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  • 2021-06-16 发布

高中数学讲义微专题23 恒成立问题——数形结合法

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- 1 - 微专题 23 恒成立问题——数形结合法 一、基础知识: 1、函数的不等关系与图像特征: (1)若 ,均有 的图像始终在 的下方 (2)若 ,均有 的图像始终在 的上方 2、在作图前,可利用不等式的性质对恒成立不等式进行变形,转化为两个可作图的函数 3、要了解所求参数在图像中扮演的角色,如斜率,截距等 4、作图时可“先静再动”,先作常系数的函数的图像,再做含参数函数的图象(往往随参数 的不同取值而发生变化) 5、在作图时,要注意草图的信息点尽量完备 6、什么情况下会考虑到数形结合?利用数形结合解决恒成立问题,往往具备以下几个特点: (1)所给的不等式运用代数手段变形比较复杂,比如分段函数,或者定义域含参等,而涉及 的函数便于直接作图或是利用图像变换作图 (2)所求的参数在图像中具备一定的几何含义 (3)题目中所给的条件大都能翻译成图像上的特征 二、典型例题: 例 1:已知不等式 在 上恒成立,则实数 的取值范围是_________ 思路:本题难于进行参变分离,考虑数形结合解决,先作出 的图像,观察图像可 得 : 若 要 使 不 等 式 成 立 , 则 的 图 像 应 在 的上方,所以应为单增的对数函数,即 , 另一方面,观察图像可得:若要保证在 时不等式成 立 , 只 需 保 证 在 时 , 即 可 ,代入 可得: ,综上可得: 答案: 小炼有话说:(1)通过常系数函数图像和恒成立不等式判断出对数函数的单调性,进而缩小 了参数讨论的取值范围。 x D       f x g x f x   g x x D       f x g x f x   g x  21 logax x   1,2x a  21y x  logay x  21y x  1a   1,2x 2x   21 logax x  2x  1 log 2 2a a   1 2a  1 2a  - 2 - (2)学会观察图像时要抓住图像特征并抓住符合条件的关键点(例如本题中的 ) (3)处理好边界值是否能够取到的问题 例 2:若不等式 对于任意的 都成立,则实数 的取值 范围是___________ 思路:本题选择数形结合,可先作出 在 的图像, 扮演的角色为对数的 底数,决定函数的增减,根据不等关系可得 ,观察图像进一步可得只需 时, , 即 , 所 以 答案: 例 3:若不等式 对任意 恒成立,求 的取值范围 思路:恒成立不等式变形为 ,即 的图像在 图像的上方即 可,先作出 的图像,对于 ,可看作 经 过平移得到,而平移的距离与的取值有关。通过观察图像,可 得只需 ,解得: 答案: 小炼有话说:在本题中参数 的作用是决定图像平移变换的程度,要抓住参数在图像中的作用, 从而在数形结合中找到关于参数的范围要求 例 4:若 ,不等式 恒成立,则 的取值范围是______ 思路:本题中已知 的范围求 的范围,故构造函数时可看作关于 的函数,恒成立不等式 变形为 ,设 ,即关于 的一次函数,由图像可得:无论直线方向如何,若要 ,只需在端点处函数值均大于 0 2x  log sin 2 ( 0, 1)a x x a a   0, 4x     a sin2y x 0, 4x     a 0 1a  4x  log sin2a x x log sin2 14 4 4a a       ,14a     ,14a     2 1x x c   x R c 2 1x c x   2y x c  1y x  1y x  2y x c  y x c 2 1c  1 2c  1 2c  c | | 2p  2 1 2x px p x    x p x p   22 1 0x p x x          22 1 2 2f x x p x x p        p   0f x  - 3 - 即 可 , 即 , 解 得 : 或 答案: 或 小炼有话说:(1)对于不等式,每个字母的地位平等,在构造函数时哪个字母的范围已知, 则以该字母作为自变量构造函数。 (2)线段的图像特征:若两个端点均在坐标轴的一侧,则线段上的点与端点同侧。 (3)对点评(2)的推广:已知一个函数连续且单调,若两个端点在坐标轴的一侧,则曲线 上所有点均与端点同侧 例 5:已知函数 ,若对任意的 ,都有 成立,则实 数 的取值范围是_____________ 思路:恒成立的不等式为 ,如果进行参变分离,虽可解决问题,但是因为 所在区间含参, 的取值将决定分离时不等号 方向是否改变,需要进行分类讨论,较为麻烦。 换一个角度观察到 是开口向上的抛物线, 若要 ,只需端点处函数值小于零即可 (无论对称轴是否在区间内),所以只需 , 解得 答案: 小炼有话说:本题也可以用最值法求解:若 ,则 ,而 是开口向     2 0 2 0 f f    1 13 2x   1 13 2x   1 13 2x   1 13 2x     2 1f x x mx    , 1x m m    0f x  m 2 1 0x mx   x m  f x   0f x      2 2 2 2 2 1 0 2 2 31 2 3 0 02 mf m m f m m m m                2 ,02m       2 ,02        0f x   max 0f x   f x m+1m - 4 - 上的抛物线,最大值只能在边界处产生,所以 ,再解出 的范围即可 例 6:已知函数 ,设关于 的不等式 的解集为 ,若 ,则实数 的取值范围是_____________ 思路:首先理解条件 ,即 时,不等式 恒成立, 可判断出函数 为奇函数,故先作出 的图像, 即 ,参数的符号决定开口方向与对称轴。故 分 类 讨 论 : 当 时 , 单 调 递 增 , 且 为 向左平移 个单位,观察图像可得 不存在满足条件的 ,当 时, 开口 向 下 , 且 为 向 右 平 移 个 单 位 ,观 察 可 得 只 需 , ,即可 保 证 , 的 图 像 始 终 在 的 下 方 。 解得: ;当 时,代入验证不符题意。 答案: 小炼有话说:(1)注意本题中“恒成立问题”的隐含标志:子集关系 (2)注意函数奇偶性对作图的影响 (3)本题中参数 扮演两个角色:① 二次项系数——决定抛物线开口,② 决定二次 函数对称轴的位置; ③ 图像变换中决定平移的方向与幅度,所以要进行符号的分类讨论。 例 7:已知函数 .当 时,不等式 恒成立,     0 1 0 f m f m    m    1f x x a x  x    f x a f x  A 1 1,2 2 A     a 1 1,2 2 A     1 1,2 2x          f x a f x   f x 0x  2y ax x  a 0a  2y ax x   f x a  f x a a 0a  2y ax x   f x a  f x a 1 1,2 2x x      f x a f x  1 1,2 2x       f x a  f x     1 2 1 2 f a f x f a f x               1 5 02 a   0a  1 5 02 a   a  f x   21 2 ln2f x a x ax x       x   1,+   0f x  - 5 - 则实数 的取值范围是________ 思路:所证不等式可转化为 ,作出 的图像,当 时 的取值决定 的开口,观察可得 ,且 时, 即 可, 当 时,不等式为 ,可证明其成立 答案: 小炼有话说:原不等式无法直接作出图像,则考虑先变形再数形结合,其原则为两个函数均 可进行作图。 例 8:设 ,若 时均有 ,则 _________ 思路:本题如果考虑常规思路,让两个因式同号去解 的值 (或范围),则不可避免较复杂的分类讨论,所以可以考虑利用 图像辅助解决。将两个因式设为函数: , ,则在图像上要求这两个函数同时在 轴的 上方与下方。这两个函数在图像上有公共定点 ,且 为开口向上的抛物线。所以 的斜率必大于 0 ,即 ,通过观察图像可得: 与 与 轴的交点必须重 合。 ,所以 ,解得: (舍)或 答案: a 21 2 ln2a x ax x       lny x  1 2a  a 21 22y a x ax      1 02a   1x  21 2 ln2a x ax x       1 0 1 12 1 2 22 02 a a a a            1 2a  ln 0x x  1 1,2 2a      a R 0x    21 1 1 0a x x ax          a  a    1 1f x a x     2 1g x x ax   x  0, 1  g x  f x 1a   f x  g x x   10 1f x x a    21 1 10 1 01 1 1g aa a a                  0a  3 2a  3 2a  - 6 - 小炼有话说:(1)在处理不等式的问题时要有两手准备,一是传统的代数方法,二是通过数 形结合的方式。要根据题目选择出合适的方法。对于数形结合而言,要求已知条件与所求问 题都具备一定的图像特征。所以在本题中一旦确定了使用图像,则把条件都翻译为图像上的 特点。 (2)本题中隐藏的公共定点是本题的一个突破口,这要求我们对于含参的函数(尤其是直 线),要看是否具备过定点的特征。 例 9 : (2015 山 东 烟 台 高 三 一 模 ) 已 知 , 不 等 式 在 上恒成立,则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 思路:本题有两个难点,一是所给区间含参,一个是 与 很难确定其范围,从 而 与 无法化成解析式。但由于所给不 等式可视为两个函数值的大小,且分段函数图像易于作出, 所以考虑作出 图像,看是否存在解题的突破口。通过 图像可以看出虽然 是分段函数,但是图像连续且单调 递减。所以 是 上的减函数。那么无论 与 位 于 哪 个 区 间 , 由 及 单 调 性 均 可 得 到 : 只 需 ,所以 ,解得 答案:A 例 10 : 已 知 函 数 是 定 义 在 上 的 奇 函 数 , 当 时 , ,若 ,则实数 的取值范围 是_____________ 思路: 是奇函数且在 时是分 段函数(以 为界),且形式比较复 杂,恒成立的不等式 较   2 2 4 3, 0 2 3, 0 x x xf x x x x            2f x a f a x    , 1a a  a  , 2   ,0  0,2  2,0  x a  2a x  f x a  2f a x  f x  f x  f x R  x a  2a x    2f x a f a x   2 2x a a x a x        max2 2 1a x a   2a    f x R 0x     2 2 21 2 32f x x a x a a        , 1x R f x f x    a  f x 0x  2 2,2a a    1f x f x  - 7 - 难转化为具体的不等式,所以不优先考虑参变分离或是最值法。从数形结合的角度来看,一方面 的图像比较容易作出,另一方面 可看作是 的图像向右平移一个单位所 得,相当于也有具体的图像。所以考虑利用图像寻找 满足的条件。先将 写为分段函数 形式: ,作出正半轴图像后再根据奇函数特点,关于原点对称作 出 负半轴图像。 恒成立,意味着 的图像向右平移一个单位后,其图 像恒在 的下方。通过观察可得在平移一个单位至少要平移 个长度,所以可得: 答案:  f x  1f x   f x a  f x   2 2 2 2 2 2 3 , 2 , 2 ,0 x a x a f x a a x a x x a           x    1f x f x   f x  f x 26a 2 6 66 1 6 6a a     6 6,6 6     

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