【数学】黑龙江省大庆市第四中学2020届高三4月月考试题（理） 13页

黑龙江省大庆市第四中学2020届高三4月月考 数学试题（理）‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若集合，集合，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.若，则复数在复平面上对应的点在（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3.已知是等差数列的前n项和，，则S11=( )‎ A.66 B.55 C.44 D.33‎ ‎4. 在,,则的值为( ) ‎ A． B． C． D．‎ ‎5.函数的图象大致为( )‎ ‎6. 已知点是抛物线上的一个动点，则点到点（0，2）的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为 （ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎7. 已知则 （ ）‎ A．　 B． C．　　 D． ‎ ‎8.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径。“开立圆术”相当于给出了已知球的体积，求其直径 的一个近似公式。人们还用过一些类似的近似公式。根据判断，下列近似公式中最精确的一个是( )‎ ‎9.已知数列{an}的前n项和Sn，且满足an＋Sn＝1，则＋＋＋…＋＝( 　)‎ A．1 013 B．1 022 C．2 036 D．2 037‎ ‎10.已知函数，若方程在上有且只有四个实数根，则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知为坐标原点，双曲线的右焦点F，以OF为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点A、B，若，双曲线的离心率为( ) ‎ A．2 B．3 C． D．‎ ‎12.设函数与有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b的最大值为( )‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.‎ ‎13.已知，若，则实数t= . ‎ ‎14.已知点P(x，y)在不等式组表示的平面区域内运动，则的最小值为________.‎ ‎15.已知圆O：x2 + y2 = 1，直线x - 2y + 5 = 0上动点P，过点P作圆O的一条切线，切点为A，则的最小值为_________.‎ ‎16.如图（1），在等腰直角△ABC中，斜边AB=4，D为AB的中点，将△ACD沿CD 折叠得到如图（2）所示的三棱锥C-A'BD，若三棱锥C-A'BD的外接球的半径为，则∠A'DB=______．‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.‎ ‎17．（本小题12分）‎ 如图，在中，是边上一点．‎ ‎（1）求面积的最大值； ‎ ‎（2）若的面积为4，为锐角，求的长．‎ ‎18．（本小题12分）‎ 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB=AA1，∠BAA1=∠BAC=60°，点O是线段AB的中点．‎ ‎（1）证明：BC1∥平面OA1C；‎ ‎（2）若AB=2，A1C=，求二面角A﹣BC﹣A1的余弦值．‎ ‎19．（本小题12分） ‎ 某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元），如图所示：‎ ‎（1）现从去年的消费金额超过3200元的消费者中随机抽取2人，求至少有1位消费者其去年的消费者金额在的范围内的概率；‎ ‎（2）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制，详情如下表：‎ 预计去年消费金额在内的消费者今年都将会申请办理普通会员，消费金额在内的消费者都将会申请办理银卡会员，消费金额在内的消费者都将会申请办理金卡会员，消费者在申请办理会员时，需一次性缴清相应等级的消费金额，该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动，现有如下两种预设方案：‎ 方案1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”给予奖励：‎ 普通会员中的“幸运之星”每人奖励500元；银卡会员中的“幸运之星”每人奖励600元；金卡会员中的“幸运之星”每人奖励800元.‎ 方案二：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有3个白球、2个红球（球只有颜色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球，若摸到红球的总数为2，则可获得200元奖励金；若摸到红球的总数为3，则可获得300元奖励金；其他情况不给予奖励. 规定每位普通会员均可参加1次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加2次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加3次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立）‎ 请你预测哪一种返利活动方案该健身机构的投资较少？并说明理由.‎ ‎20．（本题满分12分）‎ 已知椭圆C:的两个焦点为F1,F2，焦距为，直线：与椭圆C 相交于A，B两点，P为弦AB的中点 ‎(1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)若直线与椭圆C相交于不同的两点M，N，点Q(0，m)，若(O为坐标原点)，求m的取值范围．‎ ‎21．（本题满分12分）‎ 已知函数 ‎(1)讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若函数与的图象有两个不同的交点求实数的取值范围；‎ 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。‎ ‎22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以 轴正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数，），射线与曲线交于（不包括极点）三点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）当时，两点在曲线上，求与的值．‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）若，解不等式；‎ ‎（2）若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围．‎ 参考答案 一、选择题： ‎ ‎1-12 CDDBD ADCAB CA ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.‎ ‎13-16 -1,-3,4, ‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.‎ ‎17.解：（1）∵在中，，‎ ‎∴由余弦定理，得 ‎，‎ ‎∴，‎ 当且仅当时，取等号，‎ ‎∴,‎ ‎∴的面积的最大值为；‎ ‎（2）设，在中，‎ ‎∵的面积为4，为锐角，‎ ‎∴，‎ ‎∴， ∴，‎ 由余弦定理，得，‎ ‎∴．‎ 由正弦定理，得，∴， ∴，‎ 此时， ∴，‎ ‎∴的长为4．‎ ‎18. 解：‎ ‎ ‎ ‎19．解：（1）去年的消费金额超过3200元的消费者12人，随机抽取2人，消费在的范围内的人数为X，可能取值为1，2; P（X≥1）＝1﹣P（X＝0）＝1，‎ 去年的消费者金额在的范围内的概率为 ‎（2）方案1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”，‎ 则“幸运之星”中的普通会员，银卡会员，金卡会员的人数分别为25＝7，25＝15，25＝3，‎ 按照方案1奖励的总金额为ξ1＝7×500+15×600+3×800＝14900（元）；‎ 方案2：设η表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，则η的可能取值为0，200，300；‎ 由摸到红球的概率为P，‎ ‎∴P（η＝0）••••，P（η＝200）••，‎ P（η＝300）•， η的分布列为：‎ η ‎0‎ ‎200‎ ‎300‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 数学期望为Eη＝020030076.8（元），‎ 按照方案2奖励的总金额为 ξ2＝（28+2×60+3×12）×76.8＝14131.2（元），‎ 由ξ1＞ξ2知，方案2投资较少．‎ ‎20.解：（1）‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵∴‎ ‎∴‎ ‎（2）∵M，Q，N三点共线，，‎ ‎∴，.‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵∴‎ ‎∴∴‎ ‎∴‎ ‎21. 解：‎ ‎22.解：（1）依题意，，‎ 则 ‎；‎ ‎（2）当时，两点的极坐标分别为，化为直角坐标为，‎ 曲线是经过点，且倾斜角为的直线，又因为经过点的直线方程为，‎ 所以．‎ ‎23.解：（1）不等式，化为，‎ 则或或，‎ 解得，‎ ‎∴不等式的解集为；‎ ‎（2）不等式等价于，‎ 即，又，‎ 若存在实数，使得不等式成立，‎ 则，解得，‎ ‎∴实数的取值范围是．‎