2018届二轮复习函数与导数函数的图象与性质专题突破讲义学案文（全国通用） 15页

第 1 讲　函数的图象与性质 1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下． 2．对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合 的思想解决问题． 3．对函数性质的考查，主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合在一起考查，既有具体函数 也有抽象函数．常以选择题、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大． 热点一　函数的性质及应用 1．单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步 骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则． 2．奇偶性 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 相反． (2)在公共定义域内： ①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数； ②两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数； ③一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数． (3)若 f(x)是奇函数且在 x＝0 处有定义，则 f(0)＝0. (4)若 f(x)是偶函数，则 f(x)＝f(－x)＝f(|x|)． (5)图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶 函数的充要条件是它的图象关于 y 轴对称． 3．周期性 定义：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足 f(a＋x)＝f(x)(a≠0)， 则其一个周期 T＝|a|. 常见结论： (1)f(x＋a)＝－f(x)⇒函数 f(x)的最小正周期为 2|a|，a≠0. (2)f(x＋a)＝ 1 f(x)⇒函数 f(x)的最小正周期为 2|a|，a≠0. (3)f(a＋x)＝f(b－x)，则函数 f(x)的图象关于 x＝ a＋b 2 对称． 例 1　(1)(2017·山东)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x＋4)＝f(x－2)．若当 x∈[－ 3,0]时，f(x)＝6－x，则 f(919)＝________. 答案　6 解析　∵f(x＋4)＝f(x－2)， ∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即 f(x＋6)＝f(x)， ∴f(x)是周期为 6 的周期函数， ∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)． 又 f(x)是定义在 R 上的偶函数， ∴f(1)＝f(－1)＝6，即 f(919)＝6. (2)(2017 届安徽省池州市东至县联考)已知函数 f(x)＝2 016x＋log2 016( x2＋1＋x)－2 016－ x，则关于 x 的不等式 f(3x＋1)＋f(x)>0 的解集为(　　) A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C.(－∞，－ 1 4) D.(－ 1 4，＋∞) 答案　D 解析　f(－x)＝2 016－x－2 016x＋log2 016( (－x)2＋1－x)，其中 log2 016( x2＋1－x)＝log2 016 ( 1 x2＋1＋x) ＝－log2 016( x2＋1＋x)，则 f(－x)＝－f(x)，所以函数是奇函数，并且函数是单调递增函 数．那么原不等式等价于 f(3x＋1)>－f(x)⇔f(3x＋1)>f(－x)， 即 3x＋1>－x⇒x>－ 1 4，故选 D. 思维升华　(1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的 函数值． (2)利用函数的单调性解不等式的关键是化成 f(x1)0 时，f(x)＝－x3＋6x2－9x＋a，则－f(－x)＝－ 3 2 4 2(log 5) (log 3) (2 )f f f< < x3－6x2－9x－a，即－x3－6x2－9x－a＝2(x<0)有两个实数根，即 a＝－x3－6x2－9x－2(x<0) 有两个实数根．画出 y＝－x3－6x2－9x－2(x<0)的图象如图所示，由图可知当 a＝2 时有两个 解． 思维升华　(1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方 面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这 是判断函数图象问题的基本方法．(2)判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函 数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选．要注意函 数求导之后，导函数发生了变化，故导函数和原函数定义域会有所不同，我们必须在原函数 的定义域内研究函数的极值和最值． 跟踪演练 2　(1)(2017·全国Ⅰ)函数 y＝ sin 2x 1－cos x的部分图象大致为(　　) 答案　C 解析　令 f(x)＝ sin 2x 1－cos x， ∵f(1)＝ sin 2 1－cos 1＞0，f(π)＝ sin 2π 1－cos π＝0， ∴排除选项 A，D. 由 1－cos x≠0，得 x≠2kπ(k∈Z)， 故函数 f(x)的定义域关于原点对称． 又∵f(－x)＝ sin(－2x) 1－cos(－x)＝－ sin 2x 1－cos x＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故选 C. (2)已知函数 f(x)＝ ax3 3 ＋ ax－x2＋3 2 ，g(x)＝a2x3－2ax2＋x＋a(a∈R)．在同一直角坐标系中， 函数 f′(x)与 g(x)的图象不可能是(　　) 答案　B 解析　因为 f(x)＝ ax3 3 ＋ ax－x2＋3 2 ， 所以 f′(x)＝ax2－x＋ a 2， 若 a＝0，则选项 D 是正确的，故排除 D. 若 a<0，选项 B 中的二次函数的判别式 Δ＝1－4a· a 2＝1－2a2<0，所以 a2> 1 2，又 a<0，所以 a< － 2 2 . 二次函数 f′(x)的图象的对称轴为 x＝ 1 2a. 三次函数 g(x)＝a2x3－2ax2＋x＋a， 所以 g′(x)＝3a2x2－4ax＋1＝3a2(x－ 1 a )(x－ 1 3a)， 令 g′(x)>0，得 x< 1 a或 x> 1 3a， 令 g′(x)<0，得 1 a 1 2a， 所以选项 B 的图象错误，故选 B. 热点三　基本初等函数的图象和性质 1．指数函数 y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数 y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质，分 01 两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质． 2．幂函数 y＝xα 的图象和性质，主要掌握 α＝1,2,3， 1 2，－1 五种情况． 例 3　(1)(2017·深圳调研)设 a＝0.23，b＝log0.30.2，c＝log30.2，则 a，b，c 大小关系正 确的是(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．c>b>a 答案　B 解析　根据指数函数和对数函数的增减性知，因为 0log0.30.3 ＝1，c＝log30.2a>c，故选 B. (2)(2017 届福建福州外国语学校期中)函数 f(x)＝Error!在 R 上单调递增，则实数 a 的取值 范围为(　　) A．(1,2) B．(2,3) C．(2,3] D．(2，＋∞) 答案　C 解析　∵f(x)在 R 上单调递增， ∴Error!∴21. 则 x＝log2t＝ lg t lg 2，同理，y＝ lg t lg 3，z＝ lg t lg 5. ∴2x－3y＝ 2lg t lg 2 － 3lg t lg 3 ＝ lg t(2lg 3－3lg 2) lg 2 × lg 3 ＝ lg t(lg 9－lg 8) lg 2 × lg 3 >0， ∴2x>3y. 又∵2x－5z＝ 2lg t lg 2 － 5lg t lg 5 ＝ lg t(2lg 5－5lg 2) lg 2 × lg 5 ＝ lg t(lg 25－lg 32) lg 2 × lg 5 <0， ∴2x<5z， ∴3y<2x<5z.故选 D. (2)设函数 f(x)＝Error! (a>0 且 a≠1)．若 f(x)在 R 上是增函数，则 a 的取值范围是________． 答案　[2，＋∞) 解析　函数 f(x)＝Error!(a>0，且 a≠1)． 若 f(x)在 R 上是增函数，则有Error!∴a≥2. 真题体验 1．(2017·全国Ⅲ改编)函数 y＝1＋x＋ sin x x2 的部分图象大致为________．(填序号) 答案　④ 解析　当 x→＋∞时， sin x x2 →0,1＋x→＋∞，y＝1＋x＋ sin x x2 →＋∞，故排除②； 当 0＜x＜ π 2 时，y＝1＋x＋ sin x x2 ＞0，故排除①③. 故填④. 2 ． (2017· 天 津 改 编 ) 已 知 奇 函 数 f(x) 在 R 上 是 增 函 数 ． 若 a ＝ － f (log2 1 5)， b ＝ f(log24.1)，c＝f(20.8)，则 a，b，c 的大小关系为____________． 答案　c1,01 时，y＝xa 与 y＝logax 均为增函数，但 y＝xa 递增较快，排除 C； 当 01，而此时幂函数 f(x)＝xa 的图象应是增长越来越 快的变化趋势，故 C 错． 2．(2017 届甘肃肃南裕固族自治县一中月考)设函数 y＝f(x)(x∈R)为偶函数，且∀x∈R，满 足 f (x－ 3 2 )＝f (x＋ 1 2 )，当 x∈[2,3]时，f(x)＝x，则当 x∈[－2,0]时，f(x)等于(　　) A．|x＋4| B．|2－x| C．2＋|x＋1| D．3－|x＋1| 押题依据　利用函数的周期性、奇偶性求函数值是高考的传统题型，较好地考查学生思维的 灵活性． 答案　D 解析　由 f (x－ 3 2 )＝f (x＋ 1 2 )，可得 f(x＋2)＝ f(x)，则当 x∈[－2，－1]时， x＋ 4∈[2,3]，f(x)＝f(x＋4)＝x＋4＝x＋1＋3；当 x∈[－1,0]时，－x∈[0,1]，2－x∈[2,3]， f(x)＝f(－x)＝f(2－x)＝2－x＝3－x－1，故选 D. 3．已知函数 h(x)(x≠0)为偶函数，且当 x>0 时，h(x)＝Error!若 h(t)>h(2)，则实数 t 的取 值范围为________． 押题依据　分段函数是高考的必考内容，利用函数的单调性求解参数的范围，是一类重要题 型，是高考考查的热点．本题恰当地应用了函数的单调性，同时考查了函数的奇偶性的性 质． 答案　(－2,0)∪(0,2) 解析　因为当 x>0 时，h(x)＝Error! 易知函数 h(x)在(0，＋∞)上单调递减， 因为函数 h(x)(x≠0)为偶函数，且 h(t)>h(2)， 所以 h(|t|)>h(2)，所以 0<|t|<2， 所以Error!即Error! 解得－21 时，ln|x|>0，y＝ 2x ln|x|>0，排除 D； 当 x<－1 时，ln|x|>0，y＝ 2x ln|x|<0，排除 C，故选 B. 6．(2017 届安徽百校论坛联考)已知函数f(x)是奇函数，当 x<0 时，f(x)＝－x2＋x.若不等式 f(x)－x≤2logax (a>0 且 a≠1)对∀x∈(0， 2 2 ]恒成立，则实数 a 的取值范围是(　　) A.(0， 1 4 ] B.[1 4，1 ) C.(0， 1 2 ] D.[1 4， 1 2 ]∪(1，＋∞) 答案　B 解析　由已知得当 x>0 时，f(x)＝x2＋x，故 x2≤2logax 对∀x∈(0， 2 2 ]恒成立，即当 x∈ (0， 2 2 ]时，函数 y＝x2 的图象不在 y＝2logax 图象的上方，由图(图略)知 00 时，函数只有一个零点，而 y＝ 2xsin x 4x＋1 是以 x 轴为 中心的波浪线，所以 B 排除；当 x→－∞时，y＝2x－x2－1→－∞，所以 A 排除；函数 y＝(x2 －2x)ex 的图象在 x→－∞时，y→0，在 01 的 x 的取值范围是 ________． 答案　(－ 1 4，＋∞) 解析　由题意知，可对不等式分 x≤0,0＜x≤ 1 2，x＞ 1 2三段讨论． 当 x≤0 时，原不等式为 x＋1＋x＋ 1 2＞1， 解得 x＞－ 1 4，∴－ 1 4＜x≤0. 当 0＜x≤ 1 2时，原不等式为 2x＋x＋ 1 2＞1，显然成立． 当 x＞ 1 2时，原不等式为 2x＋2x－ 1 2＞1，显然成立． 综上可知，x＞－ 1 4. 10．(2017 届江西吉安一中段考)若函数 f(x)是周期为 4 的奇函数，且在[0,2]上的解析式为 f(x)＝Error! 则 f (f (41 6 ))＝________. 答案　 1 4 解析　f (41 6 )＝f (－ 7 6 )＝－f (7 6 ) ＝－sin 7π 6 ＝ 1 2， f (1 2 )＝ 1 2×(1－ 1 2 )＝ 1 4. 11．(2017 届云南省师范大学附属中学月考)已知函数 f(x)＝ex＋x3，若 f(x2)0，所以函数 f(x)为增函数，所以不等式 f(x2)0 时，函数 f(x)＝x＋ 1 x－a 的最小值 2－a≥f(0)，即 2－a≥a2，解得－2≤a≤1.综上所述，实 数 a 的取值范围是[0,1]． B 组　能力提高 13．(2017·全国Ⅰ)已知函数 f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则(　　) A．f(x)在(0,2)上单调递增 B．f(x)在(0,2)上单调递减 C．y＝f(x)的图象关于直线 x＝1 对称 D．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称 答案　C 解析　f(x)的定义域为(0,2)． f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝ln[x(2－x)]＝ln(－x2＋2x)． 设 u＝－x2＋2x，x∈(0,2)，则 u＝－x2＋2x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减． 又 y＝ln u 在其定义域上单调递增， ∴f(x)＝ln(－x2＋2x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减． ∴选项 A，B 错误； ∵f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝f(2－x)， ∴f(x)的图象关于直线 x＝1 对称，∴选项 C 正确； ∵f(2－x)＋f(x)＝[ln(2－x)＋ln x]＋[ln x＋ln(2－x)]＝2[ln x＋ln(2－x)]，不恒为 0， ∴f(x)的图象不关于点(1,0)对称，∴选项 D 错误． 故选 C. 14．(2017 届河北武邑中学调研)已知函数 f(x)＝ x x－1＋sin πx 在[0,1)上的最大值为 m，在 (1,2]上的最小值为 n，则 m＋n 等于(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案　D 解析　f(x)＝ x x－1＋sin πx＝1＋ 1 x－1＋sin πx， 记 g(x)＝ 1 x－1＋sin πx，则当 x∈[0,1)时，g(2－x)＝ 1 2－x－1＋sin π(2－x)＝ 1 1－x－sin πx，即在区间[0,1)∪(1,2]上，函数 f(x)关于点(1,1)成中心对称，∴m＋n＝2，故选 D. 15．(2017 届湖北省部分重点中学联考)已知函数 f(x)＝ 2x－1 2x＋1＋x＋sin x，若正实数 a，b 满 足 f(4a)＋f(b－9)＝0，则 1 a＋ 1 b的最小值为________． 答案　1 解析　因为 f(－x)＝－f(x)，故由题设可得当 4a＋b＝9，即 4a 9 ＋ b 9＝1 时，则 1 a＋ 1 b＝(4a 9 ＋ b 9) (1 a＋ 1 b ) ＝ 1 9(4＋1＋ 4a b ＋ b a)≥ 1 9(5＋4)＝1，当且仅当 b＝2a 时取等号． 16．(2017 届福建连城县二中期中)对于函数：①f(x)＝lg(|x－2|＋1)；②f(x)＝(x－2)2； ③f(x)＝cos(x＋2)．判断如下三个命题的真假：命题甲：f(x＋2)是偶函数；命题乙：f(x)在区 间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；命题丙：f(x＋2)－f(x)在(－∞，＋ ∞)上是增函数，能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是________． 答案　② 解析　①若 f(x)＝lg(|x－2|＋1)，则 f(x＋2)是偶函数，此时命题甲为真；f(x)在(－∞，2) 上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，此时命题乙为真；但 f(x＋2)－f(x)在(－∞，＋∞) 上不是单调增函数，此时命题丙为假．②f(x)＝(x－2)2，则 f(x＋2)是偶函数，此时命题甲为真； f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，此时命题乙为真；f(x＋2)－f(x)＝4x－4 在(－∞，＋∞)上是增函数，此时命题丙为真．③若 f(x)＝cos(x＋2)，则 f(x＋2)不是偶函 数，此时命题甲为假；f(x)在(－∞，2)上不是减函数，在(2，＋∞)上不是增函数，此时命题乙为 假；f(x＋2)－f(x)在(－∞，＋∞)上不是单调增函数，此时命题丙为假，故答案为②.