2019届二轮复习直线与圆的方程的应用课件（36张）（全国通用） 36页

直线与圆的方程的应用 抗日战争时期，虎子担任我军的交通员，在一次送情报中，遇上一个鬼子兵的追捕．当虎子跑到一个大的圆形池塘边时，鬼子兵看着无路可走的虎子就猛扑上去．虎子急中生智，纵身跳到池塘里．鬼子兵不会游泳，只好盯住虎子沿塘边跟着虎子跑动，打算在虎子爬上岸时抓住他．如果鬼子兵跑动的速度是虎子游泳速度的 2.5 倍，问虎子用怎样的方法才能摆脱鬼子兵的追捕？ 通过直线与圆的方程，可以确定直线与圆、圆和圆的位置关系，对于生产、生活实践以及平面几何中与直线和圆有关的问题，我们可以建立直角坐标系，通过直线与圆的方程，将其转化为代数问题来解决 . 对此，我们必须掌握此类解决问题的基本思想和方法 . 一般地 , 已知直线 Ax+By+C=0(A,B 不同时为零 ) 和圆 (x-a) 2 +(y-b) 2 =r 2 , 则圆心 (a,b) 到此直线的距离为 dr d 与 r 的大小关系 2 个 1 个 0 个 交点个数 图形 相交 相切 相离 位置 r d r d r d 则 求圆心坐标及半径 r （配方法） 圆心到直线的距离 d （点到直线距离公式） 消去 y 几何方法 代数方法 判断直线和圆的位置关系 1. 理解直线与圆的位置关系的几何性质 . （重点） 2. 利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系 . （难点） 3. 会用“数形结合”的数学思想解决问题． 知识探究：直线与圆的方程在实际生活中的应用 一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西 70 km 处，受影响的范围是半径长为 30km 的圆形区域 . 已知港口位于台风中心正北 40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？ 轮船 港口 台风 思考 1: 解决这个问题的本质是什么？ 思考 2: 你有什么办法判断轮船航线是否经过台风圆域？ 解： 以台风中心为原点， 东西方向为 x 轴，建立 如图所示的直角坐标系， （其中，取 10 km 为单位 长度）这样，受台风影响 的圆形区域所对应的圆 Ｏ方程为 轮船航线所在直线 L 的方程为 4x+7y-28=0 问题归结为圆Ｏ与直线 L 有无公共点的问题 . . x O y 港口 . 轮船 例 1. 如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图 . 这个圆的圆拱跨度 AB=20m ，拱高 OP=4m ，建造时每间隔 4m 需要用一根支柱支撑，求支柱 A 2 P 2 的高度（精确到 0.01m ） . A B A 1 A 2 A 3 A 4 O P P 2 知识应用 分析： 建立如图所示 的直角坐标系，把实 际问题转化为数学问 题 —— 求出圆拱桥所 在的圆的方程；然后解决这个实际问题 —— 利用圆的方程求出点 P 2 的坐标，从而求线段 A 2 P 2 的长，解释实际意义 —— 圆拱形桥支柱的高 A 2 P 2 . A B A 1 A 2 A 3 A 4 O P P 2 y x 解： 建立如图所示的 直角坐标系，使圆心 在 y 轴上，设圆心的 坐标是（ 0 ， b ），圆 的半径为 r ，那么圆的方程为： x 2 ＋（ y － b ） 2 ＝ r 2 ， 点 P （ 0,4 ）， B （ 10,0 ）在圆上，所以有 A B A 1 A 2 A 3 A 4 O P P 2 y x 解得： 所以，圆的方程为： 把 的横坐标 代入 圆的方程得： 由题可知 y ＞ 0 ，解得： y≈3.86(m) 答：支柱 A 2 P 2 的高度约为 3.86 m. 思考： 不建立坐标系 , 如何解决这个问题 ? C B 作 即 得 在 中， 得 又 在 中 所以支柱 A 2 P 2 的高度约是 3.86m. 解法如下 C H B 某 次生产中，一个圆形的零件损坏了，只剩下了如图所示的一部分．现在陈 师傅 所在的车间准备重新做一个这样的零件，为了获得这个圆形零件的半径，陈 师傅 在零件上画了一条线段 AB ，并作出了 AB 的垂直平分线 MN ，而且测得 AB ＝ 8 cm ， MN ＝ 2 cm ．根据已有数据，试帮陈 师傅 求出这个零件的半径． A B N M ┐ 【 变式练习 】 解： 以 AB 中点 M 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由已知有 A ( － 4 ， 0 ) ， B ( 4 ， 0 ) ， N ( 0 ， 2 ) ． 设过 A ， B ， N 的圆的方程为 x 2 ＋ y 2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 ， 代入 A ， B ， N 的坐标，可得 解得 A B N M ┐ x y 因此所求圆的方程为 x 2 ＋ y 2 ＋ 6y － 16 ＝ 0 ， 化为标准方程是 x 2 ＋ (y ＋ 3) 2 ＝ 5 2 ， 所 以 这个零件的半径为 5 cm ． A B N M ┐ x y 例 2 ．已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直， 求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的 一半 . 探究 : 解决 平面几何问题常利用“坐标法”，首先要考虑的问题是建立适当的直角坐标系，关键是如何选取坐标系？ x y O 如图所示 探究： 如图所示，设四边形的四个顶点分别为 A(a ， 0) ， B(0 ， b) ， C(c ， 0) ， D(0 ， d) ，那么 BC 边的长为多少？ y A B C D M x O E 探究： 四边形 ABCD 的外接圆圆心 O′ 的坐标如何表示？ O' A B C D x y O E N M 过四边形外接圆的圆心 O′ 分别作 AC 、 BD 、 AD 的垂线，垂足为 M 、 N 、 E ，则 M 、 N 、 E 分别为 AC 、 BD 、 AD 的中点，由中点坐标公式，有： 证明： 以四边形 ABCD 互相垂直的对角线 CA 、 BD 所在直线分别为 x 轴、 y 轴，建立如图所示的直角坐标系，设 A （ a ， 0 ）， B （ 0 ， b ）， C （ c ， 0 ）， D （ 0 ， d ），过四边形外接圆的圆心 分别作 AC 、 BD 、 AD 的垂线，垂足为 M 、 N 、 E ，则 M 、 N 、 E 分别为 AC 、 BD 、 AD 的中点， 第一步 : 建立坐标系，用坐标表示有关的量 . O' A B C D x y O E N M 由中点坐标公式，有： 第二步 : 进行有关代数运算 由两点间的距离公式，有： 所以 即圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半 . 第三步 : 把代数运算结果翻译成几何关系 . 利用“坐标法”解决平面问题的“三步曲”： 第一步： 建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问 题 中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题． 第二步： 通过代数运算，解决代数问题． 第三步： 把代数运算结果“翻译”成几何结论． 【 提升总结 】 【 变式练习 】 1. 直线y=kx+3与圆（x-3） 2 +（y-2） 2 =4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取范围是 （　　） A. B. C. D. A 2. 若⊙ O 1 ： x 2 +y 2 =5 与⊙ O 2 ：（ x-5 ） 2 +y 2 =20 （ m∈R ） 相交于 A 、 B 两点，且两圆在点 A 处的切线互相垂直， 则线段 AB 的长度是（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 D 解： 选 D. 由题意作出图形 分析得：由圆的几何性质 两圆在点 A 处的切线互相垂 直，且过对方圆心 C 2 ,C 1 ． 则在 Rt△C 2 AC 1 中， |C 1 A|= ， |C 2 A |= ， 斜边上的高为半弦， 用等积法易得 ： ⇒ 分析： 从圆与圆的位置关系、点到直线的距离以及 直线与圆的位置关系角度处理 . 1. 用坐标法解决几何问题的步骤： 第一步：建立适当的平面直角坐标系 , 用坐标和方程表示问题中的几何元素 , 将平面几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算 , 解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论 . 2. 对于直线和圆 , 熟记各种定义、基本公式、法则 固然重要 , 但要做到迅速、准确地解题 , 还必须掌握一些方法和技巧 .