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  • 2021-06-16 发布

河南省南阳市第一中学2020届高三上学期开学考试数学(理)试题

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南阳一中2019年秋期高三第二次开学考试 理数试题 考生注意:‎ ‎1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分。考试时间120分钟。‎ ‎2.请将各题答案填写在答题卡上,‎ ‎3.本试卷主要考试内容:高考全部内容。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题:本大通共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合,,则()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 解一元二次不等式求得集合,求对数型函数定义域求得集合,进而求得两个集合的交集.‎ ‎【详解】因为,,所以.故选C.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交集运算,考查运算求解能力,属于基础题.‎ ‎2.设复数在复平面内对应的点为,,若复数z的实部为1,则()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设,代入,用复数乘法运算进行化简,根据复数的实部为求得正确选项.‎ ‎【详解】因为,,所以 ‎.故选D.‎ ‎【点睛】本题考查复数的四则运算及实部的概念,考查运算求解能力,属于基础题.‎ ‎3.已知,,,则a,b,c的大小关系为()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 采用“”分段法,找到小于、在之间和大于的数,由此判断出三者的大小关系.‎ ‎【详解】因为,,,所以.故选B.‎ ‎【点睛】本题考查指数与对数值的大小比较,考查运算求解能力,属于基础题.‎ ‎4.函数的部分图象大致为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得函数的定义域,然后判断出函数为奇函数,再用特殊值确定正确选项.‎ ‎【详解】首先函数的定义域为,且,所以函数为奇函数,图象应该关于原点对称,排除C和D,当时,,故A正确 ‎【点睛】本题考查函数的图象与性质,考查推理论证能力,属于基础题.‎ ‎5.如图,四边形为正方形,为等腰直角三角形,F为线段的中点,设向量,,则()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作,垂足为G,利用平面向量的线性运算用表示出,由此确定正确选项.‎ ‎【详解】作,垂足为G,如下图所示,则,又,,所以.故选C.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的线性表示,考查化归与转化的数学思想,属于基础题.‎ ‎6.执行如图所示的程序框图,如果输入的,那么输出的()‎ A. 167 B. 168 C. 104 D. 105‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过分析得出程序框图所计算数值为数列的前6项和,利用分组求和法求得输出的值.‎ ‎【详解】这个程序框图表示计算数列的前6项和,所以 ‎.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查算法与程序框图,考查运算求解能力,考查分组求和法,属于中档题.‎ ‎7.在长方体中,,,,点O为长方形 对角线交点,E为棱的中点,则异面直线与所成的角为()‎ A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过三角形中位线平移直线,作出线线角,解直角三角形求得线线角的正切值,由此求得线线角的大小.‎ ‎【详解】连接,如下图所示,因为OE为的中位线,所以,所以为异面直线与OE所成的角在中,,CD=3,所以,.‎ 故选C ‎【点睛】本题考查几何体中点、线、面的位置关系以及夹角问题,考查空间想象能力和运算求解能力,属于基础题.‎ ‎8.十二生肖,又称十二属相,中国古人拿十二种动物来配十二地支,组成子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪十二属相.现有十二生肖吉祥物各一件,甲、乙、丙三位同学一次随机抽取一件作为礼物,甲同学喜欢马、牛,乙同学喜欢马、龙、狗,丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢,则这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 基本事件总数,这三位同学抽取的礼物都喜欢包含的基本事件个数,由此能求出这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率.‎ ‎【详解】解:现有十二生肖吉祥物各一件,甲、乙、丙三位同学依次随机抽取一件作为礼物,‎ 甲同学喜欢马、牛,乙同学喜欢马、龙、狗,丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢,‎ 基本事件总数,‎ 这三位同学抽取的礼物都喜欢包含的基本事件个数,‎ 这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率是.‎ 故选.‎ ‎【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题.‎ ‎9.若函数的图象上存在与直线垂直的切线,则实数a的取值范围是()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出切点坐标,根据两条直线垂直斜率的关系求得切线的斜率,令的导数等于这个斜率建立方程,分离常数后利用函数的值域求得的取值范围.‎ ‎【详解】设切点为,切线的斜率为,由,得,所以,而,所以.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义,考查推理论证能力,属于中档题.‎ ‎10.从A地到B地有三条路线:1号路线,2号路线,3号路线.小王想自驾从A地到B地,因担心堵车,于是向三位司机咨询,司机甲说:“2号路线不堵车,3号路线不堵车,”司机乙说:“1号路线不堵车,2号路线不堵车,”司机丙说:“1号路线堵车,2号路线不堵车.”如果三位司机只有一位说法是完全正确的,那么小王最应该选择的路线是()‎ A. 1号路线 B. 2号路线 C. 3号路线 D. 2号路线或3号路线 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别假设甲、乙、丙说得对,分析出有矛盾的说法,由此得出正确结论.‎ ‎【详解】①若甲说得对,则2号路线,3号路线都不堵,由于乙是错误的,所以1号路线堵车,这样丙也说得对,这与只有一人说法正确矛盾;‎ ‎②若乙说得对,则1号路线,2号路线都不堵,由于甲是错误的,所以3号路线堵车,此时丙也是错误的,符合条件;‎ ‎③若丙说得对,则1号路线堵车,2号路线不堵,由于甲是错误的,所以3号路线堵车,此时乙也是错误的,符合条件综上所述,由于②③中都有2号路线不堵,所以小王最应该选择2号路线.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查逻辑与推理,考查推理论证能力和创新意识,属于基础题.‎ ‎11.已知抛物线的焦点为F,过点F作直线l交抛物线于M,N两点,则的最小值为()‎ A. 2 B. 1 C. 5 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得抛物线焦点坐标,设出的坐标和直线的方程,将直线方程代入抛物线方程,化简后写出韦达定理,利用抛物线的定义化简,然后用基本不等式求出最小值.‎ ‎【详解】由题意知,抛物线的焦点坐标为,设,,,代入抛物线方程可得,所以,,所以 ‎,又因为,由抛物线的性质可得,,故 ‎,‎ 由可得,从而有,所以 ‎,‎ 当且仅当时取等号 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系,考查运算求解能力和推理论证能力,考查基本不等式求最值的方法,属于中档题.‎ ‎12.设数列的前n项和为,且满足,,用表示不超过x的最大整数,设,数列的前2n项和为,则使成立的最小正整数n是()‎ A. 5 B. 6 C. 7 D. 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用求得数列的通项公式以及前项和,利用二项式展开式化简,求得,利用分组求和法求得数列的前2n项和,由此求得使成立的最小正整数的值.‎ ‎【详解】令,得,又,解得,,又,,所以,又,可求得,.所以 ‎,‎ 即,所以,即 ‎,所以,因此,当时,;当时,.使成立的最小正整数n是6.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列通项公式及前项和公式,考查分组求和法,考查推理论证能力和创新意识,属于难题.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在答题卡中的横线上.‎ ‎13.已知函数,将的图象上所有的点向左平移个单位长度得到的图象,则函数的最小正周期是______,最大值是______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用用降次公式化简解析式,左移个单位得到的解析式,化简的表达式为的形式,由此求得其最小正周期和最大值.‎ ‎【详解】因为,左移个单位得到,所以,所以,最大值为.‎ 故填:(1);(2).‎ ‎【点睛】本题考查三角函数降次公式,三角函数图像变换,辅助角公式,三角函数周期性和最值的求法,考查运算求解能力,属于中档题.‎ ‎14.设是公差不为0的等差数列的前n项和,且,则______.‎ ‎【答案】18‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将已知已知转化为形式,化简后求得,利用等差数列前公式化简,由此求得表达式的值.‎ ‎【详解】因为,所以.‎ 故填:.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列基本量的计算,考查等差数列的性质以及求和,考查运算求解能力,属于基础题.‎ ‎15.“三个臭皮匠,赛过诸葛亮”,这是我们常说的口头禅,主要是说集体智慧的强大.假设李某智商较高,他独自一人解决项目的概率为;同时,有个水平相同的人也在研究项目,他们各自独立的解决项目的概率都是0.5.现在李某单独研究项目,且这个人组成的团队也同时研究项目,且这个人研究项目的结果相互独立.设这个人团队解决项目的概率为,若,则的最小值是_____.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 这个人组成的团队不能解决项目的概率为,所以,所以,解不等式即可.‎ ‎【详解】解:依题意,这个人组成的团队不能解决项目的概率为,‎ 所以,‎ 所以,即,‎ 解得,‎ 故答案为4‎ ‎【点睛】本题考查了相互独立事件的概率乘法公式,指数不等式的解法,属于基础题.‎ ‎16.已知双曲线的左、右焦点分别为,,点A是双曲线右支上的一点,若直线与直线平行且的周长为9a,则双曲线的离心率为______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用双曲线的定义和三角形的周长列方程,用表示出,,结合求得并化简,由此解出离心率.‎ ‎【详解】如图,设,,则,解得,因为直线与直线平行,所以,所以,所以,把,代入上式得,所以,得.‎ 故填:2.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的几何性质,考查双曲线离心率的求法,考查化归与转化的数学思想与运算求解能力,属于中档题..‎ 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.‎ ‎(一)必考题:共60分.‎ ‎17.已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.‎ ‎(1)求角C;‎ ‎(2)若,求当的面积最大时a,b的长,并求出最大面积.‎ ‎【答案】(1)(2)当时,的面积的最大值为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用余弦定理化简已知条件,求得的值,进而求得角的大小.(2)利用余弦定理和基本不等式求得的最大值,进而根据三角形面积公式求得三角形面积的最大值.‎ ‎【详解】解:(1)因为,所以,所以,所以.‎ ‎(2)由,得,所以,当且仅当时取等号,所以的面积,当且仅当 时取等号,即当时,的面积的最大值为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用余弦定理解三角形,考查三角形的面积公式,考查利用基本不等式求最大值,属于中档题.‎ ‎18.如图,已知四棱锥的底面是梯形,,,且,.‎ ‎(1)若O为的中点,证明:平面.‎ ‎(2)求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)详见解析(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)通过证得,连接,通过勾股定理计算证明证得,由此证得平面.(2)以D为原点建立空间直角坐标系,利用平面和平面的的法向量,计算出二面角的余弦值.‎ ‎【详解】(1)证明:因为,,所以,,又,O为AC的中点,所以,,连接OD,在中,O为AC的中点所以,因为,所以,又,所以平面ABCD.‎ ‎(2)解:如图,以D为原点,别以DA,DC所在直线为x轴,y轴建立空间直角坐标系,则,,,,,设平面BCP的一个法向量为,由,得,令,可得 ‎,又平面BCD的一个法向量为,易知二面角为锐角,设其为,则.‎ ‎【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明,考查利用空间向量法计算二面角的余弦值,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.‎ ‎19.设椭圆的左、右顶点分别为,,上顶点为B,右焦点为F,已知直线的倾斜角为120°,.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)设P为椭圆C上不同于,的一点,O为坐标原点,线段的垂直平分线交于M点,过M且垂直于的直线交y轴于Q点,若,求直线的方程.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用直线的倾斜角、的值列方程,结合,求得的值,进而求得椭圆的方程.(2)设出直线的方程,由此求得点坐标,由此求得直线的方程,进而求得点坐标,联立直线的方程和椭圆方程,求得点坐标,将转化为两条直线斜率乘积等于列方程,解方程求得直线的斜率,进而求得直线的方程.‎ ‎【详解】解:(1)设焦距为2c,因为直线BF的倾斜角为120°,所以,即,又因为,所以,即,代入,并化简得,解得,所以,,椭圆C的方程为.‎ ‎(2)设,直线的方程为,令,得,即,则,直线,令,得,联立方程组,并消去y得,由,得,把代入,得,得.又,则,同理,,所以,解得,所以直线的方程为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质,考查椭圆标准方程的求法,考查直线和椭圆的交点坐标的求法,考查直线垂直时斜率的关系,考查直线的点斜式方程,考查运算求解能力,属于中档题.‎ ‎20.2019超长“三伏”来袭,虽然大部分人都了解“伏天”不宜吃生冷食物,但随着气温的不断攀升,仍然无法阻挡冷饮品销量的暴增.现在,某知名冷饮品销售公司通过随机抽样的方式,得到其100家加盟超市3天内进货总价的统计结果如下表所示:‎ 组别(单位:百元)‎ 频数 ‎3‎ ‎11‎ ‎20‎ ‎27‎ ‎26‎ ‎13‎ ‎(1)由频数分布表大致可以认为,被抽查超市3天内进货总价,μ近似为这100家超市3天内进货总价的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表),利用正态分布,求;‎ ‎(2)在(1)的条件下,该公司为增加销售额,特别为这100家超市制定如下抽奖方案:‎ ‎①令m表示“超市3天内进货总价超过μ的百分点”,其中.若,则该超市获得1次抽奖机会;,则该超市获得2次抽奖机会;,则该超市获得3次抽奖机会;,则该超市获得4次抽奖机会;,则该超市获得5次抽奖机会;,则该超市获得6次抽奖机会.另外,规定3天内进货总价低于μ的超市没有抽奖机会;‎ ‎②每次抽奖中奖获得的奖金金额为1000元,每次抽奖中奖的概率为.‎ 设超市A参加了抽查,且超市A在3天内进货总价百元.记X(单位:元)表示超市A获得的奖金总额,求X的分布列与数学期望.‎ 附参考数据与公式:,若,则,,.‎ ‎【答案】(1)(2)详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用频数分布表,计算出平均数,根据题目所给参考数据求得,根据正态分布的对称性以及题目所给参考数据,求得指定区间的概率.(2)先计算出的值,由此确定抽奖次数,根据二项分布概率计算公式,计算出概率,结合抽奖中奖获得的奖金金额求得分布列和数学期望.‎ ‎【详解】解:(1)由题意得 ‎,因为,‎ 所以,‎ ‎,‎ 所以,,‎ ‎,‎ 所以,,‎ ‎(2)因为,所以,‎ 所以,超市A获得4次抽奖机会,‎ 从而,X的可能取值为0,1000,2000,3000,4000,‎ 又因为每次抽奖不中的概率为,所以 ‎,,,‎ ‎,.‎ 所以,X的分布列为 X ‎0‎ ‎1000‎ ‎2000‎ ‎3000‎ ‎4000‎ P 所以,X的数学期望为元.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用样本均值估计正态分布均值,考查正态分布对称性的应用,考查二项分布概率计算公式,考查实际问题的期望计算.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(1)证明:当时,有且仅有一个零点.‎ ‎(2)当,函数的最小值为,求函数的值域.‎ ‎【答案】(1)详见解析(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用导数求得函数的单调区间和最小值,结合零点存在性定理,证得结论成立.(2)先求得得到解析式和导函数.根据(1)的结论,求得导函数的零点,根据将转化为的形式,进而求得最小值的表达式,利用构造函数法和导数作为工具,求得最小值的取值范围,进而求得的取值范围.‎ ‎【详解】(1)证明:因为,所以.‎ 令,解得;令,解得,则在区间上单调递减,在上单调递增,故,因为,所以,所以当时,,故在上没有零点,因为,所以当时,,因为在上单调递增,所以有且仅有一个零点综上,当时,有且仅有一个零点.‎ ‎(2)解:因为,所以.‎ 由(1)知当时,有且仅有一个零点,因为,,所以存在唯一,使得,且当时,;当时,.‎ 故在区间上单调递减,在上单调递增,所以 ‎,又,即,代入上式得,‎ ‎,,设函数,,则在上单调递减,故 ‎,因为函数在上单调递减,故对任意,存在唯一的,,使得,所以的值域是,综上,当时,函数的最小值的值域为 ‎【点睛】本小题主要考查利用导数求解有关函数零点个数问题,考查利用导数研究函数的单调区间和最值,考查化归与转化的数学思想方法,综合性较强,属于难题.‎ ‎(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.‎ ‎22.在直角坐标系中,直线l的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程.‎ ‎(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;‎ ‎(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,为直线l上一点,求.‎ ‎【答案】(1)直线l的普通方程为,曲线C的直角坐标方程为(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用加减消元法消去参数,求得直线的普通方程,利用两角和的余弦公式以及极坐标和直角坐标相互转化的公式,求得曲线的直角坐标方程.(2)写出直线标准参数方程,代入曲线的直角坐标方程,写出韦达定理,根据直线参数方程中参数的几何意义求得所求表达式的值.‎ ‎【详解】解:(1)直线l的普通方程为,曲线C的直角坐标方程为.‎ ‎(2)将直线l的参数方程化为(t为参数),代入曲线C的方程,得,所以,,所以.‎ ‎【点睛】本小题主要考查参数方程转化为普通方程,考查极坐标方程转化为直角坐标方程的方法,考查直线参数方程中参数的几何意义的运用,属于中档题.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎(1)求不等式的解集;‎ ‎(2)若不等式对成立,求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】(1),或(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用零点分段法去绝对值符号,由此解出不等式的解集.(2)将不等式等价变形为,利用绝对值不等式求得的最小值,进而求得的取值范围.‎ ‎【详解】解:(1)当时,不等式可化为,解得,故;当时,不等式可化为,解得,故,当时,不等式可化为,解得,故,综上可得,原不等式的解集为,或.‎ ‎(2),即,‎ 因为,所以,即实数a的取值范围是 ‎【点睛】本小题主要考查零点分段法求解含有绝对值的不等式,考查绝对值三角不等式,考查不等式恒成立问题的求解策略,考查分类讨论的数学思想方法,属于中档题.‎ ‎ ‎