2018-2019学年黑龙江省双鸭山市第一中学高一下学期期中考试数学（理）试题（解析版） 12页

‎2018-2019学年黑龙江省双鸭山市第一中学高一下学期期中考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知数列满足， ，则此数列的通项等于 ( 　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得此数列是等差数列，由通项公式可得答案.‎ ‎【详解】‎ 由，可得数列是公差为的等差数列，‎ 又，所以故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的定义.理解定义，熟记公式是解题的关键.‎ ‎2．若，则下列不等式不可能成立的是 (　 　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由不等式的基本性质逐个分析即可.‎ ‎【详解】‎ 由，可得，，，，即A,B,C都成立，D不可能成立.故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等式的基本性质.由基本性质推理或特殊值验证求解.‎ ‎3．等比数列中，首项＝8，公比＝，那么它的前5项和的值等于(　 　)‎ A．15.5 B．20 C．15 D．20.75‎ ‎【答案】A ‎【解析】由等比数列的前项和公式求解即可.项数较少且数据简单，也可直接求出各项再求和.‎ ‎【详解】‎ 方法一：‎ 方法二:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的前项和.熟记公式，准确计算是解题的关键.‎ ‎4．在中，， ，，则等于(　 　)‎ A．或 B． C．或 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，先由正弦定理求，再求.‎ ‎【详解】‎ 由正弦定理，可得.‎ 由，可得，所以.故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理的应用. 已知两边及其中一边的对角，由正弦定理求另一边的对角，要注意判断解的个数.‎ ‎5．若，且，则的最小值为(　 　)‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】C ‎【解析】由展开，再利用基本不等式即可求得最小值.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以.‎ 因为，所以，.‎ 所以，当且仅当，即时等号成立.‎ 所以，即的最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由基本不等式求最值,考查了1的妙用，属于基础题.‎ ‎6．已知数列是等差数列，，则（ ）‎ A．36 B．30 C．24 D．18‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：‎ ‎【考点】等差数列性质 ‎7．在等比数列中，，则(　 　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】，求出即可，利用等比数列的性质可求.‎ ‎【详解】‎ 因为等比数列中，，所以.‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的性质.熟记性质，准确计算是解题的关键..‎ ‎8．一船以每小时15km的速度向东航行,船在处看到一个灯塔在北偏东，行驶4h后，船到达处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为（ ）‎ A．km B．km C．km D．km ‎【答案】B ‎【解析】作出示意图，在中，可由正弦定理求的长.‎ ‎【详解】‎ 作出示意图如图所示，，‎ ‎，，则. ‎ 由正弦定理，可得，则.‎ 所以这时船与灯塔的距离为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查解三角形在实际问题中的应用，考查正弦定理.解题的关键是根据题意得出相应三角形的边与角.‎ ‎9．在中，已知，如果有两组解，则的取值范围是( 　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】已知，若有两组解，则，可解得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由已知可得，则，解得.故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查已知两边及其中一边的对角，用正弦定理解三角形时解的个数的判断.‎ 若中，已知且为锐角，若，则无解；若或，则有一解；若，则有两解.‎ ‎10．已知等比数列的前项和为，且满足，则的值是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用先求出，然后计算出结果 ‎【详解】‎ 根据题意，当时，‎ 故当时，‎ 数列是等比数列 则，故 解得 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等比数列前项和的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础 ‎11．在中，，点在边上，，为垂足．若，则(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先在△ADE中,得BD＝AD＝，再解△BCD,,即得cosA的值.‎ ‎【详解】‎ 依题意得，BD＝AD＝，∠BDC＝2A.在△BCD中，，即，解得cos A＝.‎ 故答案为：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查解三角形，考查正弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎12．为等差数列的前项和，且.记，其中表示不超过的最大整数，如，则数列的前项和为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先求出等差数列的通项公式，再分析数列的各项取值，求其前 项和.‎ ‎【详解】‎ 设等差数列的公差为，则，，‎ 解得，故.‎ ‎，‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，.‎ 所以数列的前项和为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的基本问题，分组求和，解题的关键是根据新定义判断数列的哪些项的值是相同的..‎ 二、填空题 ‎13．在中，若，则是_____三角形．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：或 所以或 ‎【考点】正弦定理及三角函数基本公式 ‎14．设等差数列满足，则的前项和最大时的序号的值为____．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】先由已知条件解得，得到的通项公式.当时，有最大值，即把前面的所有正数项相加时所得最大.‎ ‎【详解】‎ 设等差数列的公差为，则 ‎ 解得则.‎ 易得当时，；当时，.‎ 所以最大时的序号的值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的基本问题，考查等差数列前项和的最值. 对于等差数列，当时，有最大值；当时，有最小值.‎ ‎15．已知，若不等式恒成立，求的最大值为____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由恒成立,可得恒成立，则的最大值就是的最小值，用基本不等式可求.‎ ‎【详解】‎ 不等式恒成立,则恒成立.‎ 因为，当且仅当时等号成立，‎ 所以，即的最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查用基本不等式求最值，不等式的恒成立问题.若恒成立，则.‎ ‎16．中，分别是角的对边，且,，则AC边上的高的最大值为___．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题以及内角和定理代入化简可得 ‎ 再由余弦定理和三角形的面积： 又 得出答案.‎ ‎【详解】‎ 由题， sinC＝（sinA+cosA）sinB，以及内角和定理代入化简可得：，在三角形中 ‎ 故 ‎ 由余弦定理： ‎ 所以三角形的面积： ‎ 又 ‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用正余弦定理解三角形，本题利用了正弦定理进行边角互化，还有余弦定理和面积公式的结合才能够解决问题，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．已知函数.‎ ‎（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；‎ ‎（2）当时，对任意，恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】(1) 利用一元二次不等式解集区间的端点就是相应方程的根求解即可.‎ ‎(2)对任意恒成立，由二次项系数小于，则.列不等式求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为的解集为，‎ 所以关于的方程的两个根为.‎ 所以，解得.‎ ‎(2)由题意得对任意恒成立，‎ 所以，‎ 解得，即的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查一元二次不等式的解集和恒成立问题,结合一元二次不等式、二次函数、一元二次方程的关系进行求解是解题的关键.‎ ‎18．如图，在四边形中，已知,，，，.‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）求的长．‎ ‎【答案】(1)；(2）.‎ ‎【解析】(1)在中，由余弦定理求.‎ ‎(2)在中，由正弦定理求.‎ ‎【详解】‎ ‎(1) 在中，，‎ 由余弦定理可得 ‎ 即，‎ 则，‎ 解得(舍去). ‎ ‎(2)在中，,‎ 又，则.‎ 由(1)得，由正弦定理得，‎ 即，解得.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由正弦定理、余弦定理解三角形,解题的关键是根据题意得出相应三角形的边与角，再选择正弦定理、余弦定理或综合运用两个定理来求解.‎ ‎19．已知数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用等差数列与等比数列的性质，易得：;(2)化简，由裂项相消法，得：.‎ 试题解析：‎ ‎（1）设数列的公差为d,由，且，，成等比数列,得 ‎ ‎, 解得d=2,或d=-1(舍去) ‎ ‎∴d=2 ， ‎ 即数列的通项公式 ‎ ‎（2）= ‎ ‎ ‎ ‎20．在中，分别是角的对边，且．‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）若，求的面积．‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）先由正弦定理将三角形的边角关系转化为角角关系，再利用两角和的正弦公式和诱导公式进行求解；（Ⅱ）先利用余弦定理求出，再利用三角形的面积公式进行求解.‎ 试题解析：（Ⅰ）由 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又所以. ‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理有 ，解得，所以 点睛：在利用余弦定理进行求解时，往往利用整体思想，可减少计算量，若本题中的 ‎.‎ ‎21．已知数列满足，.‎ ‎（1）证明是等比数列，并求的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足,为数列的前项和，求．‎ ‎【答案】(1)证明见详解，；(2).‎ ‎【解析】(1) 要证明是等比数列，只须证且.‎ ‎(2)求得的通项公式，可知应用错位相减法求和.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为，所以.‎ 由，可得，‎ 所以数列是等比数列，且首项和公比都是.‎ 所以.‎ 所以数列的通项公式为.‎ ‎(2),则.‎ 所以，‎ 则.‎ 以上两式相减得，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的基本问题，错位相减法求和.若数列满足且，‎ 分别是等差数列和等比数列，则可以用错位相减法求数列的前项和.‎ ‎22．（本题满分15分）已知数列满足=且=-（）‎ ‎（1）证明：1（）；‎ ‎（2）设数列的前项和为，证明（）.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.‎ ‎【解析】（1）首先根据递推公式可得，再由递推公式变形可知 ‎，从而得证；（2）由和得，‎ ‎，从而可得，即可得证.‎ 试题解析：（1）由题意得，，即，，由 得，由得，‎ ‎，即；（2）由题意得，‎ ‎∴①，由和得，，‎ ‎∴，因此②，由①②得 ‎.‎ ‎【考点】数列与不等式结合综合题.‎