2018届二轮复习等差数列与等比数列课件（江苏专用） 40页

第 1 讲　 等差数列 与等比数列 专题四 　 数列、推理与证明 高考真题体验 热点分类突破 高考押题精练 栏目索引 高考真题体验 1 2 3 4 1. (2015· 课标全国 Ⅰ 改编 ) 已知 { a n } 是公差为 1 的等差数列， S n 为 { a n } 的前 n 项和，若 S 8 ＝ 4 S 4 ，则 a 10 ＝ ________. 解析　 ∵ 公差为 1 ， 1 2 3 4 2. (2015· 安徽 ) 已知数列 { a n } 是递增的等比数列， a 1 ＋ a 4 ＝ 9 ， a 2 a 3 ＝ 8 ，则数列 { a n } 的前 n 项和等于 ________. 解析　 由等比数列性质知 a 2 a 3 ＝ a 1 a 4 ，又 a 2 a 3 ＝ 8 ， a 1 ＋ a 4 ＝ 9 ， 又数列 { a n } 为递增数列， ∴ a 1 ＝ 1 ， a 4 ＝ 8 ，从而 a 1 q 3 ＝ 8 ， ∴ q ＝ 2. 2 n － 1 1 2 3 4 3. (2014· 广东 ) 若等比数列 { a n } 的各项均为正数，且 a 10 a 11 ＋ a 9 a 12 ＝ 2e 5 ，则 ln a 1 ＋ ln a 2 ＋ … ＋ ln a 20 ＝ ______. 解析　 因为 a 10 a 11 ＋ a 9 a 12 ＝ 2 a 10 a 11 ＝ 2e 5 ， 所以 a 10 a 11 ＝ e 5 . 所以 ln a 1 ＋ ln a 2 ＋ … ＋ ln a 20 ＝ ln( a 1 a 2 … a 20 ) ＝ ln [ ( a 1 a 20 )·( a 2 a 19 )· … ·( a 10 a 11 ) ] ＝ ln( a 10 a 11 ) 10 ＝ 10ln( a 10 a 11 ) ＝ 10ln e 5 ＝ 50ln e ＝ 50. 50 1 2 3 4 4. (2013· 江西 ) 某住宅小区计划植树不少于 100 棵，若第一天植 2 棵，以后每天植树的棵数是前一天的 2 倍，则需要的最少天数 n ( n ∈ N * ) 等于 ________. 解析　 每天植树棵数构成等比数列 { a n } ， 即 2 n ＋ 1 ≥ 102. ∴ n ≥ 6 ， ∴ 最少天数 n ＝ 6. 6 考情考向分析 1. 等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现 . 2. 数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点，考查分析问题、解决问题的综合能力 . 热点一　等差数列、等比数列的运算 热点分类突破 1. 通项公式 等差数列： a n ＝ a 1 ＋ ( n － 1) d ； 等比数列： a n ＝ a 1 · q n － 1 . 2. 求和公式 3. 性质 若 m ＋ n ＝ p ＋ q ， 在等差数列中 a m ＋ a n ＝ a p ＋ a q ； 在等比数列中 a m · a n ＝ a p · a q . 例 1 　 (1) 设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n . 若 a 1 ＝－ 11 ， a 4 ＋ a 6 ＝－ 6 ，则当 S n 取最小值时， n ＝ ________. 解析　 设该数列的公差为 d ， 则 a 4 ＋ a 6 ＝ 2 a 1 ＋ 8 d ＝ 2 × ( － 11) ＋ 8 d ＝－ 6 ，解得 d ＝ 2 ， 所以当 S n 取最小值时， n ＝ 6 . 6 (2) 已知等比数列 { a n } 公比为 q ，其前 n 项和为 S n ，若 S 3 ， S 9 ， S 6 成等差数列，则 q 3 ＝ ________. 解析　 若 q ＝ 1 ，则 3 a 1 ＋ 6 a 1 ＝ 2 × 9 a 1 ， 得 a 1 ＝ 0 ，矛盾，故 q ≠ 1. 思维升华 在进行等差 ( 比 ) 数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于 a 1 和 d ( q ) 的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量 . 跟踪演练 1 　 (1) (2015· 浙江 ) 已知 { a n } 是等差数列，公差 d 不为零 . 若 a 2 ， a 3 ， a 7 成等比数列，且 2 a 1 ＋ a 2 ＝ 1 ，则 a 1 ＝ ________ ， d ＝ ________. ∵ 2 a 1 ＋ a 2 ＝ 1 ， ∴ 2 a 1 ＋ a 1 ＋ d ＝ 1 ，即 3 a 1 ＋ d ＝ 1 ， － 1 解析　 在等比数列中， ( a 1 ＋ a 2 ) q 2 ＝ a 3 ＋ a 4 ， 即 q 2 ＝ 2 ，所以 a 2 011 ＋ a 2 012 ＋ a 2 013 ＋ a 2 014 ＝ ( a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＋ a 4 ) q 2 010 ＝ 3 × 2 1 005 ， 1 005 热点二　等差数列、等比数列的判定与证明 数列 { a n } 是等差数列或等比数列的证明方法 (1) 证明数列 { a n } 是等差数列的两种基本方法： ① 利用定义，证明 a n ＋ 1 － a n ( n ∈ N * ) 为一常数； ② 利用中项性质，即证明 2 a n ＝ a n － 1 ＋ a n ＋ 1 ( n ≥ 2). (2) 证明 { a n } 是等比数列的两种基本方法： 例 2 　 (2014· 大纲全国 ) 数列 { a n } 满足 a 1 ＝ 1 ， a 2 ＝ 2 ， a n ＋ 2 ＝ 2 a n ＋ 1 － a n ＋ 2. (1) 设 b n ＝ a n ＋ 1 － a n ，证明： { b n } 是等差数列； 证明　 由 a n ＋ 2 ＝ 2 a n ＋ 1 － a n ＋ 2 得 a n ＋ 2 － a n ＋ 1 ＝ a n ＋ 1 － a n ＋ 2 ， 即 b n ＋ 1 ＝ b n ＋ 2. 又 b 1 ＝ a 2 － a 1 ＝ 1 ， 所以 { b n } 是首项为 1 ，公差为 2 的等差数列 . (2) 求 { a n } 的通项公式 . 解　 由 (1) 得 b n ＝ 1 ＋ 2( n － 1) ＝ 2 n － 1 ， 即 a n ＋ 1 － a n ＝ 2 n － 1. ∴ a n － a n － 1 ＝ 2 n － 3 ， a n － 1 － a n － 2 ＝ 2 n － 5 ， …… a 2 － a 1 ＝ 1 ， 累加得 a n ＋ 1 － a 1 ＝ n 2 ，即 a n ＋ 1 ＝ n 2 ＋ a 1 . 又 a 1 ＝ 1 ，所以 { a n } 的通项公式为 a n ＝ n 2 － 2 n ＋ 2. 思维升华 (1) 判断一个数列是等差 ( 比 ) 数列，也可以利用通项公式及前 n 项和公式，但不能作为证明方法 . (2) 已知数列 { a n } 中， a 1 ＝ 1 ， a n ＋ 1 ＝ 2 a n ＋ 3 ，则 a n ＝ ________. 解析　 由已知可得 a n ＋ 1 ＋ 3 ＝ 2( a n ＋ 3) ， 又 a 1 ＋ 3 ＝ 4 ， 故 { a n ＋ 3} 是以 4 为首项， 2 为公比的等比数列 . ∴ a n ＋ 3 ＝ 4 × 2 n － 1 ， ∴ a n ＝ 2 n ＋ 1 － 3. 2 n ＋ 1 － 3 热点三　等差数列、等比数列的综合问题 解决等差数列、等比数列的综合问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系；数列与不等式、函数、方程的交汇问题，可以结合数列的单调性、最值求解 . 例 3 　 已知等差数列 { a n } 的公差为－ 1 ，且 a 2 ＋ a 7 ＋ a 12 ＝－ 6. (1) 求数列 { a n } 的通项公式 a n 与前 n 项和 S n ； 解　 由 a 2 ＋ a 7 ＋ a 12 ＝－ 6 得 a 7 ＝－ 2 ， ∴ a 1 ＝ 4 ， (2) 将数列 { a n } 的前 4 项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列 { b n } 的前 3 项，记 { b n } 的前 n 项和为 T n ，若存在 m ∈ N * ，使对任意 n ∈ N * ，总有 S n < T m ＋ λ 恒成立，求实数 λ 的取值范围 . 解　 由题意知 b 1 ＝ 4 ， b 2 ＝ 2 ， b 3 ＝ 1 ， ∴ { T m } 为递增数列，得 4 ≤ T m <8. 故 ( S n ) max ＝ S 4 ＝ S 5 ＝ 10 ， 若存在 m ∈ N * ，使对任意 n ∈ N * 总有 S n < T m ＋ λ ， 则 10<4 ＋ λ ，得 λ >6 . 即 实数 λ 的取值范围为 (6 ，＋ ∞ ). 思维升华 (1) 等差数列与等比数列交汇的问题，常用 “ 基本量法 ” 求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便 . (2) 数列的项或前 n 项和可以看作关于 n 的函数，然后利用函数的性质求解数列问题 . (3) 数列中的恒成立问题可以通过分离参数，通过求数列的值域求解 . (1) 求数列 { a n } 的通项公式 ； 解　 设等比数列 { a n } 的公比为 q ， 因为 S 3 ＋ a 3 ， S 5 ＋ a 5 ， S 4 ＋ a 4 成等差数列， 所以 S 5 ＋ a 5 － S 3 － a 3 ＝ S 4 ＋ a 4 － S 5 － a 5 ，即 4 a 5 ＝ a 3 ， 故等比数列 { a n } 的通项公式 为 当 n 为奇数时， S n 随 n 的增大而减小， 当 n 为偶数时， S n 随 n 的增大而增大， 高考押题精练 1 2 3 4 1. 设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且 a 1 >0 ， a 3 ＋ a 10 >0 ， a 6 a 7 <0 ，则满足 S n >0 的最大自然数 n 的值为 ________. 押题依据　 等差数列的性质和前 n 项和是数列最基本的知识点，也是高考的热点，可以考查学生灵活变换的能力 . 1 2 3 4 解析　 ∵ a 1 >0 ， a 6 a 7 <0 ， ∴ a 6 >0 ， a 7 <0 ，等差数列的公差小于零 ， 又 a 3 ＋ a 10 ＝ a 1 ＋ a 12 >0 ， a 1 ＋ a 13 ＝ 2 a 7 <0 ， ∴ S 12 >0 ， S 13 <0 ， ∴ 满足 S n >0 的最大自然数 n 的值为 12. 答案　 12 1 2 3 4 2. 已知等比数列 { a n } 中， a 4 ＋ a 6 ＝ 10 ，则 a 1 a 7 ＋ 2 a 3 a 7 ＋ a 3 a 9 ＝ ________. 押题依据　 等比数列基本量的计算和等比数列的性质是近几年高考的热点，反映了解题中的整体化思想 . 1 2 3 4 所以 a 1 a 7 ＋ 2 a 3 a 7 ＋ a 3 a 9 ＝ ( a 4 ＋ a 6 ) 2 ＝ 10 2 ＝ 100. 答案　 100 1 2 3 4 押题依据　 等差数列、等比数列的综合问题可反映知识运用的综合性和灵活性，是高考出题的重点 . 1 2 3 4 解析　 设等差数列 { a n } 的公差为 d ， 所以 b 7 ＝ a 7 ＝ 2. 答案　 4 1 2 3 4 押题依据　 本题在数列、方程、不等式的交汇处命题，综合考查学生应用数学的能力，是高考命题的方向 . 解析　 由 a 7 ＝ a 6 ＋ 2 a 5 ，得 a 1 q 6 ＝ a 1 q 5 ＋ 2 a 1 q 4 ，整理有 q 2 － q － 2 ＝ 0 ， 1 2 3 4 解得 q ＝ 2 或 q ＝－ 1( 与条件中等比数列的各项都为正数矛盾，舍去 ) ， 1 2 3 4