tan x+≥2;‎ ‎④对任意x∈R,sin x+≥2.‎ 其中正确的是(　　).‎ A.①③　　B.③④　　C.②③　　D.①②③④‎ ‎【解析】任意x>0,无法确定lg x>0,①错;‎ 任意x∈R,ax>0,根据基本不等式ax+≥2,②正确;‎ 对任意x∈(0,),有tan x>0,根据基本不等式 tan x+≥2=2,③正确;‎ 存在x=-,sin x+=-2,④错.选C.‎ ‎【答案】C ‎1.已知m,n∈R,m2+n2=100,则mn的最大值是(　　).‎ A.100　　　B.50　　　C.20　　　D.10‎ ‎【解析】mn≤==50,当且仅当m=n=或m=n=-时等号成立.‎ ‎【答案】B ‎2.若0a2+b2,故b最大.‎ ‎【答案】B ‎3.已知x,y都为正数,且x+4y=1,则xy的最大值为　　　　. ‎ ‎【解析】∵x,y都为正数,∴1=x+4y≥2=4,‎ ‎∴xy≤,当且仅当x=,y=时取等号.‎ ‎【答案】‎ ‎4.已知a,b,c,d都是正数,求证:(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.‎ ‎【解析】由a,b,c,d都是正数,得: ≥>0,‎ ‎≥>0,∴≥abcd, ‎ 即(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd,当且仅当a=b=c=d时,取等号.‎ ‎1.(2013年·福建卷)若2x+2y=1,则x+y的取值范围是(　　).‎ A.[0,2] B.[-2,0]‎ C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]‎ ‎【解析】由基本不等式可得1=2x+2y≥2=2,∴2x+y≤,∴x+y≤-2,选D.‎ ‎【答案】D ‎2.(2013年·四川卷)已知函数f(x)=4x+(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a=　　　　. ‎ ‎【解析】∵x>0,a>0,∴f(x)=4x+≥2=4,当且仅当4x=,即a=4x2=36时等号成立.‎ ‎【答案】36‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎1.已知x>0,则x++1的最小值为(　　).‎ A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5‎ ‎【解析】x++1≥2+1=2+1=3.‎ ‎【答案】B ‎2.下列函数中,最小值为4的是(　　).‎ A.y=x+ B.y=sin x+(00时,f(x)=-(x+)≤-4;x<0时,f(x)=(-x)+(-)≥4,‎ ‎∴函数f(x)的值域为(-∞,-4]∪[4,+∞).‎ ‎【答案】(-∞,-4]∪[4,+∞)‎ ‎4.若a、b、c是不全相等的正数,求证:lg +lg +lg >lg a+lg b+lg c.‎ ‎【解析】∵a、b、c都为正数且不全相等,‎ ‎≥,≥,≥,‎ ‎∴··>abc,‎ ‎∴lg(··)>lg(abc),‎ ‎∴lg +lg +lg >lg a+lg b+lg c.‎ ‎5.已知a>0,b>0,则++2的最小值是(　　).‎ A.2 B.2 C.4 D.5‎ ‎【解析】+≥2,2+2≥4,当且仅当a=b,=,即a=b=1时有最小值4.选C.‎ ‎【答案】C ‎6.已知x>0,y>0,x,a,b,y成等差数列,x,c,d,y成等比数列,则的最小值是(　　).‎ A.0 B.1 C.2 D.4‎ ‎【解析】由题意得a+b=x+y,cd=xy,则=≥=4,当且仅当x=y时取等号.‎ ‎【答案】D ‎7.若实数a、b满足a+b=4,则2a+2b的最小值是　　　　. ‎ ‎【解析】∵2a,2b都是正数,∴2a+2b≥2=2=8,当且仅当2a=2b时等号成立,由a+b=4及2a=2b得a=b=2,即当a=b=2时,2a+2b的最小值是8.‎ ‎【答案】8‎ ‎8.若正数x,y满足log3(x+y)=1,求lo(+)的最大值.‎ ‎【解析】由log3(x+y)=1得x+y=3,+=+=+++3≥+2=,当且仅当x=,y=时等号成立,‎ 所以lo(+)≤lo=-log3=1-4log32,即lo(+)的最大值为1-4log32.‎ ‎9.正数a,b满足+=1,若不等式a+b≥-x2+4x+18-m对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是　　　　. ‎ ‎【解析】a+b=(a+b)(+)=10+(+)≥10+2=16.‎ 当且仅当=且+=1,即b=3a=12时取“=”.‎ ‎∴-x2+4x+18-m≤16即x2-4x+m-2≥0对任意x恒成立.‎ ‎∴Δ=16-4(m-2)≤0,∴m≥6.‎ ‎【答案】[6,+∞)‎ ‎10.已知a,b,c∈R,求证:a2+b2+c2≥(a+b+c)2≥ab+bc+ca.‎ ‎【解析】∵a,b,c∈R,∴a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,‎ 三式相加得,2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca),　①‎ 即a2+b2+c2≥ab+bc+ca.　②‎ 在①式两边同时加上a2+b2+c2得3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2,即a2+b2+c2≥(a+b+c)2.　③‎ 在②式两边同时加上2(ab+bc+ca)得 ‎(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca),‎ 即(a+b+c)2≥ab+bc+ca.　④‎ ‎∴由③④可得a2+b2+c2≥(a+b+c)2≥ab+bc+ca.‎ 第10课时　基本不等式的实际应用 ‎1.进一步熟悉基本不等式,并会用基本不等式来解题.‎ ‎3.能利用基本不等式解决实际问题.‎ 重点:能理清实际问题中变量关系.‎ 难点:把实际问题转化成基本不等式的模型.‎ 今天我们来探究基本不等式在实际生活中的应用,我们先来看个实际例子:如图,有一张单栏的竖向张贴的海报,它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分),上下空白各2 dm,左右空白各1 dm,则四周空白部分面积的最小值是　　　　dm2. ‎ 问题1:设阴影部分的高为x dm,宽为 dm,四周空白部分面积是y dm2.由题意得y=(x+4)(+2)-72=8+2(x+)≥8+2×2=　56　. ‎ 当且仅当　x=,即x=12　时,取得最小值. ‎ 问题2:用基本不等式解实际应用问题的步骤 ‎(1)先理解题意,设变量,设变量时一般把　要求最大值或最小值的变量　定为函数; ‎ ‎(2)建立相应的　函数关系式　,把实际问题抽象为　函数的最大值或最小值　问题; ‎ ‎(3)在定义域内,求出函数的　最大值或最小值　; ‎ ‎(4)正确写出答案.‎ 问题3:利用基本不等式求最值时,必须保证等号能成立,否则不能用它来求最值,比如求f(x)=sin x+,x∈(0,π)的最值时,不能这样做:f(x)=sin x+≥2=2,因为当x∈(0,π)时无法满足sin x=.‎ 问题4:利用基本不等式求最值时,一定要紧扣“一正,二定,三相等”这三个条件,即每个项都是正值,和或积是定值,所有的项能同时相等.而“二定”这个条件是对不等式巧妙地进行分析、组合、凑加系数等使之变成可用基本不等式的形式,倘若要多次利用不等式求最值,还必须保证每次取“=”号的一致性.‎ 我国的数学奖——钟家庆数学奖 为了纪念钟家庆教授并实现他发展祖国数学事业的遗愿,我国数学界的有关人士和一些在美华裔数学家于1987年共同筹办了钟家庆纪念基金,并设立了钟家庆数学奖,委托中国数学会承办,用以表彰与奖励最优秀的数学专业的硕士研究生、博士研究生,鼓励更多的年轻学者献身于数学事业,钟家庆数学奖对我国数学事业的发展起到了良好的推动作用.‎ ‎1.在下列不等式的证明过程中,正确的是(　　).‎ A.若a,b∈R,则+≥2=2‎ B.若a,b都为正数,则lg a+lg b≥2‎ C.若x<0,则x+≥-2=-2‎ D.若x≤0,则3x+3-x≥2=2‎ ‎【解析】对于A,若+≥2,则须a,b同号;对于B,应有a>1,b>1;对于C,∵x<0,∴x+=-[(-x)+]≤-2;只有D正确.‎ ‎【答案】D ‎2.已知x<,则函数y=4x-2+的最大值为(　　).‎ A.5　　　　B.1　　　　C.3　　　　D.4‎ ‎【解析】∵x<,∴4x-5<0,‎ ‎∴y=4x-5++3=-[(5-4x)+]+3≤-2+3=1.‎ 当且仅当5-4x=,即x=1时等号成立.‎ ‎∴当x=1时,函数取最大值1.‎ ‎【答案】B ‎3.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x=　　　　吨. ‎ ‎【解析】一年的总运费与总存储费用之和为×4+4x=4(+x)≥4×2=160,当且仅当=x,即x=20时等号成立.‎ ‎【答案】20‎ ‎4.已知a,b,c都为正数,且a+b+c=1,求证:(-1)(-1)(-1)≥8.‎ ‎【解析】∵a,b,c都为正数,a+b+c=1,‎ ‎∴-1===+≥.‎ 同理-1≥,-1≥.‎ 上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得 ‎(-1)(-1)(-1)≥··=8,‎ 当且仅当a=b=c=时,等号成立.‎ 利用基本不等式求函数的最值 求函数y=(x>1)的最小值.‎ ‎【方法指导】可将给定的分式函数变形为y=t+的形式,然后结合基本不等式来求解.‎ ‎【解析】y==(x-1)++2,‎ ‎∵x-1>0,∴y≥2+2=8.‎ 当且仅当x-1=,即x=4时取“=”.‎ ‎∴ymin=8.‎ ‎【小结】把已知条件化为y=x+(x>0)类型的函数是解题的关键,对于x取何值时取“=”易错,应注意.‎ 利用基本不等式解实际应用问题 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).‎ ‎(1)若设休闲区的长和宽的比=x(x>1),求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式;‎ ‎(2)要使公园所占面积最小,则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计?‎ ‎【方法指导】研究目标几何量的最小(大)值,需要根据几何量之间的关系,由计算公式得到目标函数,然后利用基本不等式求解.‎ ‎【解析】(1)设休闲区的宽为a米,则长为ax米,由a2x=4000,得a=,‎ 则S(x)=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a+160=4000+(8x+20)·+160=80(2+)+4160(x>1).‎ ‎(2)∵80(2+)+4160≥80×2+4160=1600+4160=5760,‎ 当且仅当2=,即x=2.5时等号成立,此时,a=40,ax=100.‎ ‎∴要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1应设计为长100米,宽40米.‎ ‎【小结】求解实际问题,在审题和建模时一定不可忽略对实际问题定义域的准确挖掘,一般地,每个表示实际意义的变量必须为正,由此可得自变量的范围,然后再建立目标函数求最值.此题中用基本不等式求最值时,等号成立的条件x=2.5正好在定义域(1,+∞)内,所以x=2.5时S的值就是最小值.‎ 把实际问题转化成数学模型 如图,某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池,池的深度一定,池的外圈周壁建造单价为每米400元,中间有一条隔开污水处理池的壁,其建造单价为每米100元,池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计).问:污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低.‎ ‎【方法指导】根据题意建立总造价函数,利用基本不等式求出函数的最大值.‎ ‎【解析】设污水处理池的长为x米,则宽为米.‎ 总造价f(x)=400×(2x+2×)+100×+60×200=800×(x+)+12000‎ ‎≥1600+12000‎ ‎=36000(元),‎ 当且仅当x=(x>0),即x=15时等号成立.‎ ‎【小结】实际应用题的解题步骤一般分为两步:第一步将实际问题转化为数学问题;第二步求最值,最值问题的求解一般有基本不等式法和导数法,应用基本不等式求最值时一定要注意检验条件是否具备.‎ ‎(1)已知x>0且x≠1,求lg x+logx10的取值范围.‎ ‎(2)已知x≥,求f(x)=的最大值.‎ ‎【解析】(1)当x>1时,lg x>0,logx10=>0,‎ 于是lg x+logx10≥2=2,‎ 当且仅当lg x=logx10,即x=10时,等号成立,‎ ‎∴lg x+logx10(x>1)的最小值是2,此时x=10.‎ 当00,∴x-2+≥2,‎ ‎∴原式≤=1,故其最大值为1.‎ 某公司一年需要一种计算机元件8000个,每天需同样多的元件用于组装整机,该元件每年分n次进货,每次购买元件的数量均为x,购一次货需手续费500元,已购进而未使用的元件要付库存费,假设平均库存量为x个,每个元件的库存费为每年2元,如果不计其他费用,请你帮公司计算,每年进货几次花费最小?‎ ‎【解析】设每年进货n次,购进8000个元件的总费用为y,‎ 一年总库存费用为2×x=x=,‎ 手续费为500n.‎ 所以y=+500n=500(+n)≥4000,‎ 当且仅当=n,即n=4时等号成立.‎ 所以每年进货4次花费最小.‎ 某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂,第一年共支出12万元,以后每年支出增加4万元,从第一年起每年蔬菜销售收入50万元.设f(n)表示前n年的纯利润总和(f(n)=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额).‎ ‎(1)该厂从第几年开始盈利?‎ ‎(2)若干年后,投资商为开发新项目,对该厂有两种处理方案:①年平均纯利润达到最大时,以48万元出售该厂;②纯利润总和达到最大时,以16万元出售该厂,问哪种方案更合算?‎ ‎【解析】由题意知f(n)=50n-[12n+×4]-72‎ ‎=-2n2+40n-72.‎ ‎(1)由f(n)>0,即-2n2+40n-72>0,解得20,则y=3-3x-的最大值为(　　).‎ A.3 B.3-3‎ C.3-2 D.-1‎ ‎【解析】∵x>0,∴3x+≥2=2,‎ ‎∴y=3-3x-≤3-2,‎ 当且仅当3x=,即x=时等号成立.‎ ‎【答案】C ‎3.已知正数x,y满足+=1,则x+2y的最小值为　　　　. ‎ ‎【解析】x+2y=(x+2y)(+)=10++≥10+2=18.‎ 当且仅当y=,且+=1,即x=12,y=3时取最小值.‎ ‎【答案】18‎ ‎4.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为4800立方米,深为3米,如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元?‎ ‎【解析】设水池底面一边的长度为x米,水池的总造价为l元,根据题意可得 l=×150+2×(3x+3×)×120‎ ‎=240000+720(x+)≥240000+720×2=240000+720×2×40=297600,‎ 当x=,即x=40时,l有最小值297600.‎ 因此当水池的底面是边长为40米的正方形时,水池的总造价最低,最低总造价是297600元.‎ ‎　　(2013年·陕西卷)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为　　　　(m). ‎ ‎【解析】设矩形另一边长为y,根据上、下两个三角形相似可得=,∴y=40-x,∴矩形面积S=xy=x(40-x)≤()2=400,当且仅当x=40-x,即x=20时,矩形的面积最大.‎ ‎【答案】20‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎1.某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(00,3y>0,所以3x+3y≥2=2=2=18,当且仅当x=y=2.5时取等号.‎ ‎【答案】D ‎3.若00.‎ ‎∴-y=(-lg x)+(-)≥2=4,即y≤-4.‎ 当且仅当-lg x=-,即x=时等号成立,‎ 故ymax=-4.‎ ‎【答案】-4‎ ‎4.求函数y=的最小值.‎ ‎【解析】y==(x2+1)++1≥2+1=3,当且仅当x2+1=,即x2+1=1,即x=0时,等号成立.‎ 所以当x=0时,原函数取得最小值3.‎ ‎5.若x>4,则函数y=x+(　　).‎ A.有最小值-6 B.有最小值6‎ C.有最大值-2 D.有最小值2‎ ‎【解析】∵x>4,∴x-4>0,∴y=x-4++4≥‎ ‎2+4=6.‎ 当且仅当x-4=,即x-4=1,x=5时,取等号.‎ ‎【答案】B ‎6.函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny-1=0(mn>0)上,则+的最小值为(　　).‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎【解析】函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A(1,1).‎ ‎∴m+n-1=0,即m+n=1.‎ 又mn>0,∴+=(+)·(m+n)=2+(+)≥2+2=4,‎ 当且仅当m=n=时,等号成立.‎ ‎【答案】C ‎7.设a>0,b>0,若是3a与3b的等比中项,则+的最小值为　　　　. ‎ ‎【解析】∵是3a与3b的等比中项,∴()2=3a·3b,即3=3a+b,∴a+b=1.此时,+=+=2+(+)≥2+2=4(当且仅当a=b=时,取等号).‎ ‎【答案】4‎ ‎8.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求 ‎(1)xy的最小值;(2)x+y的最小值.‎ ‎【解析】(1)由2x+8y-xy=0,得+=1,‎ 又x>0,y>0,则1=+≥2=,‎ 得xy≥64,当且仅当x=4y,即x=16,y=4时等号成立.‎ 故xy的最小值为64.‎ ‎(2)(法一)由2x+8y-xy=0,得x=,‎ ‎∵x>0,∴y>2,‎ 则x+y=y+=(y-2)++10≥18,‎ 当且仅当y-2=,即y=6,x=12时等号成立.‎ ‎(法二)由2x+8y-xy=0,得+=1,‎ 则x+y=(+)·(x+y)=10++≥10+2=18.‎ 当且仅当=,即x=12,y=6时等号成立.‎ ‎9.2008年的四川大地震震惊了整个世界,四面八方都来支援.从某地出发的一批救灾物资随17列火车以v千米/小时速度匀速直达400千米以外的灾区,为了安全起见,两辆火车的间距不得小于()2千米,问这批物资全部运送到灾区最少需　　　　小时. ‎ ‎【解析】设物资全部运到灾区所需时间为t,则t==+≥8,当且仅当=,即v=100时,等号成立,∴tmin=8.故这批物资全部运送到灾区最少需要8小时.‎ ‎【答案】8‎ ‎10.已知正常数a、b和正实数x、y,满足a+b=10,+=1,x+y的最小值为18,求a,b的值.‎ ‎【解析】x+y=(x+y)·1=(x+y)·(+)‎ ‎=a+b++≥a+b+2=(+)2,‎ 等号在=,即=时成立,‎ ‎∴x+y的最小值为(+)2=18.‎ 又a+b=10,∴ab=16.‎ ‎∴a,b是方程x2-10x+16=0的两根,‎ ‎∴a=2,b=8或a=8,b=2.‎ 第三章章末小结 ‎　　1.一元二次不等式的解法 设a>0,x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根,且x10.‎ 若Δ=b2-4ac>0,则其解集为　{x|x>x2或x0,则其解集为 　;若Δ=b2-4ac≤0,则其解集为　⌀　. ‎ 若a<0,则先将a转化为正数,再用上述规律求解.‎ ‎2.线性规划 ‎(1)在直角坐标系中,二元一次不等式Ax+By+C>0表示Ax+By+C=0某侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线,表示区域不包括边界.‎ 而不等式Ax+By+C≥0表示区域时则包括边界,把边界画成实线.‎ ‎(2)画二元一次不等式表示的平面区域常采用“　直线定界,特殊点定域　”的方法,特别地,当C≠0时,常把　原点(0,0)　作为测试点. ‎ ‎(3)在求z=ax+by的最值时,一定要注意线性目标函数z=ax+by中b的符号,若b>0,当直线过可行域且在y轴上的截距最大时,z值最大,在y轴上的截距最小时,z值最小;若b<0,当直线过可行域且在y轴上的截距最小时,z值最大,在y轴上的截距最大时,z值最小.‎ ‎(4)求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的格式与步骤:‎ ‎①寻找线性约束条件,线性目标函数;‎ ‎②画出二元一次不等式(组)表示的平面区域,即作出可行域;‎ ‎③在可行域内求目标函数的最优解.‎ ‎3.基本不等式 ‎(1)两个重要不等式 如果a,b∈R,那么　a2+b2≥2ab　(当且仅当a=b时取等号); ‎ 如果a,b∈(0,+∞),那么 ≥　(当且仅当a=b时取等号). ‎ ‎(2)两个重要不等式的常见变形 ‎①a2+b2　≥ ; ‎ ‎②ab　≤ ; ‎ ‎③ab　≤　()2; ‎ ‎④()2　≤ ; ‎ ‎⑤+　≥　2(a,b同号); ‎ ‎⑥　≥ 　≥ 　≥ (a,b>0). ‎ ‎(3)两个重要的结论 ‎①x,y∈(0,+∞),且xy=P(定值),那么当x=y时,x+y有最　小　值　2　; ‎ ‎②x,y∈(0,+∞),且x+y=S(定值),那么当x=y时,xy有最　大　值 　. ‎ 在利用基本不等式求最值时,一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件,即每项都是正值,和或积是定值,所有的等号能同时取得.而二定这个条件是对不等式进行巧妙拆分、组合、添加系数等使之变成可用基本不等式的形式的关键.三相等,指等号成立时的参数取值存在,若不存在,则此时无最值;倘若要多次用基本不等式求最值,必须保证多次取等号的一致性.‎ ‎4.不等式的综合问题 ‎(1)不等式恒成立问题 ‎①判别式法:ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立⇔ 　,ax2+bx+c≤0(a≠0)恒成立⇔ 　. ‎ ‎②转化法:f(x)>0恒成立⇔　f(x)min>0　; ‎ f(x)<0恒成立⇔　f(x)max<0　. ‎ ‎③分离参数法:f(x)-a>0恒成立(a为参数)⇔ab,则x>;②若a2x-1>a2y-1,则x>y;③若>,则vx>μy;④若a>b,c;⑤若<<0,则ab0时才成立;④如3>-2,-6<-3,但<,故不正确;⑤∵<<0,∴ab>0,∴ab·ab,故正确.故其中正确的有②⑤.‎ ‎【答案】②⑤‎ ‎【小结】本题主要考查不等式性质及应用,判断不等式是否成立,除了利用不等式知识(如比较法)进行推理外,还要善于举反例来说明命题的错误.另外,还可以用特殊值法更快捷地解决问题,本题要求学生准确掌握知识,正确解题,不要因一个小题而导致整个大题错.‎ 题型二:一元二次不等式及其解法 已知函数f(x)=则不等式x+(x+1)f(x+1)≤1的解集是(　　).‎ A.[-1,-1]‎ B.(-∞,1]‎ C.(-∞,-1]‎ D.[--1,-1]‎ ‎【方法指导】由于给出的f(x)是一个分段函数,因此,要求对f(x+1)中的x+1进行讨论,进而将所求不等式转化为不等式组来解.‎ ‎【解析】由题意得 ‎ 或 ‎ 所以或 即x<-1或-1≤x≤-1,‎ 故不等式的解集是,从而选C.‎ ‎【答案】C ‎【小结】本题以分段函数为背景,考查分类讨论思想及一元一次不等式和一元二次不等式的解法,故按x+1<0,x+1≥0的不同情况分别代入不同的解析式,将不等式转化为两个不等式组求解.本题解题关键是将不等式中f(x+1)用x表示出来,而学生在进行分类讨论时,易被卡住,要找到对参数分类讨论的原因,确定好分类标准,层次清楚地求解.‎ 题型三:线性规划问题 实数x,y满足不等式组则z=|x+2y-4|的最大值为　　　　. ‎ ‎【方法指导】目标函数中含有绝对值,可以考虑绝对值的几何意义,也可通过观察绝对值内的代数式的符号作出判断.‎ ‎【解析】(法一)作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示.z=|x+2y-4|=·,即其几何含义为阴影区域内的点到直线x+2y-4=0的距离的倍.由得B点坐标为(7,9),显然点B到直线x+2y-4=0的距离最大,此时zmax=21.‎ ‎(法二)由图可知,阴影区域内的点都在直线x+2y-4=0的上方,显然此时有x+2y-4>0,于是目标函数等价于z=x+2y-4,即转化为一般的线性规划问题.显然当直线经过点B时,目标函数取得最大值,zmax=21.‎ ‎【答案】21‎ ‎【小结】解决这类问题时需充分把握目标函数的几何含义,在几何含义的基础上加以处理,即方法一的处理方法.另外,方法二是在充分研究可行域的基础上对问题作出等价处理,针对本题,也不失为一种好方法.‎ 题型四:实际应用题 制造甲、乙两种烟花,甲种烟花每枚含A药品3 g、B药品4 g、C药品4 g,乙种烟花每枚含A药品2 g、B药品11 g、C药品6 g.已知每天原料的使用限额为A药品120 g、B药品400 g、C药品240 g.甲种烟花每枚可获利2元,乙种烟花每枚可获利1元,问每天应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大?‎ ‎【方法指导】根据题意,设出未知数,理清变量间的关系,进而可得到线性约束条件,列出目标函数求解.‎ ‎【解析】设每天生产甲种烟花x枚,乙种烟花y枚,获利为z元,则 ‎　‎ 作出可行域如图所示.‎ 目标函数为:z=2x+y.‎ 作直线l:2x+y=0,将直线l向右上方平移至l1的位置时,直线经过可行域上的点A且与原点的距离最大.此时z=2x+y取最大值.解方程组得 答:每天生产甲种烟花24枚、乙种烟花24枚,能使利润总额达到最大.‎ ‎【小结】本题是线性规划的实际应用问题,关键是要通过审题理解题意,找出各量之间的关系,最好是列成表格,找出线性约束条件,写出所研究的目标函数,通过数形结合解答问题.考纲要求“会从实际情景中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并加以解决”,这是考纲对实际能力考查的要求,所以应熟练掌握实际问题中线性规划问题的解法.其一般步骤是:①分析题意设出未知量;②列出线性约束条件;③利用数形结合进行求解;④作答.‎ 题型五::基本不等式及其应用 设a>b>c>0,则2a2++-10ac+25c2的最小值是(　　).‎ A.2　　　　B.4　　　　C.2　　　　D.5‎ ‎【方法指导】对代数式2a2++-10ac+25c2进行化简,配凑为可利用基本不等式的形式.‎ ‎【解析】2a2++-10ac+25c2‎ ‎=(a-5c)2+a2-ab+ab++‎ ‎=(a-5c)2+ab++a(a-b)+≥0+2+2=4,‎ 当且仅当a-5c=0,ab=1,a(a-b)=1,即a=2b=5c=时等号成立,此时2a2++-10ac+25c2取到最小值4.‎ ‎【答案】B ‎【小结】本题的解题关键是对代数式2a2++-10ac+25c2进行化简,观察代数式可知,其中有两个分式和,而代数式中没有出现ab与a(a-b)的形式,需根据已知条件配凑出来,题目的解答有一定的难度.‎ 题型六::不等式恒成立问题 已知f(x)=x2-2ax+2,当x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a恒成立,求a的取值范围.‎ ‎【方法指导】要使f(x)≥a恒成立,易知只需a≤f(x)min即可,这样就将题目转化为求f(x)最值的问题,显然这里要讨论对称轴x=a与区间[-1,+∞)的关系.‎ ‎【解析】f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函数图象的对称轴为x=a,‎ ‎①当a∈(-∞,-1)时,结合图象知,f(x)在[-1,+∞)上单调递增,f(x)min=f(-1)=2a+3.‎ 要使f(x)≥a恒成立,只需f(x)min≥a,‎ 即2a+3≥a,解得-3≤a<-1.‎ ‎②当a∈[-1,+∞)时,f(x)min=f(a)=2-a2,‎ 由2-a2≥a,解得-1≤a≤1.‎ 综上所述,所求a的取值范围为[-3,1].‎ ‎【小结】解不等式的恒成立问题,通常是利用转化的思想,借助函数方程思想及函数图象,求得函数的最值,然后变成解不等式问题,即若x∈[a,b]时,f(x)≥c恒成立,只要求得在[a,b]上f(x)的最小值f(x)min.解不等式f(x)min≥c即可;‎ 若x∈[a,b]时,f(x)≤c恒成立,只要求得在[a,b]上f(x)的最大值f(x)max,解不等式f(x)max≤c即可.对这类问题的解题方法不熟是解题的障碍点.‎ ‎1.(2013年·北京卷)设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0,y0),满足x0-2y0=2.求得m的取值范围是(　　).‎ A.(-∞,) B.(-∞,)‎ C.(-∞,-) D.(-∞,-)‎ ‎【解析】‎ 如图,要使可行域存在,必有m<1-2m,因为可行域上存在y=x-1直线上的点,所以需要边界点(-m,1-2m)在直线y=x-1上方,(-m,m)在直线y=x-1下方即可.综合以上几条只需要满足解得m<-,故选C.‎ ‎　　【答案】C ‎2.(2013年·山东卷)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当取得最大值时,+-的最大值为(　　).‎ A.0 B.1 C. D.3‎ ‎【解析】由x2-3xy+4y2-z=0可得z=x2-3xy+4y2,‎ 故==≤=1,当且仅当=即x=2y时等号成立,这时z=x2-3xy+4y2=2y2.‎ 故+-=-+=-(-1)2+1,因此当y=1时,(+-)max=1.‎ ‎【答案】B 一、选择题 ‎1.设方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2,且x10的解集是(　　).‎ A.{x|xx2}‎ C.{x|xx2}‎ D.{x|x10,bc-ad>0,则->0;‎ ‎(2)若ab>0,->0,则bc-ad>0;‎ ‎(3)若bc-ad>0,->0,则ab>0.‎ 其中正确命题的个数是(　　).‎ A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3‎ ‎【解析】->0⇔>0,故(1)(2)(3)都正确.‎ ‎【答案】D ‎3.已知a>0,b>0,且a+b≤4,则有(　　).‎ A.≥ B.+≥1‎ C.≥2 D.≤‎ ‎【解析】∵4≥a+b≥2,∴≤2,ab≤4,≥,故A、C皆错.又∵a+b≤4,可取a=b=1,验证D错,故选B.‎ ‎【答案】B　‎ ‎4.如果函数y=ax2+bx+a的图象与x轴有两个交点,则点(a,b)在aOb平面上的区域(不含边界)为(　　).‎ ‎【解析】由题意知Δ=b2-4a2>0,∴(b-2a)(b+2a)>0,∴或画图知选C.‎ ‎【答案】C ‎5.若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取最小值,则a等于(　　).‎ A.1+ B.1+‎ C.3 D.4‎ ‎【解析】∵x>2,∴x-2>0,则f(x)=x+=(x-2)++2≥2+2=4,‎ 当且仅当x-2=,即x=3时取等号.‎ 即当f(x)取得最小值时,x=3,即a=3.‎ ‎【答案】C ‎6.二元一次不等式组所表示的平面区域的面积是(　　).‎ A.2 B.4 C.6 D.8‎ ‎【解析】不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分.‎ ‎∵点A(2,3),点B(2,1),∴可求得阴影部分的面积为S=×4×2=4,故选B.‎ ‎【答案】B ‎7.设函数f(x)=(x<0),则f(x)(　　).‎ A.有最大值 B.有最小值 C.是增函数 D.是减函数 ‎【解析】∵x<0,∴f(x)=2x+-1=-[(-2x)+]-1≤-2-1,故f(x)有最大值.‎ 当且仅当-2x=,即x=-时取得最大值.‎ ‎【答案】A　‎ ‎8.在满足面积和周长的数值相等的所有直角三角形中,面积的最小值为(　　).‎ A.(-1)2 B.2(+1)2‎ C.3(-1)2 D.4(+1)2‎ ‎【解析】设两直角边为a、b,则 ab=a+b+,‎ ‎∴ab≥2+,‎ ‎∴≥4+2,‎ ‎∴ab≥4(+1)2.‎ ‎【答案】D ‎9.设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(1)=0,则不等式<0的解集为(　　).‎ A.(-1,0)∪(1,+∞)‎ B.(-∞,-1)∪(0,1)‎ C.(-∞,-1)∪(1,+∞)‎ D.(-1,0)∪(0,1)‎ ‎【解析】因为f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,f(1)=0,‎ 故f(x)在(-∞,0)上也是增函数,且f(-1)=0,根据题意构造如图函数图象.‎ ‎∴<0⇔<0⇔或解得-10的解集为集合A,关于x的不等式x2+(2a-3)x+a2-3a+2<0的解集为集合B.若A⊇B,则实数a的取值范围为(　　).‎ A.(-∞,-1] B.(-2,-1)‎ C.[-2,-1] D.[-2,+∞)‎ ‎【解析】由题意,得集合A={x|>0}={x|20,c>0,则的取值范围是　　　　. ‎ ‎【解析】因为不等式ax2+bx+c≥0恒成立时,a>0且Δ=b2-4ac≤0,即ac≥,所以≥≥=1,所以的取值范围是[1,+∞).‎ ‎【答案】[1,+∞)‎ ‎14.已知实数x,y满足则目标函数z=x-2y的最小值是　　　　. ‎ ‎【解析】画出满足不等式组的可行域,如图,目标函数化为:y=x-z,画直线y=x及其平行线,当此直线经过点A时,-z的值最大,z的值最小,因为A点坐标为(3,6),所以z的最小值为:3-2×6=-9.‎ ‎【答案】-9‎ ‎15.对任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a的取值范围是　　　　. ‎ ‎【解析】∵(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,‎ ‎①当a=2时,-4<0恒成立;‎ ‎②当a≠2时,可得得-20,∴a1b1+a2b2>a1b2+a2b1.‎ ‎【答案】a1b1+a2b2>a1b2+a2b1‎ 三、解答题 ‎17.已知x>y>0,且xy=1,求证:≥2.‎ ‎【解析】∵x>y>0,∴x-y>0,‎ ‎∴===(x-y)+≥2=2.‎ 当且仅当即时取等号.‎ ‎18.记关于x的不等式≤0的解集为P,不等式x(x-2)≤0的解集为Q.‎ ‎(1)若a=3,求P.‎ ‎(2)若Q⊆P,求正数a的取值范围.‎ ‎【解析】(1)由≤0,得P={x|-10,得P={x|-10(a∈R).‎ ‎【解析】当a=0时,不等式的解集为{x|x<1}.‎ 当a≠0时,不等式化为a(x-)(x-1)>0,‎ 则有当a<0时,解集为{x|};‎ 当a=1时,解集为{x|x≠1,x∈R};‎ 当a>1时,解集为{x|x<或x>1}.‎ ‎20.解不等式(x+1)2≥ax+1.‎ ‎【解析】(x+1)2≥ax+1,即x2+2x+1≥ax+1,即x[x-(a-2)]≥0.‎ 当a-2<0,即a<2时,原不等式的解集是{x|x≥0或x≤a-2};‎ 当a-2=0,即a=2时,不等式x[x-(a-2)]≥0转化为x2≥0,所以原不等式的解集是R;‎ 当a-2>0,即a>2时,原不等式的解集是{x|x≤0或x≥a-2}.‎ ‎21.某投资公司计划投资A、B两种金融产品,根据市场调查与预测,A产品的利润y1与投资金额x的函数关系为y1=18-,B产品的利润y2与投资金额x的函数关系为y2=.(注:利润与投资金额单位:万元)‎ ‎(1)该公司已有100万元资金,并全部投入A、B两种产品中,其中x万元资金投入A产品中,试把A、B两种产品利润总和表示为x的函数,并写出定义域.‎ ‎(2)试问:怎样分配这100万元投资,才能使公司获得最大利润?其最大利润为多少万元?‎ ‎【解析】(1)其中x万元资金投入A产品中,则剩余的100-x(万元)资金投入B产品中,‎ 利润总和f(x)=18-+=38--(x∈[0,100]).‎ ‎(2)∵f(x)=40-(+),x∈[0,100],‎ ‎∴由基本不等式得:‎ f(x)≤40-2=28,当且仅当=时取等号,即x=20.‎ 故分别用20万元和80万元资金投资A、B两种金融产品,可以使公司获得最大利润,最大利润为28万元.‎ ‎22.某家具公司制作木质的书桌和椅子两种家具,需要木工和漆工两道工序.已知木工平均四个小时做一把椅子,八个小时做一张书桌,该公司木工每星期最多有8000个工作时;漆工平均两小时漆一把椅子,一个小时漆一张书桌,该公司漆工每星期最多有1300个工作时,又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元,根据以上条件,怎样安排生产能获得最大利润? ‎ ‎【解析】依题意设每星期生产x把椅子,y张书桌,那么利润p=15x+20y.‎ 其中x,y满足限制条件即点(x,y)的允许区域为图中阴影部分,它们的边界分别为4x+8y=8000(即AB),2x+y=1300(即BC),x=0(即OA)和y=0(即OC).‎ 对于某一个确定的p=p0满足p0=15x+20y,且点(x,y)属于阴影部分的解就是一个能获得p0元利润的生产方案.‎ 对于不同的p,p=15x+20y表示一组斜率为-的平行线,且p越大,相应的直线位置越高;p越小,相应的直线位置越低.按题意,要求p的最大值,需把直线p=15x+20y尽量地往上平移,又考虑到x,y的允许范围,当直线通过B点时,处在这组平行线的最高位置,此时p取最大值.‎ 由得B(200,900),即当x=200,y=900时,p取最大值,‎ 即pmax=15×200+20×900=21000,‎ 即生产200把椅子,900张书桌可获得最大利润21000元.‎ 必修5模块测试评估卷 一、选择题 ‎1.设a　　　　　　　　B.>‎ C.|a|>-b D.>‎ ‎【解析】取a=-2,b=-1,经验证知,D错误.‎ ‎【答案】D ‎2.如果将直角三角形三边增加相同的长度,则新三角形一定是(　　).‎ A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.根据增加的长度确定三角形的形状 ‎【解析】设直角三角形的三边长分别为a,b,c,则a2+b2=c2,设增加相同的长度x(x>0),则(a+x)2+(b+x)2-(c+x)2=x2+2x(a+b-c)>0,故新三角形一定是锐角三角形.‎ ‎【答案】A ‎3.若loga(a2+1)1,‎ ‎∴0,b>0,若不等式+≥恒成立,则m的最大值等于(　　).‎ A.10 B.9 C.8 D.7‎ ‎【解析】∵a>0,b>0,故+≥恒成立等价于(+)(2a+b)≥m恒成立,又∵(+)(2a+b)=5++≥5+2=9,当且仅当=,即a=b时取等号,‎ ‎∴m≤9,故m的最大值是9.‎ ‎【答案】B ‎12.实数x,y满足若3x+5y≤a恒成立,则a的最小值为(　　).‎ A.17 B.-17 C.11 D.-11‎ ‎【解析】3x+5y≤a恒成立⇔a≥(3x+5y)max.由不等式组表示的可行域(图略),得3x+5y在点A(,)时取得最大值17,所以a≥17,故a的最小值为17,选A.‎ ‎【答案】A 二、填空题 ‎13.△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,则角A=　　　　. ‎ ‎【解析】由(a+b+c)(b+c-a)=3bc,得b2+c2-a2=bc,‎ ‎∴cos A==,∴A=60°.‎ ‎【答案】60°‎ ‎14.当00,∴y=x(8-2x)=2x(4-x)≤2()2=8,当且仅当x=2时取等号.‎ ‎【答案】8‎ ‎15.等比数列{an}中,a1+a2=1,a3+a4=9,那么a4+a5=　　　　. ‎ ‎【解析】∵q2==9,∴q=±3,‎ ‎∴a4+a5=(a3+a4)q=±27.‎ ‎【答案】27或-27‎ ‎16.设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x-y的取值范围是　　　　. ‎ ‎【解析】x,y满足的线性区域如下图所示.‎ 易知当z=3x-y过直线2x+y=4和4x-y=-1的交点A(,3)时,zmin=-;过2x+y=4和x+2y=2的交点B(2,0)时,zmax=6.‎ ‎【答案】[-,6]‎ 三、解答题 ‎17.已知不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围.‎ ‎【解析】若m2+4m-5=0,得m=1或m=-5.‎ 当m=1时,不等式化为3>0,‎ 对一切实数x恒成立,‎ 当m=-5时,不等式化为24x+3>0不满足题意.‎ 当m2+4m-5>0时,‎ Δ=[-4(m-1)]2-4×3(m2+4m-5)‎ ‎=4m2-80m+76<0,‎ 解不等式组得10,此时x+y=8;‎ 因为x∈N,y∈N,经调整:x+y=7,取x=2,y=5,‎ 此时(2,5)在可行域内,且使x∈N,y∈N,x+y=7.‎ 所以截500 mm的2根,600 mm的5根最合理.‎ ‎22.已知{an}是等差数列,其前n项和为Sn,{bn}是等比数列,且a1=b1=2,a4+b4=27,S4-b4=10.‎ ‎(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;‎ ‎(2)记Tn=anb1+an-1b2+…+a1bn,n∈N*,证明:Tn+12=-2an+10bn(n∈N*).‎ ‎【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.‎ 由a1=b1=2,得a4=2+3d,b4=2q3,S4=8+6d,由条件,得方程组解得 所以an=3n-1,bn=2n,n∈N*.‎ ‎(2)由(1)得Tn=2an+22an-1+23an-2+…+2na1,　①‎ ‎2Tn=22an+23an-1+24an-2+…+2n+1a1,　②‎ 由②-①可得Tn=-2(3n-1)+3×22+…+3×2n+2n+2=+2n+2-6n+2=10×2n-6n-10,而-2an+10bn-12=-2(3n-1)+10×2n-12=10×2n-6n-10,‎ 故Tn+12=-2an+10bn,n∈N*.‎