2021届课标版高考文科数学大一轮复习课件：§9-5 抛物线及其性质（讲解部分） 28页

专题九　平面解析几何 §9.5 　抛物线及其性质 高考文数 考点一　抛物线的定义及标准方程 考点清单 考向基础 平面内到一个定点 F 和一条定直线 l ( F ∉ l )距离相等的点的轨迹叫做抛物 线.点 F 叫做抛物线的焦点,直线 l 叫做抛物线的准线,抛物线关于过焦点 F 且 与准线垂直的直线对称,这条直线叫抛物线的对称轴,简称抛物线的轴. 在抛物线中,记焦点 F 到准线 l 的距离为 p ,以抛物线的焦点 F 到准线 l 的垂线 段的中点为坐标原点,以抛物线的轴为坐标轴建立坐标系,可以得到抛物线 的四种不同形式的标准方程 y 2 = ± 2 px , x 2 = ± 2 py ,其中 p >0. 考向一　抛物线定义的应用 考向突破 例1　设圆 C 与圆 x 2 +( y -3) 2 =1外切,与直线 y =0相切,则圆 C 的圆心轨迹为   (　　) A.抛物线　    B.双曲线　    C.椭圆　    D.圆 解析　由题意知,圆 C 的圆心到点(0,3)的距离比到直线 y =0的距离大1,即圆 C 的圆心到点(0,3)的距离与到直线 y =-1的距离相等,根据抛物线的定义可 知,所求轨迹是一条抛物线.故选A. 答案    A 例2    (2019广西梧州调研,6)若抛物线 x 2 =2 py ( p >0)上一点(1, m )到其准线的 距离为   ,则抛物线的方程为   (　　) A. x 2 = y 　     B. x 2 =2 y 或 x 2 =4 y C. x 2 =4 y 　    D. x 2 = y 或 x 2 =4 y 考向二　求抛物线的标准方程 解析　由已知可得 m =   ,则   +   =   ,化简得2 p 2 -5 p +2=0,解得 p =   或 p =2, 所以抛物线方程为 x 2 = y 或 x 2 =4 y . 答案    D 考向基础 1.抛物线的几何性质 考点二　抛物线的几何性质 2.点 P ( x 0 , y 0 )和抛物线 y 2 =2 px ( p >0)的关系 (1) P 在抛物线内(含焦点区域) ⇔   <2 px 0 ; (2) P 在抛物线上 ⇔   =2 px 0 ; (3) P 在抛物线外 ⇔   >2 px 0 . 3.焦半径:抛物线上的点 P ( x 0 , y 0 )与焦点 F 的距离称作焦半径,记作 r =| PF |. (1) y 2 =2 px ( p >0), r = x 0 +   ; (2) y 2 =-2 px ( p >0), r =- x 0 +   ; (3) x 2 =2 py ( p >0), r = y 0 +   ; (4) x 2 =-2 py ( p >0), r =- y 0 +   . 考向　抛物线几何性质的应用 考向突破 例3    (2015陕西,3,5分)已知抛物线 y 2 =2 px ( p >0)的准线经过点(-1,1),则该抛 物线焦点坐标为   (　　) A.(-1,0)　    B.(1,0) C.(0,-1)　    D.(0,1) 解析　抛物线 y 2 =2 px ( p >0)的准线方程为 x =-   ,由题设知-   =-1,即   =1,所以 焦点坐标为(1,0).故选B. 答案    B 例4    (2019陕西西安陕师大附中等八校联考,15)已知 F 是抛物线 C : y =2 x 2 的 焦点,点 P ( x , y )在抛物线 C 上,且 x =1,则| PF |= 　　　     . 解析　由 y =2 x 2 ,得 x 2 =   y ,则 p =   .由 x =1得 y =2, 所以| PF |=2+   =2+   =   . 答案       考向基础 1. AB 为抛物线 y 2 =2 px ( p >0)的焦点弦, A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ). (1) x 1 x 2 =   ; (2) y 1 y 2 =- p 2 ; (3) 弦长| AB |= x 1 + x 2 + p , x 1 + x 2 ≥ 2   = p ,当且仅当 x 1 = x 2 时,弦长| AB |最短,最小 长度为2 p ; (4)弦长 | AB |=   ( α 为 AB 的倾斜角). (5)若直线 AB 的倾斜角为 θ ,且 A 位于 x 轴上方, B 位于 x 轴下方,则 | AF |=   , 考点三　直线与抛物线的位置关系 | BF |=   ; (6) S △ AOB =   (其中 θ 为直线 AB 的倾斜角); (7)   +   =   ; (8)以 AB 为直径的圆与抛物线的 准线相切 ; (9)以 AF (或 BF )为直径的圆与 y 轴相切 . 2. AB 为抛物线 y 2 =2 px ( p >0)的弦, A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ),弦中点 M ( x 0 , y 0 ),设直线 AB 的 斜率 k 存在,且 k ≠ 0. (1)弦长| AB |=| x 1 - x 2 |·   =| y 1 - y 2 |·   ; (2) k =   ; (3)直线 AB 的方程为 y - y 0 =   ( x - x 0 ); (4)弦 AB 的垂直平分线方程为 y - y 0 =-   ( x - x 0 ). 【知识拓展】 1.如图所示, AB 是抛物线 x 2 =2 py ( p >0)的过焦点的一条弦(焦点弦),分别过 A , B 作抛物线的切线,交于点 P ,连接 PF ,则有以下结论:   (1)点 P 的轨迹是一条直线,为抛物线的准线 l : y =-   ; (2)两切线互相垂直,即 PA ⊥ PB ; (3) PF ⊥ AB ; (4)点 P 的坐标为   . 2.非焦点弦性质 (1)已知直线 l 与抛物线 y 2 =2 px ( p >0)交于 A 、 B 两点,若 OA ⊥ OB ,则直线 l 过定 点(2 p ,0),反之亦成立; (2)已知 M ( x 0 , y 0 )是抛物线 y 2 =2 px ( p >0)上任意一点,点 N ( a ,0)是抛物线的对称 轴上一点,则| MN | min =   考向一　直线与抛物线相交的弦长问题 考向突破 例5    (2019河南商丘九校联考)已知 AB 是抛物线 y 2 =2 x 的一条焦点弦,| AB |= 4,则 AB 中点 C 的横坐标是   (　　) A.2　    B.   　    C.   　    D.   解析　设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), C 的横坐标为 x 0 , 则 x 0 =   , 因为 AB 是抛物线 y 2 =2 x 的一条焦点弦, 所以| AB |= x 1 + x 2 + p = x 1 + x 2 +1=4, 所以 x 1 + x 2 =3,故 x 0 =   =   .故选B. 答案    B 考向二　与抛物线有关的弦中点问题 例6    (2019黑龙江哈三中期中,14)已知点 P (2,1),若抛物线 y 2 =4 x 的一条弦 AB 的中点恰好是点 P ,则弦 AB 所在的直线方程为 　　　　　     . 解析　易知直线 AB 的斜率存在且不为0. 设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ),弦 AB 所在的直线方程为 y -1= k ( x -2)( k ≠ 0),即 y = kx +1-2 k ( k ≠ 0), 联立   整理得 k 2 x 2 +[2 k (1-2 k )-4] x +(1-2 k ) 2 =0, 所以 x 1 + x 2 =-   , 因为弦 AB 的中点为点 P (2,1), 所以-   =4,解得 k =2, 所以弦 AB 所在的直线方程为 y =2 x -3,即2 x - y -3=0. 答案　2 x - y -3=0   一题多解    易知直线 AB 的斜率存在且不为0. 设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ),弦 AB 所在的直线方程为 y -1= k ( x -2)( k ≠ 0),即 y = kx +1-2 k ( k ≠ 0), 由已知可得   两式相减可得   -   =4( x 1 - x 2 ), 则 k =   =   ,又知弦 AB 的中点是点 P ,∴ y 1 + y 2 =2, ∴ k =   =2,∴所求直线的方程为 y =2 x -3,即2 x - y -3=0. 方法1 　求抛物线的标准方程的方法 1. 定义法 :根据条件确定动点满足的几何特征,利用抛物线的定义确定轨迹 类型,从而确定 p 的值,得到抛物线的标准方程. 2. 待定系数法 :根据条件设出标准方程,再确定 p 的值,这里应注意抛物线的 标准方程有四种形式.从简单化角度出发, 焦点在 x 轴上的,设为 y 2 = ax ( a ≠ 0), 焦点在 y 轴上的,设为 x 2 = ay ( a ≠ 0) . 方法技巧 例1    (2019湖南衡阳二模,15)已知抛物线 C : y 2 =2 px ( p >0)的焦点为 F ,过点 (-1,0)的直线与 C 交于 A , B 两点,若4| FA |+| FB |的最小值为19,则抛物线 C 的标准 方程为 　　　     . 解析　设直线 AB 的方程为 y = k ( x +1)( k ≠ 0), A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 )( x 1 >0, x 2 >0),由   得 k 2 x 2 +2 k 2 x + k 2 =2 px ,即 k 2 x 2 +(2 k 2 -2 p ) x + k 2 =0,∴ x 1 x 2 =1.由抛物线的 定义知 | AF |= x 1 +   ,| BF |= x 2 +   ,∴4| FA |+| FB |=4   + x 2 +   =4 x 1 + x 2 +   p ≥ 2   +   p =4+   p ,当且仅当4 x 1 = x 2 时取等号,此时4| FA |+| FB |的最小值为4+   p ,∴4+   p =19,解得 p =6,∴抛物线 C 的方程为 y 2 =12 x . 答案     y 2 =12 x 方法2 　抛物线定义的应用策略 抛物线是到定点和定直线的距离相等的点的轨迹,利用抛物线的定义解决 问题,应灵活地进行 抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价转 化 .“看到准线想到焦点,看到焦点应该想到准线”,这是解决抛物线焦点 弦有关问题的有效途径. 例2    (2017课标全国Ⅱ,12,5分)过抛物线 C : y 2 =4 x 的焦点 F ,且斜率为   的直 线交 C 于点 M ( M 在 x 轴的上方), l 为 C 的准线,点 N 在 l 上且 MN ⊥ l ,则 M 到直线 NF 的距离为   (　　) A.   　    B.2   　    C.2   　    D.3   解析　如图,因为直线 MF 的斜率为   , 所以直线 MF 的倾斜角为60 ° ,则∠ FMN =60 ° . 由抛物线的定义得| MF |=| MN |, 所以△ MNF 为等边三角形. 过 F 作 FH ⊥ MN ,垂足为 H . 易知 F (1,0), l 的方程为 x =-1, 所以| OF |=1,| NH |=2,所以| MF |=   +2,即| MF |=4, 所以 M 到直线 NF 的距离 d =| FH |=| MF |sin 60 ° =4 ×   =2   .故选C.   答案    C 方法3　 与直线和抛物线位置关系有关问题的求解方法 1.直线和抛物线的位置关系有三种:相交、相切、相离.判断方法有:把直 线方程和抛物线方程联立,若得到的是一元二次方程,则:(1)若方程的判别 式 Δ >0,则直线与抛物线相交;(2)若方程的判别式 Δ =0,则直线与抛物线相 切;(3)若方程的判别式 Δ <0,则直线与抛物线相离. 若得到的是一元一次方 程,则直线与抛物线交于一点,此时直线与对称轴平行(或重合). 2.直线与抛物线相交时,常采用根与系数关系和点差法求解;直线与抛物线 相离时,常考查最值问题,利用数形结合法进行求解;直线和抛物线相切时, 切线的斜率可以用求导解决. 3.当求解直线与抛物线相交的弦长问题时,利用弦长公式| AB |=     =     ( k 为直线的斜率, k ≠ 0)进行求解. 例3    (2020届山西长治9月联考,20)已知抛物线 C : x 2 =2 py ( p >0),其焦点到准 线的距离为2,直线 l 与抛物线 C 交于 A , B 两点,过 A , B 分别作抛物线 C 的切线 l 1 , l 2 ,设 l 1 与 l 2 交于点 M . (1)求抛物线 C 的方程; (2)若 l 1 ⊥ l 2 ,求△ MAB 面积的最小值. 解析　(1)焦点到准线的距离为2,即 p =2, 所以抛物线 C 的方程为 x 2 =4 y .   (2分) (2)抛物线的方程为 x 2 =4 y ,即 y =   x 2 ,所以 y '=   x .   (3分) 设 A   , B   , 则 l 1 : y -   =   ( x - x 1 ), l 2 : y -   =   ( x - x 2 ), 由 l 1 ⊥ l 2 ,得   ·   =-1,即 x 1 x 2 =-4.   (5分) 设直线 l 的方程为 y = kx + m ,由   得 x 2 -4 kx -4 m =0, 所以 Δ =16 k 2 +16 m >0, x 1 + x 2 =4 k , x 1 x 2 =-4 m =-4, 所以 m =1,   (7分) 所以 l : y = kx +1. 由   得   所以 M (2 k ,-1).   (8分) 点 M 到直线 l 的距离 d =   =   ,   (9分) | AB |=   =4(1+ k 2 ),   (10分) 所以 S △ MAB =   × 4(1+ k 2 ) ×   =4(1+ k 2   ≥ 4,   (11分) 当且仅当 k =0时,等号成立, 故△ MAB 的面积的最小值为4.   (12分)