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  • 2021-06-16 发布

2018届二轮复习等差数列与等比数列课件(江苏专用)

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第 1 讲  等差数列 与等比数列 专题四   数列、推理与证明 高考真题体验 热点分类突破 高考押题精练 栏目索引 高考真题体验 1 2 3 4 1. (2015· 课标全国 Ⅰ 改编 ) 已知 { a n } 是公差为 1 的等差数列, S n 为 { a n } 的前 n 项和,若 S 8 = 4 S 4 ,则 a 10 = ________. 解析  ∵ 公差为 1 , 1 2 3 4 2. (2015· 安徽 ) 已知数列 { a n } 是递增的等比数列, a 1 + a 4 = 9 , a 2 a 3 = 8 ,则数列 { a n } 的前 n 项和等于 ________. 解析  由等比数列性质知 a 2 a 3 = a 1 a 4 ,又 a 2 a 3 = 8 , a 1 + a 4 = 9 , 又数列 { a n } 为递增数列, ∴ a 1 = 1 , a 4 = 8 ,从而 a 1 q 3 = 8 , ∴ q = 2. 2 n - 1 1 2 3 4 3. (2014· 广东 ) 若等比数列 { a n } 的各项均为正数,且 a 10 a 11 + a 9 a 12 = 2e 5 ,则 ln a 1 + ln a 2 + … + ln a 20 = ______. 解析  因为 a 10 a 11 + a 9 a 12 = 2 a 10 a 11 = 2e 5 , 所以 a 10 a 11 = e 5 . 所以 ln a 1 + ln a 2 + … + ln a 20 = ln( a 1 a 2 … a 20 ) = ln [ ( a 1 a 20 )·( a 2 a 19 )· … ·( a 10 a 11 ) ] = ln( a 10 a 11 ) 10 = 10ln( a 10 a 11 ) = 10ln e 5 = 50ln e = 50. 50 1 2 3 4 4. (2013· 江西 ) 某住宅小区计划植树不少于 100 棵,若第一天植 2 棵,以后每天植树的棵数是前一天的 2 倍,则需要的最少天数 n ( n ∈ N * ) 等于 ________. 解析  每天植树棵数构成等比数列 { a n } , 即 2 n + 1 ≥ 102. ∴ n ≥ 6 , ∴ 最少天数 n = 6. 6 考情考向分析 1. 等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点,经常以小题形式出现 . 2. 数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点,考查分析问题、解决问题的综合能力 . 热点一 等差数列、等比数列的运算 热点分类突破 1. 通项公式 等差数列: a n = a 1 + ( n - 1) d ; 等比数列: a n = a 1 · q n - 1 . 2. 求和公式 3. 性质 若 m + n = p + q , 在等差数列中 a m + a n = a p + a q ; 在等比数列中 a m · a n = a p · a q . 例 1   (1) 设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n . 若 a 1 =- 11 , a 4 + a 6 =- 6 ,则当 S n 取最小值时, n = ________. 解析  设该数列的公差为 d , 则 a 4 + a 6 = 2 a 1 + 8 d = 2 × ( - 11) + 8 d =- 6 ,解得 d = 2 , 所以当 S n 取最小值时, n = 6 . 6 (2) 已知等比数列 { a n } 公比为 q ,其前 n 项和为 S n ,若 S 3 , S 9 , S 6 成等差数列,则 q 3 = ________. 解析  若 q = 1 ,则 3 a 1 + 6 a 1 = 2 × 9 a 1 , 得 a 1 = 0 ,矛盾,故 q ≠ 1. 思维升华 在进行等差 ( 比 ) 数列项与和的运算时,若条件和结论间的联系不明显,则均可化成关于 a 1 和 d ( q ) 的方程组求解,但要注意消元法及整体计算,以减少计算量 . 跟踪演练 1   (1) (2015· 浙江 ) 已知 { a n } 是等差数列,公差 d 不为零 . 若 a 2 , a 3 , a 7 成等比数列,且 2 a 1 + a 2 = 1 ,则 a 1 = ________ , d = ________. ∵ 2 a 1 + a 2 = 1 , ∴ 2 a 1 + a 1 + d = 1 ,即 3 a 1 + d = 1 , - 1 解析  在等比数列中, ( a 1 + a 2 ) q 2 = a 3 + a 4 , 即 q 2 = 2 ,所以 a 2 011 + a 2 012 + a 2 013 + a 2 014 = ( a 1 + a 2 + a 3 + a 4 ) q 2 010 = 3 × 2 1 005 , 1 005 热点二 等差数列、等比数列的判定与证明 数列 { a n } 是等差数列或等比数列的证明方法 (1) 证明数列 { a n } 是等差数列的两种基本方法: ① 利用定义,证明 a n + 1 - a n ( n ∈ N * ) 为一常数; ② 利用中项性质,即证明 2 a n = a n - 1 + a n + 1 ( n ≥ 2). (2) 证明 { a n } 是等比数列的两种基本方法: 例 2   (2014· 大纲全国 ) 数列 { a n } 满足 a 1 = 1 , a 2 = 2 , a n + 2 = 2 a n + 1 - a n + 2. (1) 设 b n = a n + 1 - a n ,证明: { b n } 是等差数列; 证明  由 a n + 2 = 2 a n + 1 - a n + 2 得 a n + 2 - a n + 1 = a n + 1 - a n + 2 , 即 b n + 1 = b n + 2. 又 b 1 = a 2 - a 1 = 1 , 所以 { b n } 是首项为 1 ,公差为 2 的等差数列 . (2) 求 { a n } 的通项公式 . 解  由 (1) 得 b n = 1 + 2( n - 1) = 2 n - 1 , 即 a n + 1 - a n = 2 n - 1. ∴ a n - a n - 1 = 2 n - 3 , a n - 1 - a n - 2 = 2 n - 5 , …… a 2 - a 1 = 1 , 累加得 a n + 1 - a 1 = n 2 ,即 a n + 1 = n 2 + a 1 . 又 a 1 = 1 ,所以 { a n } 的通项公式为 a n = n 2 - 2 n + 2. 思维升华 (1) 判断一个数列是等差 ( 比 ) 数列,也可以利用通项公式及前 n 项和公式,但不能作为证明方法 . (2) 已知数列 { a n } 中, a 1 = 1 , a n + 1 = 2 a n + 3 ,则 a n = ________. 解析  由已知可得 a n + 1 + 3 = 2( a n + 3) , 又 a 1 + 3 = 4 , 故 { a n + 3} 是以 4 为首项, 2 为公比的等比数列 . ∴ a n + 3 = 4 × 2 n - 1 , ∴ a n = 2 n + 1 - 3. 2 n + 1 - 3 热点三 等差数列、等比数列的综合问题 解决等差数列、等比数列的综合问题,要从两个数列的特征入手,理清它们的关系;数列与不等式、函数、方程的交汇问题,可以结合数列的单调性、最值求解 . 例 3   已知等差数列 { a n } 的公差为- 1 ,且 a 2 + a 7 + a 12 =- 6. (1) 求数列 { a n } 的通项公式 a n 与前 n 项和 S n ; 解  由 a 2 + a 7 + a 12 =- 6 得 a 7 =- 2 , ∴ a 1 = 4 , (2) 将数列 { a n } 的前 4 项抽去其中一项后,剩下三项按原来顺序恰为等比数列 { b n } 的前 3 项,记 { b n } 的前 n 项和为 T n ,若存在 m ∈ N * ,使对任意 n ∈ N * ,总有 S n < T m + λ 恒成立,求实数 λ 的取值范围 . 解  由题意知 b 1 = 4 , b 2 = 2 , b 3 = 1 , ∴ { T m } 为递增数列,得 4 ≤ T m <8. 故 ( S n ) max = S 4 = S 5 = 10 , 若存在 m ∈ N * ,使对任意 n ∈ N * 总有 S n < T m + λ , 则 10<4 + λ ,得 λ >6 . 即 实数 λ 的取值范围为 (6 ,+ ∞ ). 思维升华 (1) 等差数列与等比数列交汇的问题,常用 “ 基本量法 ” 求解,但有时灵活地运用性质,可使运算简便 . (2) 数列的项或前 n 项和可以看作关于 n 的函数,然后利用函数的性质求解数列问题 . (3) 数列中的恒成立问题可以通过分离参数,通过求数列的值域求解 . (1) 求数列 { a n } 的通项公式 ; 解  设等比数列 { a n } 的公比为 q , 因为 S 3 + a 3 , S 5 + a 5 , S 4 + a 4 成等差数列, 所以 S 5 + a 5 - S 3 - a 3 = S 4 + a 4 - S 5 - a 5 ,即 4 a 5 = a 3 , 故等比数列 { a n } 的通项公式 为 当 n 为奇数时, S n 随 n 的增大而减小, 当 n 为偶数时, S n 随 n 的增大而增大, 高考押题精练 1 2 3 4 1. 设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,且 a 1 >0 , a 3 + a 10 >0 , a 6 a 7 <0 ,则满足 S n >0 的最大自然数 n 的值为 ________. 押题依据  等差数列的性质和前 n 项和是数列最基本的知识点,也是高考的热点,可以考查学生灵活变换的能力 . 1 2 3 4 解析  ∵ a 1 >0 , a 6 a 7 <0 , ∴ a 6 >0 , a 7 <0 ,等差数列的公差小于零 , 又 a 3 + a 10 = a 1 + a 12 >0 , a 1 + a 13 = 2 a 7 <0 , ∴ S 12 >0 , S 13 <0 , ∴ 满足 S n >0 的最大自然数 n 的值为 12. 答案  12 1 2 3 4 2. 已知等比数列 { a n } 中, a 4 + a 6 = 10 ,则 a 1 a 7 + 2 a 3 a 7 + a 3 a 9 = ________. 押题依据  等比数列基本量的计算和等比数列的性质是近几年高考的热点,反映了解题中的整体化思想 . 1 2 3 4 所以 a 1 a 7 + 2 a 3 a 7 + a 3 a 9 = ( a 4 + a 6 ) 2 = 10 2 = 100. 答案  100 1 2 3 4 押题依据  等差数列、等比数列的综合问题可反映知识运用的综合性和灵活性,是高考出题的重点 . 1 2 3 4 解析  设等差数列 { a n } 的公差为 d , 所以 b 7 = a 7 = 2. 答案  4 1 2 3 4 押题依据  本题在数列、方程、不等式的交汇处命题,综合考查学生应用数学的能力,是高考命题的方向 . 解析  由 a 7 = a 6 + 2 a 5 ,得 a 1 q 6 = a 1 q 5 + 2 a 1 q 4 ,整理有 q 2 - q - 2 = 0 , 1 2 3 4 解得 q = 2 或 q =- 1( 与条件中等比数列的各项都为正数矛盾,舍去 ) , 1 2 3 4

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