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  • 2021-06-16 发布

【数学】2018届一轮复习人教A版第十章计数原理、概率第2讲排列与组合学案

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第2讲 排列与组合 最新考纲 1.理解排列、组合的概念;2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式;3.能解决简单的实际问题.‎ 知 识 梳 理 ‎1.排列与组合的概念 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素 按照一定的顺序排成一列 组合 合成一组 ‎2.排列数与组合数 ‎(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.‎ ‎(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.‎ ‎3.排列数、组合数的公式及性质 公式 ‎(1)A=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)= ‎(2)C== ‎=(n,m∈N*,且m≤n).特别地C=1‎ 性质 ‎(1)0!=1;A=n!‎ ‎(2)C=C;C=C+C 诊 断 自 测 ‎1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.(  )‎ ‎(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.(  )‎ ‎(3)若组合式C=C,则x=m成立.(  )‎ ‎(4)kC=nC.(  )‎ 解析 元素相同但顺序不同的排列是不同的排列,故(1)不正确;若C=C,则x=m或n-m,故(3)不正确.‎ 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√‎ ‎2.从4本不同的课外读物中,买3本送给3名同学,每人各1本,则不同的送法种数是(  )‎ A.12 B‎.24 ‎ C.64 D.81‎ 解析 4本不同的课外读物选3本分给3位同学,每人一本,则不同的分配方法为A=24.‎ 答案 B ‎3.(选修2-3P‎28A17改编)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动,则男女生都有的选法种数是(  )‎ A.18 B‎.24 ‎ C.30 D.36‎ 解析 法一 选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有CC=18种,选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有CC=12种,故3名学生中男女生都有的选法有CC+CC=30种.‎ 法二 从7名同学中任选3名的方法数,再除去所选3名同学全是男生或全是女生的方法数,即C-C-C=30.‎ 答案 C ‎4.(2017·浙江三市十二校联考)用1,2,3,4,5,6这六个数字组成没有重复数字的六位数共有________个;其中1,3,5三个数字互不相邻的六位数有________个.‎ 解析 用1,2,3,4,5,6组成没有重复数字六位数共有A=720个;将1,3,5三个数字插入到2,4,6三个数字排列后所形成的4个空中的3个,故有AA=144个.‎ 答案 720 144‎ ‎5.用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________(用数字作答).‎ 解析 末位数字排法有A,其他位置排法有A种,共有AA=48种.‎ 答案 48‎ ‎6.(2017·绍兴调研)某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为________(用数字作答).‎ 解析 法一 (直接法)甲、乙两人均入选,有CC种.‎ 甲、乙两人只有1人入选,有CC种方法,‎ ‎∴由分类加法计数原理,共有CC+CC=49(种)选法.‎ 法二 (间接法)从9人中选3人有C种方法.‎ 其中甲、乙均不入选有C种方法,‎ ‎∴满足条件的选排方法是C-C=84-35=49(种).‎ 答案 49‎ 考点一 排列问题 ‎【例1】 (2017·河南校级月考)3名女生和5名男生排成一排.‎ ‎(1)如果女生全排在一起,有多少种不同排法?‎ ‎(2)如果女生都不相邻,有多少种排法?‎ ‎(3)如果女生不站两端,有多少种排法?‎ ‎(4)其中甲必须排在乙前面(可不邻),有多少种排法?‎ ‎(5)其中甲不站最左边,乙不站最右边,有多少种排法?‎ 解 (1)(捆绑法)由于女生排在一起,可把她们看成一个整体,这样同五个男生合在一起有6个元素,排成一排有A种排法,而其中每一种排法中,三个女生间又有A种排法,因此共有A·A=4 320(种)不同排法.‎ ‎(2)(插空法)先排5个男生,有A种排法,这5个男生之间和两端有6个位置,从中选取3个位置排女生,有A种排法,因此共有A·A=14 400(种)不同排法.‎ ‎(3)法一 (位置分析法) 因为两端不排女生,只能从5个男生中选2人,有A种排法,剩余的位置没有特殊要求,有A种排法,因此共有A·A=14 400(种)不同排法.‎ 法二 (元素分析法) 从中间6个位置选3个安排女生,有A种排法,其余位置无限制,有A种排法,因此共有A·A=14 400(种)不同排法.‎ ‎(4)8名学生的所有排列共A种,其中甲在乙前面与乙在甲前面的各占其中,∴符合要求的排法种数为A=20 160(种).‎ ‎(5)甲、乙为特殊元素,左、右两边为特殊位置.‎ 法一 (特殊元素法)甲在最右边时,其他的可全排,有A种;‎ 甲不在最右边时,可从余下6个位置中任选一个,有A种;‎ 而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上,有A种;‎ 其余人6个人进行全排列,有A种.共有A·A·A种.‎ 由分类加法计数原理,共有A+A·A·A=30 960(种).‎ 法二 (特殊位置法)先排最左边,除去甲外,有A种,余下7个位置全排,有A种,但应剔除乙在最右边时的排法A·A种,因此共有A·A-A·A=30 960(种).‎ 法三 (间接法)8个人全排,共A种,其中,不合条件的有甲在最左边时,有A种,乙在最右边时,有A种,其中都包含了甲在最左边,同时乙在最右边的情形,有A种.因此共有A-‎2A+A=30 960(种).‎ 规律方法 (1)对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分析法、元素分析法,在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法.‎ ‎(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.‎ ‎【训练1】 (1)(2017·新余二模)7人站成两排队列,前排3人,后排4人,现将甲、乙、丙三人加入队列,前排加一人,后排加两人,其他人保持相对位置不变,‎ 则不同的加入方法种数为(  )‎ A.120 B‎.240 ‎ C.360 D.480‎ ‎(2)(2017·抚顺模拟)某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言,要求甲乙两人至少有一人参加,那么不同的发言顺序有(  )‎ A.30 B‎.600 ‎ C.720 D.840‎ 解析 (1)第一步,从甲、乙、丙三人选一个加到前排,有3种,第二步,前排3人形成了4个空,任选一个空加一人,有4种,第三步,后排4人形成了5个空,任选一个空加一人有5种,此时形成6个空,任选一个空加一人,有6种,根据分步计数原理有3×4×5×6=360种方法.‎ ‎(2)若只有甲乙其中一人参加,有CCA=480种方法;若甲乙两人都参加,有CCA=240种方法,则共有480+240=720种方法,故选C.‎ 答案 (1)C (2)C 考点二 组合问题 ‎【例2】 某市工商局对35种商品进行抽样检查,已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.‎ ‎(1)其中某一种假货必须在内,不同的取法有多少种?‎ ‎(2)其中某一种假货不能在内,不同的取法有多少种?‎ ‎(3)恰有2种假货在内,不同的取法有多少种?‎ ‎(4)至少有2种假货在内,不同的取法有多少种?‎ ‎(5)至多有2种假货在内,不同的取法有多少种?‎ 解 (1)从余下的34种商品中,选取2种有C=561种,∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.‎ ‎(2)从34种可选商品中,选取3种,有C种或者C-C=C=5 984种.‎ ‎∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.‎ ‎(3)从20种真货中选取1件,从15种假货中选取2件有CC=2 100种.‎ ‎∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.‎ ‎(4)选取2种假货有CC种,选取3件假货有C种,共有选取方式CC+C=2 100+455=2 555种.‎ ‎∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.‎ ‎(5)选取3件的总数为C,因此共有选取方式 C-C=6 545-455=6 090种.‎ ‎∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.‎ 规律方法 组合问题常有以下两类题型变化:‎ ‎(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型;“含”,则先将这些元素取出,‎ 再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.‎ ‎(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型:解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理.‎ ‎【训练2】 (1)(2017·邯郸一模)现有6个不同的白球,4个不同的黑球,任取4个球,则至少有两个黑球的取法种数是(  )‎ A.90 B‎.115 ‎C.210 D.385‎ ‎(2)(2017·湖州市质检)若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有(  )‎ A.60种 B.63种 C.65种 D.66种 解析 (1)分三类,取2个黑球有CC=90种,取3个黑球有CC=24种,取4个黑球有C=1种,故共有90+24+1=115种取法,选B.‎ ‎(2)共有4个不同的偶数和5个不同的奇数,要使和为偶数,则4个数全为奇数,或全为偶数,或2个奇数和2个偶数,∴共有不同的取法有C+C+CC=66(种).‎ 答案 (1)B (2)D 考点三 排列、组合的综合应用 ‎【例3】 4个不同的球,4个不同的盒子,把球全部放入盒内.‎ ‎(1)恰有1个盒不放球,共有几种放法?‎ ‎(2)恰有1个盒内有2个球,共有几种放法?‎ ‎(3)恰有2个盒不放球,共有几种放法?‎ 解 (1)为保证“恰有1个盒不放球”,先从4个盒子中任意取出去一个,问题转化为“4个球,3个盒子,每个盒子都要放入球,共有几种放法?”即把4个球分成2,1,1的三组,然后再从3个盒子中选1个放2个球,其余2个球放在另外2个盒子内,由分步乘法计数原理,共有CCC×A=144(种).‎ ‎(2)“恰有1个盒内有2个球”,即另外3个盒子放2个球,每个盒子至多放1个球,也即另外3个盒子中恰有一个空盒,因此,“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事,所以共有144种放法.‎ ‎(3)确定2个空盒有C种方法.‎ ‎4个球放进2个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类,第一类有序不均匀分组有CCA种方法;第二类有序均匀分组有·A种方法.故共有C(CCA+·A)=84(种).‎ 规律方法 (1)解排列组合问题常以元素(或位置)为主体,即先满足特殊元素(或位置),再考虑其他元素(或位置).对于排列组合的综合题目,一般是将符合要求的元素取出或进行分组,再对取出的元素或分好的组进行排列.‎ ‎(2)不同元素的分配问题,往往是先分组再分配.在分组时,通常有三种类型:①不均匀分组;②均匀分组;③部分均匀分组,注意各种分组类型中,不同分组方法的差异.其次对于相同元素的“分配”问题,常用的方法是采用“隔板法”.‎ ‎【训练3】 (1)某校高二年级共有6个班级,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2名,则不同的安排方案种数为(  )‎ A.AC B.AC C.AA D‎.2A ‎(2)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有________种(用数字作答).‎ 解析 (1)法一 将4人平均分成两组有C种方法,将此两组分配到6个班级中的2个班有A(种).‎ 所以不同的安排方法有CA(种).‎ 法二 先从6个班级中选2个班级有C种不同方法,然后安排学生有CC种,故有CCC=AC(种).‎ ‎(2)把8张奖券分4组有两种分法,一种是分(一等奖,无奖)、(二等奖,无奖)、(三等奖,无奖)、(无奖,无奖)四组,分给4人有A种分法;另一种是一组两个奖,一组只有一个奖,另两组无奖,共有C种分法,再分给4人有CA种分法,所以不同获奖情况种数为A+CA=24+36=60.‎ 答案 (1)B (2)60‎ ‎[思想方法]‎ ‎1.对于有附加条件的排列、组合应用题,通常从三个途径考虑 ‎(1)以元素为主考虑,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素.‎ ‎(2)以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置.‎ ‎(3)先不考虑附加条件,计算出排列数或组合数,再减去不合要求的排列数或组合数.‎ ‎2.排列、组合问题的求解方法与技巧 ‎(1)特殊元素优先安排;(2)合理分类与准确分步;(3)排列、组合混合问题先选后排;(4)相邻问题捆绑处理;(5)不相邻问题插空处理;(6)定序问题排除法处理;(7)分排问题直排处理;(8)“小集团”排列问题先整体后局部;(9)构造模型;(10)正难则反,等价条件.‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.区分一个问题属于排列问题还是组合问题,关键在于是否与顺序有关.‎ ‎2.解受条件限制的排列、组合题,通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一,避免出现重复或遗漏.‎ ‎3.解组合应用题时,应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义.‎ ‎4.对于分配问题,一般先分组,再分配,注意平均分组与不平均分组的区别,避免重复或遗漏. ‎

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