高考数学 17-18版 第7章 第38课 课时分层训练38 6页

课时分层训练(三十八)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、填空题 ‎1．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是逆推法；⑤反证法是间接证法．其中正确的个数有____________．(填序号)‎ ‎①②③④⑤　[由分析法、综合法、反证法的定义知①②③④⑤都正确．]‎ ‎2．用反证法证明命题：若整数系数的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理实数根，则a，b，c中至少有一个是偶数．下列假设中正确的是____________．(填序号)‎ ‎①假设a，b，c至多有一个是偶数；‎ ‎②假设a，b，c至多有两个偶数；‎ ‎③假设a，b，c都是偶数；‎ ‎④假设a，b，c都不是偶数．‎ ‎④　[“至少有一个”的否定为“一个都没有”，即假设a，b，c都不是偶数．]‎ ‎3．若a，b，c为实数，且aab>b2；‎ ‎③<； ④>.‎ ‎②　[a2－ab＝a(a－b)，‎ ‎∵a0，‎ ‎∴a2>ab.‎ 又ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2，‎ 即a2>ab>b2.]‎ ‎4．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证0; ②a－c>0；‎ ‎③(a－b)(a－c)>0; ④(a－b)(a－c)<0.‎ ‎③　[由题意知0‎ ‎⇐(a－c)(2a＋c)>0⇐(a－c)(a－b)>0.]‎ ‎5．用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝‎1”‎时，应假设__________．‎ x≠－1且x≠1　[“x＝－1或x＝‎1”‎的否定是“x≠－1且x≠‎1”‎．]‎ ‎6．设a>b>0，m＝－，n＝，则m，n的大小关系是__________．‎ m⇐a0，显然成立．]‎ ‎7．下列条件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件的个数是__________．‎ ‎3　[要使＋≥2，只要>0，且>0，即a，b不为0且同号即可，故有3个．]‎ ‎8．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)____________0.(填“>”“<”或“＝”) 【导学号：62172208】‎ ‎<　[∵x1＋x2>0，∴x1>－x2，‎ 又f(x)是奇函数，且在[0，＋∞)上单调递减，‎ 故f(x)在R上单调递减，‎ 故f(x1)0，求证：‎2a3－b3≥2ab2－a2b.‎ ‎[证明]　要证明‎2a3－b3≥2ab2－a2b成立，‎ 只需证：2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，‎ 即2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0，‎ 即(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0.‎ ‎∵a≥b>0，∴a－b≥0，a＋b>0,2a＋b>0，‎ 从而(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0成立，‎ ‎∴2a3－b3≥2ab2－a2b.‎ ‎12．设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．‎ ‎(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；‎ ‎(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？ 【导学号：62172209】‎ ‎[解]　(1)证明：假设数列{Sn}是等比数列，则S＝S1S3，‎ 即a(1＋q)2＝a1·a1·(1＋q＋q2)，‎ 因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，‎ 即q＝0，这与公比q≠0矛盾，‎ 所以数列{Sn}不是等比数列．‎ ‎(2)当q＝1时，Sn＝na1，故{Sn}是等差数列；‎ 当q≠1时，{Sn}不是等差数列，否则2S2＝S1＋S3，‎ 即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)，‎ 得q＝0，这与公比q≠0矛盾．‎ 综上，当q＝1时，数列{Sn}是等差数列；‎ 当q≠1时，数列{Sn}不是等差数列．‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．设x，y，z>0，则三个数＋，＋，＋____________.(填序号)‎ ‎①都大于2; ②至少有一个大于2；‎ ‎③至少有一个不小于2; ④至少有一个不大于2.‎ ‎③　[因为x>0，y>0，z>0，‎ 所以＋＋＝＋＋≥6，‎ 当且仅当x＝y＝z时等号成立，则三个数中至少有一个不小于2.]‎ ‎2．如果△A1B‎1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B‎2C2的三个内角的正弦值，则下列说法正确的是____________．(填序号)‎ ‎①△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形；‎ ‎②△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形；‎ ‎③△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形；‎ ‎④△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形；‎ ‎④　[由条件知，△A1B‎1C1的三个内角的余弦值均大于0，则△A1B‎1C1是锐角三角形，假设△A2B‎2C2是锐角三角形．‎ 由 得 那么，A2＋B2＋C2＝，这与三角形内角和为180°相矛盾．‎ 所以假设不成立，又显然△A2B2C2不是直角三角形．‎ 所以△A2B2C2是钝角三角形．]‎ ‎3．已知数列{an}满足a1＝，且an＋1＝(n∈N＋)．‎ ‎(1)证明数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝anan＋1(n∈N＋)，数列{bn}的前n项和记为Tn，证明：Tn<.‎ ‎[解]　(1)由已知可得，当n∈N＋时，an＋1＝.‎ 两边取倒数得，＝＝＋3，‎ 即－＝3，‎ 所以数列是首项为＝2，公差为3的等差数列，‎ 其通项公式为＝＋(n－1)×3＝2＋(n－1)×3＝3n－1.‎ 所以数列{an}的通项公式为an＝.‎ ‎(2)证明：由(1)知an＝，‎ 故bn＝anan＋1＝× ‎＝ ‎＝，‎ 故Tn＝b1＋b2＋…＋bn ‎＝×＋×＋…＋× ‎＝＝－×.‎ 因为>0，所以Tn<.‎ ‎4．若f(x)的定义域为[a，b]，值域为[a，b](a－2)，使函数h(x)＝是区间[a，b]上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎[解]　(1)由题设得g(x)＝(x－1)2＋1，其图象的对称轴为x＝1，区间[1，b]在对称轴的右边，所以函数在区间[1，b]上单调递增．‎ 由“四维光军”函数的定义可知，g(1)＝1，g(b)＝b，‎ 即b2－b＋＝b，解得b＝1或b＝3.‎ 因为b>1，所以b＝3.‎ ‎(2)假设函数h(x)＝在区间[a，b](a>－2)上是“四维光军”函数，‎ 因为h(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递减，‎ 所以有即 解得a＝b，这与已知矛盾．故不存在．‎