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- 2021-06-16 发布
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微专题 23 恒成立问题——数形结合法
一、基础知识:
1、函数的不等关系与图像特征:
(1)若 ,均有 的图像始终在 的下方
(2)若 ,均有 的图像始终在 的上方
2、在作图前,可利用不等式的性质对恒成立不等式进行变形,转化为两个可作图的函数
3、要了解所求参数在图像中扮演的角色,如斜率,截距等
4、作图时可“先静再动”,先作常系数的函数的图像,再做含参数函数的图象(往往随参数
的不同取值而发生变化)
5、在作图时,要注意草图的信息点尽量完备
6、什么情况下会考虑到数形结合?利用数形结合解决恒成立问题,往往具备以下几个特点:
(1)所给的不等式运用代数手段变形比较复杂,比如分段函数,或者定义域含参等,而涉及
的函数便于直接作图或是利用图像变换作图
(2)所求的参数在图像中具备一定的几何含义
(3)题目中所给的条件大都能翻译成图像上的特征
二、典型例题:
例 1:已知不等式 在 上恒成立,则实数 的取值范围是_________
思路:本题难于进行参变分离,考虑数形结合解决,先作出 的图像,观察图像可
得 : 若 要 使 不 等 式 成 立 , 则 的 图 像 应 在
的上方,所以应为单增的对数函数,即 ,
另一方面,观察图像可得:若要保证在 时不等式成
立 , 只 需 保 证 在 时 , 即 可 ,代入
可得: ,综上可得:
答案:
小炼有话说:(1)通过常系数函数图像和恒成立不等式判断出对数函数的单调性,进而缩小
了参数讨论的取值范围。
x D f x g x f x g x
x D f x g x f x g x
21 logax x 1,2x a
21y x
logay x
21y x 1a
1,2x
2x 21 logax x
2x 1 log 2 2a a 1 2a
1 2a
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(2)学会观察图像时要抓住图像特征并抓住符合条件的关键点(例如本题中的 )
(3)处理好边界值是否能够取到的问题
例 2:若不等式 对于任意的 都成立,则实数 的取值
范围是___________
思路:本题选择数形结合,可先作出 在 的图像, 扮演的角色为对数的
底数,决定函数的增减,根据不等关系可得 ,观察图像进一步可得只需 时,
, 即 , 所 以
答案:
例 3:若不等式 对任意 恒成立,求 的取值范围
思路:恒成立不等式变形为 ,即 的图像在 图像的上方即
可,先作出 的图像,对于 ,可看作 经
过平移得到,而平移的距离与的取值有关。通过观察图像,可
得只需 ,解得:
答案:
小炼有话说:在本题中参数 的作用是决定图像平移变换的程度,要抓住参数在图像中的作用,
从而在数形结合中找到关于参数的范围要求
例 4:若 ,不等式 恒成立,则 的取值范围是______
思路:本题中已知 的范围求 的范围,故构造函数时可看作关于 的函数,恒成立不等式
变形为 ,设 ,即关于
的一次函数,由图像可得:无论直线方向如何,若要 ,只需在端点处函数值均大于 0
2x
log sin 2 ( 0, 1)a x x a a 0, 4x
a
sin2y x 0, 4x
a
0 1a 4x
log sin2a x x log sin2 14 4 4a a
,14a
,14a
2 1x x c x R c
2 1x c x 2y x c 1y x
1y x 2y x c y x
c
2 1c 1
2c
1
2c
c
| | 2p 2 1 2x px p x x
p x p
22 1 0x p x x 22 1 2 2f x x p x x p p
0f x
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即 可 , 即 , 解 得 : 或
答案: 或
小炼有话说:(1)对于不等式,每个字母的地位平等,在构造函数时哪个字母的范围已知,
则以该字母作为自变量构造函数。
(2)线段的图像特征:若两个端点均在坐标轴的一侧,则线段上的点与端点同侧。
(3)对点评(2)的推广:已知一个函数连续且单调,若两个端点在坐标轴的一侧,则曲线
上所有点均与端点同侧
例 5:已知函数 ,若对任意的 ,都有 成立,则实
数 的取值范围是_____________
思路:恒成立的不等式为 ,如果进行参变分离,虽可解决问题,但是因为
所在区间含参, 的取值将决定分离时不等号
方向是否改变,需要进行分类讨论,较为麻烦。
换一个角度观察到 是开口向上的抛物线,
若要 ,只需端点处函数值小于零即可
(无论对称轴是否在区间内),所以只需 ,
解得
答案:
小炼有话说:本题也可以用最值法求解:若 ,则 ,而 是开口向
2 0
2 0
f
f
1 13
2x
1 13
2x
1 13
2x 1 13
2x
2 1f x x mx , 1x m m 0f x
m
2 1 0x mx x
m
f x
0f x
2
2
2 2
2 1 0 2 2
31 2 3 0 02
mf m m
f m m m m
2 ,02m
2 ,02
0f x max 0f x f x
m+1m
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上的抛物线,最大值只能在边界处产生,所以 ,再解出 的范围即可
例 6:已知函数 ,设关于 的不等式 的解集为 ,若
,则实数 的取值范围是_____________
思路:首先理解条件 ,即 时,不等式 恒成立,
可判断出函数 为奇函数,故先作出 的图像,
即 ,参数的符号决定开口方向与对称轴。故
分 类 讨 论 : 当 时 , 单 调 递 增 , 且
为 向左平移 个单位,观察图像可得
不存在满足条件的 ,当 时, 开口
向 下 , 且 为 向 右 平 移 个 单 位 ,观 察 可 得 只 需 ,
,即可 保 证 , 的 图 像 始 终 在 的 下 方 。
解得: ;当 时,代入验证不符题意。
答案:
小炼有话说:(1)注意本题中“恒成立问题”的隐含标志:子集关系
(2)注意函数奇偶性对作图的影响
(3)本题中参数 扮演两个角色:① 二次项系数——决定抛物线开口,② 决定二次
函数对称轴的位置; ③ 图像变换中决定平移的方向与幅度,所以要进行符号的分类讨论。
例 7:已知函数 .当 时,不等式 恒成立,
0
1 0
f m
f m
m
1f x x a x x f x a f x A
1 1,2 2 A
a
1 1,2 2 A
1 1,2 2x
f x a f x
f x 0x
2y ax x a
0a 2y ax x
f x a f x a
a 0a 2y ax x
f x a f x a 1 1,2 2x x
f x a f x 1 1,2 2x
f x a f x
1
2
1
2
f a f x
f a f x
1 5 02 a 0a
1 5 02 a
a f x
21 2 ln2f x a x ax x
x 1,+ 0f x
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则实数 的取值范围是________
思路:所证不等式可转化为 ,作出 的图像,当 时
的取值决定 的开口,观察可得
,且 时, 即
可,
当 时,不等式为 ,可证明其成立
答案:
小炼有话说:原不等式无法直接作出图像,则考虑先变形再数形结合,其原则为两个函数均
可进行作图。
例 8:设 ,若 时均有 ,则 _________
思路:本题如果考虑常规思路,让两个因式同号去解 的值
(或范围),则不可避免较复杂的分类讨论,所以可以考虑利用
图像辅助解决。将两个因式设为函数: ,
,则在图像上要求这两个函数同时在 轴的
上方与下方。这两个函数在图像上有公共定点 ,且 为开口向上的抛物线。所以
的斜率必大于 0 ,即 ,通过观察图像可得: 与 与 轴的交点必须重
合。 ,所以 ,解得:
(舍)或
答案:
a
21 2 ln2a x ax x
lny x 1
2a a
21 22y a x ax
1 02a 1x 21 2 ln2a x ax x
1 0 1 12
1 2 22 02
a
a
a a
1
2a ln 0x x
1 1,2 2a
a R 0x 21 1 1 0a x x ax a
a
1 1f x a x
2 1g x x ax x
0, 1 g x
f x 1a f x g x x
10 1f x x a
21 1 10 1 01 1 1g aa a a
0a
3
2a
3
2a
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小炼有话说:(1)在处理不等式的问题时要有两手准备,一是传统的代数方法,二是通过数
形结合的方式。要根据题目选择出合适的方法。对于数形结合而言,要求已知条件与所求问
题都具备一定的图像特征。所以在本题中一旦确定了使用图像,则把条件都翻译为图像上的
特点。
(2)本题中隐藏的公共定点是本题的一个突破口,这要求我们对于含参的函数(尤其是直
线),要看是否具备过定点的特征。
例 9 : (2015 山 东 烟 台 高 三 一 模 ) 已 知 , 不 等 式
在 上恒成立,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
思路:本题有两个难点,一是所给区间含参,一个是 与 很难确定其范围,从
而 与 无法化成解析式。但由于所给不
等式可视为两个函数值的大小,且分段函数图像易于作出,
所以考虑作出 图像,看是否存在解题的突破口。通过
图像可以看出虽然 是分段函数,但是图像连续且单调
递减。所以 是 上的减函数。那么无论 与
位 于 哪 个 区 间 , 由 及 单 调 性 均 可 得 到 : 只 需
,所以 ,解得
答案:A
例 10 : 已 知 函 数 是 定 义 在 上 的 奇 函 数 , 当 时 ,
,若 ,则实数 的取值范围
是_____________
思路: 是奇函数且在 时是分
段函数(以 为界),且形式比较复
杂,恒成立的不等式 较
2
2
4 3, 0
2 3, 0
x x xf x
x x x
2f x a f a x , 1a a a
, 2 ,0 0,2 2,0
x a 2a x
f x a 2f a x
f x
f x
f x R x a
2a x 2f x a f a x
2 2x a a x a x max2 2 1a x a 2a
f x R 0x
2 2 21 2 32f x x a x a a , 1x R f x f x a
f x 0x
2 2,2a a
1f x f x
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难转化为具体的不等式,所以不优先考虑参变分离或是最值法。从数形结合的角度来看,一方面
的图像比较容易作出,另一方面 可看作是 的图像向右平移一个单位所
得,相当于也有具体的图像。所以考虑利用图像寻找 满足的条件。先将 写为分段函数
形式: ,作出正半轴图像后再根据奇函数特点,关于原点对称作
出 负半轴图像。 恒成立,意味着 的图像向右平移一个单位后,其图
像恒在 的下方。通过观察可得在平移一个单位至少要平移 个长度,所以可得:
答案:
f x 1f x f x
a f x
2 2
2 2 2
2
3 , 2
, 2
,0
x a x a
f x a a x a
x x a
x 1f x f x f x
f x 26a
2 6 66 1 6 6a a
6 6,6 6