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- 2021-06-16 发布
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南阳一中2019年秋期高三第二次开学考试
理数试题
考生注意:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分。考试时间120分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上,
3.本试卷主要考试内容:高考全部内容。
第Ⅰ卷
一、选择题:本大通共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,则()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】
解一元二次不等式求得集合,求对数型函数定义域求得集合,进而求得两个集合的交集.
【详解】因为,,所以.故选C.
【点睛】本题考查集合的交集运算,考查运算求解能力,属于基础题.
2.设复数在复平面内对应的点为,,若复数z的实部为1,则()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设,代入,用复数乘法运算进行化简,根据复数的实部为求得正确选项.
【详解】因为,,所以
.故选D.
【点睛】本题考查复数的四则运算及实部的概念,考查运算求解能力,属于基础题.
3.已知,,,则a,b,c的大小关系为()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
采用“”分段法,找到小于、在之间和大于的数,由此判断出三者的大小关系.
【详解】因为,,,所以.故选B.
【点睛】本题考查指数与对数值的大小比较,考查运算求解能力,属于基础题.
4.函数的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求得函数的定义域,然后判断出函数为奇函数,再用特殊值确定正确选项.
【详解】首先函数的定义域为,且,所以函数为奇函数,图象应该关于原点对称,排除C和D,当时,,故A正确
【点睛】本题考查函数的图象与性质,考查推理论证能力,属于基础题.
5.如图,四边形为正方形,为等腰直角三角形,F为线段的中点,设向量,,则()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
作,垂足为G,利用平面向量的线性运算用表示出,由此确定正确选项.
【详解】作,垂足为G,如下图所示,则,又,,所以.故选C.
【点睛】本题考查平面向量的线性表示,考查化归与转化的数学思想,属于基础题.
6.执行如图所示的程序框图,如果输入的,那么输出的()
A. 167 B. 168 C. 104 D. 105
【答案】B
【解析】
【分析】
通过分析得出程序框图所计算数值为数列的前6项和,利用分组求和法求得输出的值.
【详解】这个程序框图表示计算数列的前6项和,所以
.
故选B.
【点睛】本题考查算法与程序框图,考查运算求解能力,考查分组求和法,属于中档题.
7.在长方体中,,,,点O为长方形
对角线交点,E为棱的中点,则异面直线与所成的角为()
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
【答案】C
【解析】
【分析】
通过三角形中位线平移直线,作出线线角,解直角三角形求得线线角的正切值,由此求得线线角的大小.
【详解】连接,如下图所示,因为OE为的中位线,所以,所以为异面直线与OE所成的角在中,,CD=3,所以,.
故选C
【点睛】本题考查几何体中点、线、面的位置关系以及夹角问题,考查空间想象能力和运算求解能力,属于基础题.
8.十二生肖,又称十二属相,中国古人拿十二种动物来配十二地支,组成子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪十二属相.现有十二生肖吉祥物各一件,甲、乙、丙三位同学一次随机抽取一件作为礼物,甲同学喜欢马、牛,乙同学喜欢马、龙、狗,丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢,则这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
基本事件总数,这三位同学抽取的礼物都喜欢包含的基本事件个数,由此能求出这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率.
【详解】解:现有十二生肖吉祥物各一件,甲、乙、丙三位同学依次随机抽取一件作为礼物,
甲同学喜欢马、牛,乙同学喜欢马、龙、狗,丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢,
基本事件总数,
这三位同学抽取的礼物都喜欢包含的基本事件个数,
这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率是.
故选.
【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题.
9.若函数的图象上存在与直线垂直的切线,则实数a的取值范围是()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设出切点坐标,根据两条直线垂直斜率的关系求得切线的斜率,令的导数等于这个斜率建立方程,分离常数后利用函数的值域求得的取值范围.
【详解】设切点为,切线的斜率为,由,得,所以,而,所以.
故选B.
【点睛】本题考查导数的几何意义,考查推理论证能力,属于中档题.
10.从A地到B地有三条路线:1号路线,2号路线,3号路线.小王想自驾从A地到B地,因担心堵车,于是向三位司机咨询,司机甲说:“2号路线不堵车,3号路线不堵车,”司机乙说:“1号路线不堵车,2号路线不堵车,”司机丙说:“1号路线堵车,2号路线不堵车.”如果三位司机只有一位说法是完全正确的,那么小王最应该选择的路线是()
A. 1号路线 B. 2号路线 C. 3号路线 D. 2号路线或3号路线
【答案】B
【解析】
【分析】
分别假设甲、乙、丙说得对,分析出有矛盾的说法,由此得出正确结论.
【详解】①若甲说得对,则2号路线,3号路线都不堵,由于乙是错误的,所以1号路线堵车,这样丙也说得对,这与只有一人说法正确矛盾;
②若乙说得对,则1号路线,2号路线都不堵,由于甲是错误的,所以3号路线堵车,此时丙也是错误的,符合条件;
③若丙说得对,则1号路线堵车,2号路线不堵,由于甲是错误的,所以3号路线堵车,此时乙也是错误的,符合条件综上所述,由于②③中都有2号路线不堵,所以小王最应该选择2号路线.
故选B.
【点睛】本题考查逻辑与推理,考查推理论证能力和创新意识,属于基础题.
11.已知抛物线的焦点为F,过点F作直线l交抛物线于M,N两点,则的最小值为()
A. 2 B. 1 C. 5 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求得抛物线焦点坐标,设出的坐标和直线的方程,将直线方程代入抛物线方程,化简后写出韦达定理,利用抛物线的定义化简,然后用基本不等式求出最小值.
【详解】由题意知,抛物线的焦点坐标为,设,,,代入抛物线方程可得,所以,,所以
,又因为,由抛物线的性质可得,,故
,
由可得,从而有,所以
,
当且仅当时取等号
故选D.
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系,考查运算求解能力和推理论证能力,考查基本不等式求最值的方法,属于中档题.
12.设数列的前n项和为,且满足,,用表示不超过x的最大整数,设,数列的前2n项和为,则使成立的最小正整数n是()
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】
利用求得数列的通项公式以及前项和,利用二项式展开式化简,求得,利用分组求和法求得数列的前2n项和,由此求得使成立的最小正整数的值.
【详解】令,得,又,解得,,又,,所以,又,可求得,.所以
,
即,所以,即
,所以,因此,当时,;当时,.使成立的最小正整数n是6.
故选B.
【点睛】本题考查等比数列通项公式及前项和公式,考查分组求和法,考查推理论证能力和创新意识,属于难题.
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在答题卡中的横线上.
13.已知函数,将的图象上所有的点向左平移个单位长度得到的图象,则函数的最小正周期是______,最大值是______.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
利用用降次公式化简解析式,左移个单位得到的解析式,化简的表达式为的形式,由此求得其最小正周期和最大值.
【详解】因为,左移个单位得到,所以,所以,最大值为.
故填:(1);(2).
【点睛】本题考查三角函数降次公式,三角函数图像变换,辅助角公式,三角函数周期性和最值的求法,考查运算求解能力,属于中档题.
14.设是公差不为0的等差数列的前n项和,且,则______.
【答案】18
【解析】
【分析】
将已知已知转化为形式,化简后求得,利用等差数列前公式化简,由此求得表达式的值.
【详解】因为,所以.
故填:.
【点睛】本题考查等差数列基本量的计算,考查等差数列的性质以及求和,考查运算求解能力,属于基础题.
15.“三个臭皮匠,赛过诸葛亮”,这是我们常说的口头禅,主要是说集体智慧的强大.假设李某智商较高,他独自一人解决项目的概率为;同时,有个水平相同的人也在研究项目,他们各自独立的解决项目的概率都是0.5.现在李某单独研究项目,且这个人组成的团队也同时研究项目,且这个人研究项目的结果相互独立.设这个人团队解决项目的概率为,若,则的最小值是_____.
【答案】4
【解析】
【分析】
这个人组成的团队不能解决项目的概率为,所以,所以,解不等式即可.
【详解】解:依题意,这个人组成的团队不能解决项目的概率为,
所以,
所以,即,
解得,
故答案为4
【点睛】本题考查了相互独立事件的概率乘法公式,指数不等式的解法,属于基础题.
16.已知双曲线的左、右焦点分别为,,点A是双曲线右支上的一点,若直线与直线平行且的周长为9a,则双曲线的离心率为______.
【答案】2
【解析】
【分析】
利用双曲线的定义和三角形的周长列方程,用表示出,,结合求得并化简,由此解出离心率.
【详解】如图,设,,则,解得,因为直线与直线平行,所以,所以,所以,把,代入上式得,所以,得.
故填:2.
【点睛】本题考查双曲线的几何性质,考查双曲线离心率的求法,考查化归与转化的数学思想与运算求解能力,属于中档题..
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分.
17.已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
(1)求角C;
(2)若,求当的面积最大时a,b的长,并求出最大面积.
【答案】(1)(2)当时,的面积的最大值为
【解析】
【分析】
(1)利用余弦定理化简已知条件,求得的值,进而求得角的大小.(2)利用余弦定理和基本不等式求得的最大值,进而根据三角形面积公式求得三角形面积的最大值.
【详解】解:(1)因为,所以,所以,所以.
(2)由,得,所以,当且仅当时取等号,所以的面积,当且仅当
时取等号,即当时,的面积的最大值为.
【点睛】本小题主要考查利用余弦定理解三角形,考查三角形的面积公式,考查利用基本不等式求最大值,属于中档题.
18.如图,已知四棱锥的底面是梯形,,,且,.
(1)若O为的中点,证明:平面.
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)详见解析(2)
【解析】
【分析】
(1)通过证得,连接,通过勾股定理计算证明证得,由此证得平面.(2)以D为原点建立空间直角坐标系,利用平面和平面的的法向量,计算出二面角的余弦值.
【详解】(1)证明:因为,,所以,,又,O为AC的中点,所以,,连接OD,在中,O为AC的中点所以,因为,所以,又,所以平面ABCD.
(2)解:如图,以D为原点,别以DA,DC所在直线为x轴,y轴建立空间直角坐标系,则,,,,,设平面BCP的一个法向量为,由,得,令,可得
,又平面BCD的一个法向量为,易知二面角为锐角,设其为,则.
【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明,考查利用空间向量法计算二面角的余弦值,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.
19.设椭圆的左、右顶点分别为,,上顶点为B,右焦点为F,已知直线的倾斜角为120°,.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设P为椭圆C上不同于,的一点,O为坐标原点,线段的垂直平分线交于M点,过M且垂直于的直线交y轴于Q点,若,求直线的方程.
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
(1)利用直线的倾斜角、的值列方程,结合,求得的值,进而求得椭圆的方程.(2)设出直线的方程,由此求得点坐标,由此求得直线的方程,进而求得点坐标,联立直线的方程和椭圆方程,求得点坐标,将转化为两条直线斜率乘积等于列方程,解方程求得直线的斜率,进而求得直线的方程.
【详解】解:(1)设焦距为2c,因为直线BF的倾斜角为120°,所以,即,又因为,所以,即,代入,并化简得,解得,所以,,椭圆C的方程为.
(2)设,直线的方程为,令,得,即,则,直线,令,得,联立方程组,并消去y得,由,得,把代入,得,得.又,则,同理,,所以,解得,所以直线的方程为.
【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质,考查椭圆标准方程的求法,考查直线和椭圆的交点坐标的求法,考查直线垂直时斜率的关系,考查直线的点斜式方程,考查运算求解能力,属于中档题.
20.2019超长“三伏”来袭,虽然大部分人都了解“伏天”不宜吃生冷食物,但随着气温的不断攀升,仍然无法阻挡冷饮品销量的暴增.现在,某知名冷饮品销售公司通过随机抽样的方式,得到其100家加盟超市3天内进货总价的统计结果如下表所示:
组别(单位:百元)
频数
3
11
20
27
26
13
(1)由频数分布表大致可以认为,被抽查超市3天内进货总价,μ近似为这100家超市3天内进货总价的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表),利用正态分布,求;
(2)在(1)的条件下,该公司为增加销售额,特别为这100家超市制定如下抽奖方案:
①令m表示“超市3天内进货总价超过μ的百分点”,其中.若,则该超市获得1次抽奖机会;,则该超市获得2次抽奖机会;,则该超市获得3次抽奖机会;,则该超市获得4次抽奖机会;,则该超市获得5次抽奖机会;,则该超市获得6次抽奖机会.另外,规定3天内进货总价低于μ的超市没有抽奖机会;
②每次抽奖中奖获得的奖金金额为1000元,每次抽奖中奖的概率为.
设超市A参加了抽查,且超市A在3天内进货总价百元.记X(单位:元)表示超市A获得的奖金总额,求X的分布列与数学期望.
附参考数据与公式:,若,则,,.
【答案】(1)(2)详见解析
【解析】
【分析】
(1)利用频数分布表,计算出平均数,根据题目所给参考数据求得,根据正态分布的对称性以及题目所给参考数据,求得指定区间的概率.(2)先计算出的值,由此确定抽奖次数,根据二项分布概率计算公式,计算出概率,结合抽奖中奖获得的奖金金额求得分布列和数学期望.
【详解】解:(1)由题意得
,因为,
所以,
,
所以,,
,
所以,,
(2)因为,所以,
所以,超市A获得4次抽奖机会,
从而,X的可能取值为0,1000,2000,3000,4000,
又因为每次抽奖不中的概率为,所以
,,,
,.
所以,X的分布列为
X
0
1000
2000
3000
4000
P
所以,X的数学期望为元.
【点睛】本小题主要考查利用样本均值估计正态分布均值,考查正态分布对称性的应用,考查二项分布概率计算公式,考查实际问题的期望计算.
21.已知函数.
(1)证明:当时,有且仅有一个零点.
(2)当,函数的最小值为,求函数的值域.
【答案】(1)详见解析(2)
【解析】
【分析】
(1)利用导数求得函数的单调区间和最小值,结合零点存在性定理,证得结论成立.(2)先求得得到解析式和导函数.根据(1)的结论,求得导函数的零点,根据将转化为的形式,进而求得最小值的表达式,利用构造函数法和导数作为工具,求得最小值的取值范围,进而求得的取值范围.
【详解】(1)证明:因为,所以.
令,解得;令,解得,则在区间上单调递减,在上单调递增,故,因为,所以,所以当时,,故在上没有零点,因为,所以当时,,因为在上单调递增,所以有且仅有一个零点综上,当时,有且仅有一个零点.
(2)解:因为,所以.
由(1)知当时,有且仅有一个零点,因为,,所以存在唯一,使得,且当时,;当时,.
故在区间上单调递减,在上单调递增,所以
,又,即,代入上式得,
,,设函数,,则在上单调递减,故
,因为函数在上单调递减,故对任意,存在唯一的,,使得,所以的值域是,综上,当时,函数的最小值的值域为
【点睛】本小题主要考查利用导数求解有关函数零点个数问题,考查利用导数研究函数的单调区间和最值,考查化归与转化的数学思想方法,综合性较强,属于难题.
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22.在直角坐标系中,直线l的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程.
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,为直线l上一点,求.
【答案】(1)直线l的普通方程为,曲线C的直角坐标方程为(2)
【解析】
【分析】
(1)利用加减消元法消去参数,求得直线的普通方程,利用两角和的余弦公式以及极坐标和直角坐标相互转化的公式,求得曲线的直角坐标方程.(2)写出直线标准参数方程,代入曲线的直角坐标方程,写出韦达定理,根据直线参数方程中参数的几何意义求得所求表达式的值.
【详解】解:(1)直线l的普通方程为,曲线C的直角坐标方程为.
(2)将直线l的参数方程化为(t为参数),代入曲线C的方程,得,所以,,所以.
【点睛】本小题主要考查参数方程转化为普通方程,考查极坐标方程转化为直角坐标方程的方法,考查直线参数方程中参数的几何意义的运用,属于中档题.
23.已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)若不等式对成立,求实数a的取值范围.
【答案】(1),或(2)
【解析】
【分析】
(1)利用零点分段法去绝对值符号,由此解出不等式的解集.(2)将不等式等价变形为,利用绝对值不等式求得的最小值,进而求得的取值范围.
【详解】解:(1)当时,不等式可化为,解得,故;当时,不等式可化为,解得,故,当时,不等式可化为,解得,故,综上可得,原不等式的解集为,或.
(2),即,
因为,所以,即实数a的取值范围是
【点睛】本小题主要考查零点分段法求解含有绝对值的不等式,考查绝对值三角不等式,考查不等式恒成立问题的求解策略,考查分类讨论的数学思想方法,属于中档题.