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- 2021-06-16 发布
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2019年湘南中学高二数学期中考试试卷
一、选择题(共10小题,每小题4.0分,共40分)
1.在等比数列{an}中,a2=8,a5=64,,则公比q为 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 8
【答案】A
【解析】
,选A.
2.已知数列 的前 项和,则 等于( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意得 ,即可得数列的通项公式.
【详解】当时,,
当时,由,得,
验证当时,满足上式.
故数列的通项公式.
故选:D.
【点睛】本题考查数列的求和公式和通项公式的关系,属于基础题.
3.在数列 中,,则等于( )
A. 2 013 B. 2 012
C. 2 011 D. 2 010
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等差数列的定义推知数列的首项是,公差是的等差数列,即可得到通项公式并解答.
【详解】由,得,又,
数列是首项,公差的等差数列,
等差数列的通项公式,
故.
故选:B.
【点睛】本题考查了等差数列的定义,等差数列的通项公式的应用,属于基础题.
4.如果a<b<0,那么( ).
A a-b>0 B. ac<bc C. > D. a2<b2
【答案】C
【解析】
【分析】
利用不等式的性质逐一判断即可.
详解】根据题意,由于a<b<0,则a-b<0 故A错误,
对于c=0时则不等式ac<bc不成立,故B错误
对于>符合倒数性质可知,故C成立,
对于a2<b2,a=-3,b=-2故D错误,
故答案为C.
考点:不等式的性质
点评:主要是考查了不等式的性质的运用,属于基础题.
5.不等式的解集为( )
A. 或 B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
试题分析:,,即,或.故选D.
考点:一元二次不等式的解法.
6.若关于x的不等式x2-4x-m≥0对任意x∈(0,1]恒成立,则m的最大值为( )
A. 1 B. -1 C. -3 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可得m≤x2﹣4x对一切x∈(0,1]恒成立,再根据f(x)=x2﹣4x在(0,1]上为减函数,求得f(x)的最小值,可得 m的最大值.
【详解】解:由已知可关于x的不等式x2﹣4x﹣m≥0对任意x∈(0,1]恒成立,可得m≤x2﹣4x对一切x∈(0,1]恒成立,
又f(x)=x2﹣4x在(0,1]上为减函数,
∴f(x)min=f(1)=﹣3,
∴m≤﹣3,即 m的最大值为﹣3,
故选C.
【点睛】本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值,二次函数的性质的应用,函数的恒成立问题,属于中档题.
7.直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析:由题可知:直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点,因此,故,又因为在椭圆中有,故,因此.
考点:椭圆离心率的求法
8.平面上到点距离之和为10的点的轨迹是( )
A. 椭圆 B. 圆
C. 线段 D. 轨迹不存
【答案】C
【解析】
【分析】
由点,先求出,由此能求出平面上到点距离之和为的点的轨迹.
【详解】由点,得,
平面上到点距离之和为的点的轨迹是线段.
故选:C.
【点睛】本题考查点的轨迹的求法,解题时要认真审题,注意两点间距离公式的合理运用,属于基础题.
9.设抛物线上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线的焦点的距离是 ( )
A. 6 B. 4 C. 8 D. 12
【答案】A
【解析】
试题分析:由抛物线知,点P到y轴的距离是4,那么P到抛物线准线距离为6,又由抛物线定义“到准线距离与到焦点距离相等”,所以点P到该抛物线的焦点的距离是6,故选A.
考点:本题主要考查抛物线的定义及其几何性质.
点评:简单题,涉及抛物线上的到焦点距离问题,一般要考虑应用抛物线定义“到准线距离与到焦点距离相等”.
10.下列命题中为真命题的是( )
A. 若
B. 命题:若,则或的逆否命题为:若且,则
C. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
D. 若命题,则
【答案】B
【解析】
分析:对四个命题,分别进行判断,即可得出结论.
详解:对于A,,利用基本不等式,可得,故不正确;
对于B,命题:若,则或的逆否命题为:若且,则
,正确;
对于C,“ ”是“直线与直线互相垂直”的充要条件,故不正确;
对于D,命题命题,则 ,故不正确.
故选B.
点睛:本题考查命题的真假判断与应用,考查学生分析解决问题的能力,属基础题.
二、填空题(共10小题,每小题5.0分,共50分)
11.命题“存在x∈R,使得x2+2x+5=0”的否定是
【答案】对任何x∈R,都有x2+2x+5≠0.
【解析】
【详解】因为命题“存在x∈R,使得x2+2x+5=0”是特称命题,根据特称命题的否定是全称命题,
可得命题的否定为:对任何x∈R,都有x2+2x+5≠0.
故答案为对任何x∈R,都有x2+2x+5≠0.
12.若点A(1,1),B(2,m)都在方程ax2+xy-2=0表示的曲线上,则m=____.
【答案】
【解析】
【分析】
把两点坐标代入曲线方程后再解方程组可得.
【详解】由题意,解得.
【点睛】本题考查曲线的方程与方程的曲线的概念.点在曲线即点的坐标是曲线方程的解,若点的坐标不是曲线方程的解,则该点不在曲线上.
13.已知集合,,则“”是“”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
【答案】充分不必要
【解析】
【分析】
化简集合,化简条件,判断前者能否推出后者;后者能否推出前者,利用条件的定义判断出条件.
【详解】,,
若,则,即等价于“”,
由 “”能推出“”,但“”不能推出“”,
故“”是的充分不必要条件.
故答案:充分不必要.
【点睛】本题考查绝对值不等式解法、利用充分必要条件的定义判断条件问题,属于基础题.
14.已知直线与抛物线相切,则
【答案】
【解析】
【分析】
设出切点坐标,对求导,利用切点在抛物线上,切点在切线上,导数的几何意义列方程求的值.
【详解】解:直线与抛物线相切,切点为
由已知,
则有,解得.
故答案为:
15.直线与曲线相交于两点,则直线l的倾斜角的取值范围是________________.
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据题意直线: 与曲线相交于两点,进一步判断直线的斜率和渐近线的斜率的关系求出结果.
【详解】曲线的渐近线方程为:,
由直线与曲线相交于两点,
直线的斜率或,即
又直线的斜率存在,即倾斜角,
故直线的倾斜角的取值范围是.
故答案:.
【点睛】本题考查直线与双曲线的关系,直线的斜率和渐近线的斜率的关系,属于基础题.
三、解答题(共5小题,共40分)
16.等比数列中,已知.
(1)求数列的通项公式;
(2)若分别为等差数列的第3项和第5项,求数列的通项公式.
【答案】(1);(2).
【解析】
试题分析:(1)根据求得公比利用等比数列的通项公式即可求得;(2)根据的通项公式求得即得等差数列的第项和第项,解方程组求出等差数列的首项和公差,即可得到数列的通项公式.
试题解析:(1)设的公比为, 由已知得,解得,所以
(2)由(1)得,,则,
设的公差为,则有,解得
从而.
考点:等差、等比数列的通项公式.
17.已知等差数列{an}满足a2=0,a6+a8=-10.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1);(2).
【解析】
【详解】(1)设等差数列{an}的公差为d,
由已知条件可得,
解得,
故数列{an}的通项公式为an=2-n.
(2)设数列的前n项和为Sn,
∵,
∴Sn=-
记Tn=,①
则Tn=,②
①-②得:Tn=1+,
∴Tn=-,即Tn=4-.
∴Sn=-4+
=4-4+=.
18.(1)若,求函数的最小值,并求此时 的值;
(2)已知,且+=1, 求 的最小值.
【答案】(1)4,(2)16
【解析】
【分析】
(1)由于,利用基本不等式可得,满足等号成立的条件,于是问题得解;
(2)由于,利用基本不等式可得,满足等号成立的条件,问题得解.
【详解】(1),
,当且仅当,即时取等号.
的最小值为,此时.
(2)
,当且仅当,即时取等号.
【点睛】本题考查基本不等式,关键是分析等号成立的条件,属于基础题.
19.
已知抛物线C的方程C:y2=2p x(p>0)过点A(1,-2).
(I)求抛物线C的方程,并求其准线方程;
(II)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA与l的距离等于?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
【答案】(I)抛物线C的方程为,其准线方程为(II)符合题意的直线l 存在,其方程为2x+y-1 =0.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)求抛物线标准方程,一般利用待定系数法,只需一个独立条件确定p的值:(-2)2=2p·1,所以p=2.再由抛物线方程确定其准线方程:,(Ⅱ)由题意设:,先由直线OA与的距离等于根据两条平行线距离公式得:解得,再根据直线与抛物线C有公共点确定
试题解析:解 (1)将(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p·1,
所以p=2.
故所求的抛物线C的方程为
其准线方程为.
(2)假设存在符合题意的直线,
其方程为.
由得.
因为直线与抛物线C有公共点,
所以Δ=4+8t≥0,解得.
另一方面,由直线OA到的距离
可得,解得.
因为-1∉[-,+∞),1∈[-,+∞),
所以符合题意的直线存在,其方程为.
考点:抛物线方程,直线与抛物线位置关系
【名师点睛】求抛物线的标准方程的方法及流程
(1)方法:求抛物线的标准方程常用待定系数法,因为未知数只有p,所以只需一个条件确定p值即可.
(2)流程:因为抛物线方程有四种标准形式,因此求抛物线方程时,需先定位,再定量.
提醒:求标准方程要先确定形式,必要时要进行分类讨论,标准方程有时可设为y2=mx或x2=my(m≠0).
20.已知椭圆和点,直线 经过点 且与椭圆交于两点.当 点恰好为线段 的中点时,求 的方程.
【答案】
【解析】
【分析】
运用点差法,求得直线斜率,利用点斜式即可得到直线方程.
【详解】由题意得,知点椭圆内,
设,则······① ······②
因恰为线段的中点,即,
由①②作差得,
,
直线的方程为,即.
【点睛】本题考查弦长和直线方程的求法,注意运用联立方程和点差法的运用,考查运算能力,属于中档题.