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  • 2021-06-16 发布

湖南省郴州市湘南中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

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‎2019年湘南中学高二数学期中考试试卷 一、选择题(共10小题,每小题4.0分,共40分)‎ ‎1.在等比数列{an}中,a2=8,a5=64,,则公比q为 (   )‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 8‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎ ,选A.‎ ‎2.已知数列 的前 项和,则 等于(  )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得 ,即可得数列的通项公式.‎ ‎【详解】当时,,‎ 当时,由,得,‎ 验证当时,满足上式.‎ 故数列的通项公式.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查数列的求和公式和通项公式的关系,属于基础题.‎ ‎3.在数列 中,,则等于(  )‎ A. 2 013 B. 2 012‎ C. 2 011 D. 2 010‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的定义推知数列的首项是,公差是的等差数列,即可得到通项公式并解答.‎ ‎【详解】由,得,又,‎ 数列是首项,公差的等差数列,‎ 等差数列的通项公式,‎ 故.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的定义,等差数列的通项公式的应用,属于基础题.‎ ‎4.如果a<b<0,那么( ).‎ A a-b>0 B. ac<bc C. > D. a2<b2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用不等式的性质逐一判断即可.‎ 详解】根据题意,由于a<b<0,则a-b<0 故A错误,‎ 对于c=0时则不等式ac<bc不成立,故B错误 对于>符合倒数性质可知,故C成立,‎ 对于a2<b2,a=-3,b=-2故D错误,‎ 故答案为C.‎ 考点:不等式的性质 点评:主要是考查了不等式的性质的运用,属于基础题.‎ ‎5.不等式的解集为( )‎ A. 或 B. C. D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析:,,即,或.故选D.‎ 考点:一元二次不等式的解法.‎ ‎6.若关于x的不等式x2-4x-m≥0对任意x∈(0,1]恒成立,则m的最大值为(  )‎ A. 1 B. -1 C. -3 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得m≤x2﹣4x对一切x∈(0,1]恒成立,再根据f(x)=x2﹣4x在(0,1]上为减函数,求得f(x)的最小值,可得 m的最大值.‎ ‎【详解】解:由已知可关于x的不等式x2﹣4x﹣m≥0对任意x∈(0,1]恒成立,可得m≤x2﹣4x对一切x∈(0,1]恒成立,‎ 又f(x)=x2﹣4x在(0,1]上为减函数,‎ ‎∴f(x)min=f(1)=﹣3,‎ ‎∴m≤﹣3,即 m的最大值为﹣3,‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值,二次函数的性质的应用,函数的恒成立问题,属于中档题.‎ ‎7.直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析:由题可知:直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点,因此,故,又因为在椭圆中有,故,因此.‎ 考点:椭圆离心率的求法 ‎8.平面上到点距离之和为10的点的轨迹是(  )‎ A. 椭圆 B. 圆 C. 线段 D. 轨迹不存 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由点,先求出,由此能求出平面上到点距离之和为的点的轨迹.‎ ‎【详解】由点,得,‎ 平面上到点距离之和为的点的轨迹是线段.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查点的轨迹的求法,解题时要认真审题,注意两点间距离公式的合理运用,属于基础题.‎ ‎9.设抛物线上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线的焦点的距离是 ( )‎ A. 6 B. 4 C. 8 D. 12‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析:由抛物线知,点P到y轴的距离是4,那么P到抛物线准线距离为6,又由抛物线定义“到准线距离与到焦点距离相等”,所以点P到该抛物线的焦点的距离是6,故选A.‎ 考点:本题主要考查抛物线的定义及其几何性质.‎ 点评:简单题,涉及抛物线上的到焦点距离问题,一般要考虑应用抛物线定义“到准线距离与到焦点距离相等”.‎ ‎10.下列命题中为真命题的是( )‎ A. 若 B. 命题:若,则或的逆否命题为:若且,则 C. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 D. 若命题,则 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析:对四个命题,分别进行判断,即可得出结论.‎ 详解:对于A,,利用基本不等式,可得,故不正确; 对于B,命题:若,则或的逆否命题为:若且,则 ‎,正确; 对于C,“ ”是“直线与直线互相垂直”的充要条件,故不正确; 对于D,命题命题,则 ,故不正确. 故选B.‎ 点睛:本题考查命题的真假判断与应用,考查学生分析解决问题的能力,属基础题.‎ 二、填空题(共10小题,每小题5.0分,共50分) ‎ ‎11.命题“存在x∈R,使得x2+2x+5=0”的否定是 ‎ ‎【答案】对任何x∈R,都有x2+2x+5≠0.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】因为命题“存在x∈R,使得x2+2x+5=0”是特称命题,根据特称命题的否定是全称命题,‎ 可得命题的否定为:对任何x∈R,都有x2+2x+5≠0.‎ 故答案为对任何x∈R,都有x2+2x+5≠0.‎ ‎12.若点A(1,1),B(2,m)都在方程ax2+xy-2=0表示的曲线上,则m=____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把两点坐标代入曲线方程后再解方程组可得.‎ ‎【详解】由题意,解得.‎ ‎【点睛】本题考查曲线的方程与方程的曲线的概念.点在曲线即点的坐标是曲线方程的解,若点的坐标不是曲线方程的解,则该点不在曲线上.‎ ‎13.已知集合,,则“”是“”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)‎ ‎【答案】充分不必要 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合,化简条件,判断前者能否推出后者;后者能否推出前者,利用条件的定义判断出条件.‎ ‎【详解】,,‎ 若,则,即等价于“”,‎ 由 “”能推出“”,但“”不能推出“”,‎ 故“”是的充分不必要条件.‎ 故答案:充分不必要.‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式解法、利用充分必要条件的定义判断条件问题,属于基础题.‎ ‎14.已知直线与抛物线相切,则 ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出切点坐标,对求导,利用切点在抛物线上,切点在切线上,导数的几何意义列方程求的值.‎ ‎【详解】解:直线与抛物线相切,切点为 由已知,‎ 则有,解得.‎ 故答案为:‎ ‎15.直线与曲线相交于两点,则直线l的倾斜角的取值范围是________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据题意直线: 与曲线相交于两点,进一步判断直线的斜率和渐近线的斜率的关系求出结果.‎ ‎【详解】曲线的渐近线方程为:,‎ 由直线与曲线相交于两点,‎ 直线的斜率或,即 又直线的斜率存在,即倾斜角,‎ 故直线的倾斜角的取值范围是.‎ 故答案:.‎ ‎【点睛】本题考查直线与双曲线的关系,直线的斜率和渐近线的斜率的关系,属于基础题.‎ 三、解答题(共5小题,共40分) ‎ ‎16.等比数列中,已知.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)若分别为等差数列的第3项和第5项,求数列的通项公式.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)根据求得公比利用等比数列的通项公式即可求得;(2)根据的通项公式求得即得等差数列的第项和第项,解方程组求出等差数列的首项和公差,即可得到数列的通项公式.‎ 试题解析:(1)设的公比为, 由已知得,解得,所以 ‎(2)由(1)得,,则,‎ 设的公差为,则有,解得 从而.‎ 考点:等差、等比数列的通项公式.‎ ‎17.已知等差数列{an}满足a2=0,a6+a8=-10.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)求数列的前n项和.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】(1)设等差数列{an}的公差为d,‎ 由已知条件可得,‎ 解得,‎ 故数列{an}的通项公式为an=2-n.‎ ‎(2)设数列的前n项和为Sn,‎ ‎∵,‎ ‎∴Sn=-‎ 记Tn=,①‎ 则Tn=,②‎ ‎①-②得:Tn=1+,‎ ‎∴Tn=-,即Tn=4-.‎ ‎∴Sn=-4+‎ ‎=4-4+=.‎ ‎18.(1)若,求函数的最小值,并求此时 的值;‎ ‎(2)已知,且+=1, 求 的最小值.‎ ‎【答案】(1)4,(2)16‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由于,利用基本不等式可得,满足等号成立的条件,于是问题得解;‎ ‎(2)由于,利用基本不等式可得,满足等号成立的条件,问题得解.‎ ‎【详解】(1),‎ ‎,当且仅当,即时取等号.‎ 的最小值为,此时.‎ ‎(2)‎ ‎,当且仅当,即时取等号.‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式,关键是分析等号成立的条件,属于基础题.‎ ‎19.‎ 已知抛物线C的方程C:y2=2p x(p>0)过点A(1,-2).‎ ‎(I)求抛物线C的方程,并求其准线方程;‎ ‎(II)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA与l的距离等于?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.‎ ‎【答案】(I)抛物线C的方程为,其准线方程为(II)符合题意的直线l 存在,其方程为2x+y-1 =0.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(Ⅰ)求抛物线标准方程,一般利用待定系数法,只需一个独立条件确定p的值:(-2)2=2p·1,所以p=2.再由抛物线方程确定其准线方程:,(Ⅱ)由题意设:,先由直线OA与的距离等于根据两条平行线距离公式得:解得,再根据直线与抛物线C有公共点确定 试题解析:解 (1)将(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p·1,‎ 所以p=2.‎ 故所求的抛物线C的方程为 其准线方程为.‎ ‎(2)假设存在符合题意的直线,‎ 其方程为.‎ 由得.‎ 因为直线与抛物线C有公共点,‎ 所以Δ=4+8t≥0,解得.‎ 另一方面,由直线OA到的距离 可得,解得.‎ 因为-1∉[-,+∞),1∈[-,+∞),‎ 所以符合题意的直线存在,其方程为.‎ 考点:抛物线方程,直线与抛物线位置关系 ‎【名师点睛】求抛物线的标准方程的方法及流程 ‎(1)方法:求抛物线的标准方程常用待定系数法,因为未知数只有p,所以只需一个条件确定p值即可.‎ ‎(2)流程:因为抛物线方程有四种标准形式,因此求抛物线方程时,需先定位,再定量.‎ 提醒:求标准方程要先确定形式,必要时要进行分类讨论,标准方程有时可设为y2=mx或x2=my(m≠0).‎ ‎20.已知椭圆和点,直线 经过点 且与椭圆交于两点.当 点恰好为线段 的中点时,求 的方程.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用点差法,求得直线斜率,利用点斜式即可得到直线方程.‎ ‎【详解】由题意得,知点椭圆内,‎ 设,则······① ······②‎ 因恰为线段的中点,即,‎ 由①②作差得,‎ ‎,‎ 直线的方程为,即.‎ ‎【点睛】本题考查弦长和直线方程的求法,注意运用联立方程和点差法的运用,考查运算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎

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